Sürekli ve ayrık popülasyon modellerinde Allee etkileri

Bu tezde, Allee etkisine sahip Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modeli ile sürekli av-avcı popülasyon modelinin dinamik yapısı analiz edilmiştir. Analiz edilen modeller aynı çevreyi paylaşan ve birbirleriyle etkileşim içinde bulunan iki popülasyonu içermektedir. Lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenen bu popülasyonların zamana göre değişimi, ayrık sistem için fark denklemleri, sürekli sistem için adi diferensiyel denklemler ile ifade edilmiştir. İlk olarak ayrık av-avcı modeli ele alınarak modelin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ardından bu pozitif denge noktasının kararlı olabilmesi ve bu denge noktasında Flip çatallanma ve Neimark-Sacker çatallanmanın görülebilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra merkez manifold teoremi ve çatallanma teorisi kullanılarak bu koşulların sağlandığı teorik olarak ispatlanmıştır. Elde edilen bu analitik çalışmaları desteklemek amacıyla bazı örnek parametre değerleri ele alınmış ve bu parametre değerleri için sistemin faz portreleri ve çatallanma diyagramı elde edilmiştir. Tezin diğer yarısı ayrık sistemin Euler metodu kullanılarak elde edildiği sürekli av-avcı sistemi için ayrılmıştır. Ayrık sistemdeki temel analizler sürekli sistemde de benzer sırada takip edilmiştir. Öncelikle, sistemin denge noktasının lokal asimtotik kararlı olabilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra, bu pozitif denge noktasında görülen Hopf çatallanmanın varlık koşulları incelenmiştir. Bu çatallanmanın varlığı ise, çatallanma parametresi olarak Allee sabiti kullanılarak Hopf çatallanma teorisi ve normal form teorisi aracılığıyla gösterilmiştir. Yapılan analizlere göre, av popülasyonu üremek için eş bulmakta zorlandığından Allee etkisi av popülasyon yoğunluğunu azaltmıştır. Ek olarak, av popülasyonu avcı popülasyonları için birincil besin kaynağı olduğundan, Allee etkisi avcı popülasyon yoğunluğunu da azaltmıştır. Öte taraftan, daha düşük popülasyon yoğunluğunda, artan Allee etkisinin süperkritik Hopf çatallanmasına, güçlü Allee etkisinin ise subkritik Hopf çatallanmasına yol açtığını gözlenmiştir. Başka bir deyişle, Allee etkisi arttıkça kararlıdan kararsıza ve kararsızdan kararlıya doğru bir kararlılık geçişi söz konusudur. Dolayısıyla, Allee etkisi hem kararlı hem de kararsız limit döngüleri ortaya çıkarabildiğinden, sistemde farklı iki Hopf çatallanma görülmüştür. Çalışmanın devamında, Allee etkisinin hem av hem de avcı popülasyon dinamikleri üzerindeki etkisi nümerik örneklerle gözlenmiştir. Ayrıca, av-avcı sisteminin bu sistemi oluşturan tüm parametre değerlerine duyarlılığını incelemek için FAST yaklaşımı kullanılmıştır. Burada tek bir parametre değerindeki değişikliğin sistem dinamiği üzerindeki etkisine ek olarak, hangi parametrenin sistem çıktısı üzerinde en etkili olduğu belirlenmiştir. Tez çalışması kapsamında ele aldığımız modellerin analizi, av ve avcı popülasyonları arasındaki dengenin korunmasında Allee etkisinin önemini vurgulamaktadır. Bunların yanı sıra, elde ettiğimiz sonuçlar hem sürekli hem de ayrık av-avcı sistemlerini doğru bir şekilde modellemek ve anlamak için karmaşık ekolojik etkileşimleri dikkate almanın gerekliliğini vurgulamaktadır.