Sharma-tasso-olver-burgers denkleminin geliştirilmiş 1/G'- açılım metodu ile akışkanlar mekaniğinin dinamikleri

Bu tez, doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemler ailesi olan Sharma-Tasso-Olver-Burgers denklemini kapsamlı bir şekilde incelemektedir. Akışkanlar mekaniğinde temel bir yere sahip olan Burgers denklemi, akışkanların ve dalgaların dinamik davranışlarını modellemek için uzun yıllardır kullanılmaktadır. Sharma-Tasso-Olver denklemi ile birleşiminden türetilen Sharma-Tasso-Olver-Burgers denklemi, doğrusal olmayan dalga hareketlerinin daha karmaşık ve gerçekçi temsillerine olanak tanır. Bu nedenle, bu denklem yalnızca teorik açıdan değil, aynı zamanda mühendislik, plazma fiziği, fiber optik ve akışkanlar mekaniği gibi uygulamalı alanlarda da önemli bir araştırma konusu haline gelmiştir. Bu çalışmanın odak noktası, Sharma-Tasso-Olver-Burgers denkleminin hareket eden dalga çözümlerinin sistematik olarak incelenmesidir. Bu bağlamda, çözüm sürecinde son yıllarda yaygın olarak kullanılan iki yöntem kullanılmıştır: klasik 1/G'-genişletme yöntemi ve geliştirilmiş versiyonu. Klasik genişleme yöntemi daha basit ve daha az hesaplama gerektiren çözümler sunarken, çözüm uzayını sınırlı bir şekilde temsil eder. Buna karşılık, geliştirilmiş genişletme yöntemi, türev terimlerini genişleterek daha parametrik, esnek ve fiziksel olarak anlamlı çözümler üretir. Böylece, yalnızca Sharma-Tasso-Olver-Burgers denklemini değil, aynı zamanda özel durumlarını da kapsayan birleşik bir model oluşturulmuştur. Uygulamalar sonucunda elde edilen analitik çözümler grafiksel olarak incelenmiş ve tekil ve hiperbolik çözümler olmak üzere iki ana sınıfta değerlendirilmiştir. Bu formlar arasında farklı parametre değerlerinde dönüşüm yapılarak, çözümler doğrusal olmayan dinamiklerin zengin doğasını ortaya koymaktadır. Bu yönüyle, çalışma doğrusal olmayan sistemler için çözümler elde etmek için metodolojik olarak güçlü bir çerçeve sunmakta ve dalga etkileşimlerinin fiziksel yönlerinin daha derinlemesine anlaşılmasına katkıda bulunmaktadır. Özellikle hiperbolik tip çözümler, akışkan davranışının, optik dalga paketlerinin ve plazma salınımlarının modellenmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Ayrıca, elde edilen çözümler bilgisayar destekli yazılımlar kullanılarak görselleştirilmiş ve üç boyutlu, kontur ve iki boyutlu grafiklerde sunulmuştur. Bu görselleştirmeler, denklemin dinamik yapısını ve dalga çözümlerinin fiziksel etkilerini daha anlaşılır ve somut hale getirmektedir. Bu bağlamda, çalışma yalnızca teorik bir analiz sunmakla kalmayıp aynı zamanda uygulamalı matematik alanında önemli bulgular da ortaya koymaktadır. Sonuç olarak, bu çalışma hem elde edilen çözümler hem de bunların grafiksel temsilleri aracılığıyla Sharma–Tasso–Olver–Burgers denkleminin matematiksel yapısını ve fiziksel yorumlarını daha anlaşılır hale getirmekte; böylece doğrusal olmayan diferansiyel denklemler literatürüne uygulamalı ve görsel açıdan zengin katkılar sunmaktadır.