Theses supervised by Prof. Dr. Hüseyin Merdan
10 theses · TOBB Economics and Technology University
İki hisse senedi ve bir yatırımcı grup içeren finansal piyasaların matematiksel modellemesi ve kararlılık analizleri
Bu tezde, iki hisse senedi ve benzer yatırım stratejilerine sahip homojen bir yatırımcı grup içeren bir finansal piyasa için matematiksel model verilmiştir. Piyasadaki nakit miktarının ve hisse senedi sayılarının sabit olduğu ve yatırımcı grubun hisse senedi satın alırken ya da hisse senedini satarken hisse senedi fiyatının yönüne (trend) ve hisse senedinin değerlenmesine göre karar verdiği varsayılmıştır. Ayrıca, yatırımcıların hisse senedi satın alırken her iki hisse senedinin fiyatına bağlı bir strateji, fakat hisse senedi satarken diğer hisse senedi fiyatına bağlı olmayan bir strateji izlediği kabul edilmiştir. Bu varsayımlar ve temel mikroekonomik prensipler kullanılarak dinamik sistemler yaklaşımı ile bir matematiksel model elde edilmiştir. Yatırımcıların her bir hisse senedi için hisse senedinin değerlenmesine bağlı strateji izlemesi durumunda matematiksel modelin denge noktaları belirlenerek kararlılık analizleri çalışılmıştır. Denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Yatırımcı grubun alım satım kararlarında bir hisse senedi için, sadece bu hisse senedi fiyatının yönünden, diğer hisse senedi için ise sadece bu hisse senedinin değerlenmesinden (ya da değer kaybetmesinden) etkilenmesi durumunda elde edilen sistemin denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Yatırımcıların yatırım tercihlerini belirleyen geçiş oranı fonksiyonları için uygun fonksiyonlar seçilerek tezin birinci kısmında elde edilen model için bir örnek model oluşturulmuştur. Eğer yatırımcı grup her iki hisse senedi için alım satım yaparken sadece hisse senetleri fiyatları için belirlenen değere bağlı bir strateji izlerse, modelin denge noktalarının kararlı olduğu ispatlanmıştır. Yatırımcı grubun alım satım kararlarında her bir hisse senedi için farklı etkilere dayalı yatırım stratejisi (yani bir hisse senedi için sadece bu hisse senedi fiyatının yönüne, diğer hisse senedi için ise sadece hisse senedinin değerlenmesine bağlı olan yatırım stratejisi) izlemesi durumunda elde edilen sistemin denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Ayrıca, hisse senedi fiyatının yönüne bağlı büyüklük parametresi (momentum katsayısı) çatallanma parametresi seçilerek sistemde periyodik çözümlerin ortaya çıktığı Hopf çatallanma analizi ile gösterilmiştir. Son olarak, analitik sonuçları desteklemek ve genişletmek için örnekler ve nümerik simülasyonlar verilmiştir.
Sürekli ve ayrık popülasyon modellerinde Allee etkileri
Bu tezde, Allee etkisine sahip Leslie tipi bir ayrık av-avcı popülasyon modeli ile sürekli av-avcı popülasyon modelinin dinamik yapısı analiz edilmiştir. Analiz edilen modeller aynı çevreyi paylaşan ve birbirleriyle etkileşim içinde bulunan iki popülasyonu içermektedir. Lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenen bu popülasyonların zamana göre değişimi, ayrık sistem için fark denklemleri, sürekli sistem için adi diferensiyel denklemler ile ifade edilmiştir. İlk olarak ayrık av-avcı modeli ele alınarak modelin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilmiştir. Ardından bu pozitif denge noktasının kararlı olabilmesi ve bu denge noktasında Flip çatallanma ve Neimark-Sacker çatallanmanın görülebilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra merkez manifold teoremi ve çatallanma teorisi kullanılarak bu koşulların sağlandığı teorik olarak ispatlanmıştır. Elde edilen bu analitik çalışmaları desteklemek amacıyla bazı örnek parametre değerleri ele alınmış ve bu parametre değerleri için sistemin faz portreleri ve çatallanma diyagramı elde edilmiştir. Tezin diğer yarısı ayrık sistemin Euler metodu kullanılarak elde edildiği sürekli av-avcı sistemi için ayrılmıştır. Ayrık sistemdeki temel analizler sürekli sistemde de benzer sırada takip edilmiştir. Öncelikle, sistemin denge noktasının lokal asimtotik kararlı olabilmesi için gerekli koşullar belirlenmiştir. Daha sonra, bu pozitif denge noktasında görülen Hopf çatallanmanın varlık koşulları incelenmiştir. Bu çatallanmanın varlığı ise, çatallanma parametresi olarak Allee sabiti kullanılarak Hopf çatallanma teorisi ve normal form teorisi aracılığıyla gösterilmiştir. Yapılan analizlere göre, av popülasyonu üremek için eş bulmakta zorlandığından Allee etkisi av popülasyon yoğunluğunu azaltmıştır. Ek olarak, av popülasyonu avcı popülasyonları için birincil besin kaynağı olduğundan, Allee etkisi avcı popülasyon yoğunluğunu da azaltmıştır. Öte taraftan, daha düşük popülasyon yoğunluğunda, artan Allee etkisinin süperkritik Hopf çatallanmasına, güçlü Allee etkisinin ise subkritik Hopf çatallanmasına yol açtığını gözlenmiştir. Başka bir deyişle, Allee etkisi arttıkça kararlıdan kararsıza ve kararsızdan kararlıya doğru bir kararlılık geçişi söz konusudur. Dolayısıyla, Allee etkisi hem kararlı hem de kararsız limit döngüleri ortaya çıkarabildiğinden, sistemde farklı iki Hopf çatallanma görülmüştür. Çalışmanın devamında, Allee etkisinin hem av hem de avcı popülasyon dinamikleri üzerindeki etkisi nümerik örneklerle gözlenmiştir. Ayrıca, av-avcı sisteminin bu sistemi oluşturan tüm parametre değerlerine duyarlılığını incelemek için FAST yaklaşımı kullanılmıştır. Burada tek bir parametre değerindeki değişikliğin sistem dinamiği üzerindeki etkisine ek olarak, hangi parametrenin sistem çıktısı üzerinde en etkili olduğu belirlenmiştir. Tez çalışması kapsamında ele aldığımız modellerin analizi, av ve avcı popülasyonları arasındaki dengenin korunmasında Allee etkisinin önemini vurgulamaktadır. Bunların yanı sıra, elde ettiğimiz sonuçlar hem sürekli hem de ayrık av-avcı sistemlerini doğru bir şekilde modellemek ve anlamak için karmaşık ekolojik etkileşimleri dikkate almanın gerekliliğini vurgulamaktadır.
Bazı HIV/AIDS modellerinin kararlılık ve çatallanma analizleri
Bu tez çalışmasının amacı, HIV, tümör ve bağışıklık sistemi hücreleri arasındaki biyolojik dinamiği matematiksel model kullanarak araştırmaktır. Tez çalışması, bu biyolojik dinamiği tasvir eden iki farklı matematiksel modelden oluşmaktadır. Matematiksel modeller, dinamik sistemler yaklaşımıyla ifade edilmiştir. Modellerdeki popülasyonların zamana göre değişimleri adi diferensiyel denklemler kullanılarak tanımlanmıştır. Modellerin analizindeki ilk adım olarak, ifade edilen diferensiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin tekliği ve pozitifliği gösterilmiştir. Bu adım, modeller biyolojik bir dinamik tasvir ettiğinden gereklidir. Devamında, dinamik sistemlerin pozitif denge noktaları belirlenmiştir. Birinci sisteme ait denge noktalarının global asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Bu sistem için enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak belirlenmiştir. Bu sisteme gerekli noktalara iki farklı zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiş; böylece dinamik sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amaçlanmıştır. Elde edilen yeni gecikmeli sistemin davranışları analiz edilmiştir. Bu analizlerde, gecikme terimleri çatallanma parametresi olarak seçilerek; fold-Hopf çatallanmanın varlık analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar bulunmuştur. İkinci sistemde, denge noktalarının lokal asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Ek olarak, enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak ifade edilmiştir. Sistemdeki denge noktalarının kararlılık yapılarından yola çıkılarak, transkritik çatallanmanın varlığı araştırılmıştır. Normal form teorisi kullanılarak, sistemin transkritik çatallanmaya ait normal formu elde edilmiştir. İlk modeldeki bakış açısına benzer şekilde, sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amacıyla zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiştir. Elde edilen yeni sistemin davranışlarının analizi, çatallanma parametresi olarak gecikme terimi seçilerek tamamlanmıştır. Hopf çatallanmanın varlık ve yön analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar belirlenmiş; ayrıca bu periyodik çözümlerin özellikleri, sistemin merkez manifolduna indirgenmesiyle bulunmuştur. Son olarak, çalışılan tüm sistemler için elde edilen teorik ve analitik sonuçlar, nümerik olarak desteklenmiş ve genişletilmiştir. Bunun için MATLAB programı kullanılmıştır.
Bazı HIV/AIDS modellerinin kararlılık ve çatallanma analizleri
Bu tez çalışmasının amacı, HIV, tümör ve bağışıklık sistemi hücreleri arasındaki biyolojik dinamiği matematiksel model kullanarak araştırmaktır. Tez çalışması, bu biyolojik dinamiği tasvir eden iki farklı matematiksel modelden oluşmaktadır. Matematiksel modeller, dinamik sistemler yaklaşımıyla ifade edilmiştir. Modellerdeki popülasyonların zamana göre değişimleri adi diferensiyel denklemler kullanılarak tanımlanmıştır. Modellerin analizindeki ilk adım olarak, ifade edilen diferensiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin tekliği ve pozitifliği gösterilmiştir. Bu adım, modeller biyolojik bir dinamik tasvir ettiğinden gereklidir. Devamında, dinamik sistemlerin pozitif denge noktaları belirlenmiştir. Birinci sisteme ait denge noktalarının global asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Bu sistem için enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak belirlenmiştir. Bu sisteme gerekli noktalara iki farklı zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiş; böylece dinamik sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amaçlanmıştır. Elde edilen yeni gecikmeli sistemin davranışları analiz edilmiştir. Bu analizlerde, gecikme terimleri çatallanma parametresi olarak seçilerek; fold-Hopf çatallanmanın varlık analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar bulunmuştur. İkinci sistemde, denge noktalarının lokal asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Ek olarak, enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak ifade edilmiştir. Sistemdeki denge noktalarının kararlılık yapılarından yola çıkılarak, transkritik çatallanmanın varlığı araştırılmıştır. Normal form teorisi kullanılarak, sistemin transkritik çatallanmaya ait normal formu elde edilmiştir. İlk modeldeki bakış açısına benzer şekilde, sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amacıyla zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiştir. Elde edilen yeni sistemin davranışlarının analizi, çatallanma parametresi olarak gecikme terimi seçilerek tamamlanmıştır. Hopf çatallanmanın varlık ve yön analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar belirlenmiş; ayrıca bu periyodik çözümlerin özellikleri, sistemin merkez manifolduna indirgenmesiyle bulunmuştur. Son olarak, çalışılan tüm sistemler için elde edilen teorik ve analitik sonuçlar, nümerik olarak desteklenmiş ve genişletilmiştir. Bunun için MATLAB programı kullanılmıştır.
Bazı HIV/AIDS modellerinin kararlılık ve çatallanma analizleri
Bu tez çalışmasının amacı, HIV, tümör ve bağışıklık sistemi hücreleri arasındaki biyolojik dinamiği matematiksel model kullanarak araştırmaktır. Tez çalışması, bu biyolojik dinamiği tasvir eden iki farklı matematiksel modelden oluşmaktadır. Matematiksel modeller, dinamik sistemler yaklaşımıyla ifade edilmiştir. Modellerdeki popülasyonların zamana göre değişimleri adi diferensiyel denklemler kullanılarak tanımlanmıştır. Modellerin analizindeki ilk adım olarak, ifade edilen diferensiyel denklem sistemlerinin çözümlerinin tekliği ve pozitifliği gösterilmiştir. Bu adım, modeller biyolojik bir dinamik tasvir ettiğinden gereklidir. Devamında, dinamik sistemlerin pozitif denge noktaları belirlenmiştir. Birinci sisteme ait denge noktalarının global asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Bu sistem için enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak belirlenmiştir. Bu sisteme gerekli noktalara iki farklı zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiş; böylece dinamik sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amaçlanmıştır. Elde edilen yeni gecikmeli sistemin davranışları analiz edilmiştir. Bu analizlerde, gecikme terimleri çatallanma parametresi olarak seçilerek; fold-Hopf çatallanmanın varlık analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar bulunmuştur. İkinci sistemde, denge noktalarının lokal asimptotik kararlılığı araştırılmıştır. Ek olarak, enfeksiyon üretme eşik değeri, sistemdeki parametrelere bağlı olarak ifade edilmiştir. Sistemdeki denge noktalarının kararlılık yapılarından yola çıkılarak, transkritik çatallanmanın varlığı araştırılmıştır. Normal form teorisi kullanılarak, sistemin transkritik çatallanmaya ait normal formu elde edilmiştir. İlk modeldeki bakış açısına benzer şekilde, sistemin biyolojik dinamiği daha iyi tasvir etmesi amacıyla zaman gecikmesi eklenerek sistem iyileştirilmiştir. Elde edilen yeni sistemin davranışlarının analizi, çatallanma parametresi olarak gecikme terimi seçilerek tamamlanmıştır. Hopf çatallanmanın varlık ve yön analizi tamamlanmıştır. Böylece sistemde periyodik çözümlerin görüldüğü koşullar belirlenmiş; ayrıca bu periyodik çözümlerin özellikleri, sistemin merkez manifolduna indirgenmesiyle bulunmuştur. Son olarak, çalışılan tüm sistemler için elde edilen teorik ve analitik sonuçlar, nümerik olarak desteklenmiş ve genişletilmiştir. Bunun için MATLAB programı kullanılmıştır.
İki hisse senedi ve bir yatırımcı grup içeren finansal piyasaların matematiksel modellemesi ve kararlılık analizleri
Bu tezde, iki hisse senedi ve benzer yatırım stratejilerine sahip homojen bir yatırımcı grup içeren bir finansal piyasa için matematiksel model verilmiştir. Piyasadaki nakit miktarının ve hisse senedi sayılarının sabit olduğu ve yatırımcı grubun hisse senedi satın alırken ya da hisse senedini satarken hisse senedi fiyatının yönüne (trend) ve hisse senedinin değerlenmesine göre karar verdiği varsayılmıştır. Ayrıca, yatırımcıların hisse senedi satın alırken her iki hisse senedinin fiyatına bağlı bir strateji, fakat hisse senedi satarken diğer hisse senedi fiyatına bağlı olmayan bir strateji izlediği kabul edilmiştir. Bu varsayımlar ve temel mikroekonomik prensipler kullanılarak dinamik sistemler yaklaşımı ile bir matematiksel model elde edilmiştir. Yatırımcıların her bir hisse senedi için hisse senedinin değerlenmesine bağlı strateji izlemesi durumunda matematiksel modelin denge noktaları belirlenerek kararlılık analizleri çalışılmıştır. Denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Yatırımcı grubun alım satım kararlarında bir hisse senedi için, sadece bu hisse senedi fiyatının yönünden, diğer hisse senedi için ise sadece bu hisse senedinin değerlenmesinden (ya da değer kaybetmesinden) etkilenmesi durumunda elde edilen sistemin denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Yatırımcıların yatırım tercihlerini belirleyen geçiş oranı fonksiyonları için uygun fonksiyonlar seçilerek tezin birinci kısmında elde edilen model için bir örnek model oluşturulmuştur. Eğer yatırımcı grup her iki hisse senedi için alım satım yaparken sadece hisse senetleri fiyatları için belirlenen değere bağlı bir strateji izlerse, modelin denge noktalarının kararlı olduğu ispatlanmıştır. Yatırımcı grubun alım satım kararlarında her bir hisse senedi için farklı etkilere dayalı yatırım stratejisi (yani bir hisse senedi için sadece bu hisse senedi fiyatının yönüne, diğer hisse senedi için ise sadece hisse senedinin değerlenmesine bağlı olan yatırım stratejisi) izlemesi durumunda elde edilen sistemin denge noktalarının kararlı olması için parametreler üzerine konması gereken şartlar belirlenmiştir. Ayrıca, hisse senedi fiyatının yönüne bağlı büyüklük parametresi (momentum katsayısı) çatallanma parametresi seçilerek sistemde periyodik çözümlerin ortaya çıktığı Hopf çatallanma analizi ile gösterilmiştir. Son olarak, analitik sonuçları desteklemek ve genişletmek için örnekler ve nümerik simülasyonlar verilmiştir.
Tek gecikme içeren reaksiyon-difüzyon sistemleri için hopf çatallanma analizi algoritması ve uygulamaları
Bu tezde, tek gecikme içeren ve Neumann sınır koşullarına sahip reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin bir sınıfında gecikme teriminin değişimine bağlı olarak ortaya çıkan periyodik çözümlerin varlığı ve özellikleri analiz edilmiştir. Bunun için, gecikme terimi çatallanma parametresi olarak alınıp bahsi geçen sistem sınıfında Hopf çatallanmanın ortaya çıktığı koşullar belirlenmiştir. Bu şekilde varlığı garanti edilen periyodik çözümlerin özelliklerini belirlemek için ise sistem merkez manifolduna indirgenmiştir. Aynı sınıfa ait farklı problemler için bu adımların tekrarını engellemek amacıyla bir algoritma oluşturulmuştur. Bu algoritma, Hopf çatallanma varlık analizini sadece sistemin karakteristik denkleminin katsayılarını kullanarak ve yön analizini ise sadece sistemdeki fonksiyonların Taylor serilerindeki birinci ve ikinci mertebeden türevlere karşılık gelen katsayıları kullanarak tamamlamayı sağlayacak koşullar ve formüllerden oluşmaktadır. Böylece, bu tez çalışması ile tek gecikme içeren reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin bahsi geçen sınıfı tamamen analiz edilmiştir. Elde edilen algoritma ile bu sınıfa ait dört farklı problemin Hopf çatallanma analizleri yapılmış ve böylece algoritmanın uygulanabilirliği gösterilmiştir. Ayrıca bu problemler ile difüzyon teriminin sistemlerin dinamiği üzerindeki etkisi tartışılmıştır.
Bir ayrık av-avcı modelinin kararlılık ve çatallanma analizi
Bu tezde, bir av-avcı modeline Euler metodu uygulanarak elde edilen ayrık sistemin dinamik yapısı analiz edilmiiştir. Ele alınan bu modelde av ve avcı olmak üzere birbirleriyle etkileşim içerisinde olan iki popülasyon bulunmaktadır. Bu popülasyonlar lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenmiş olup popülasyonlardaki zamana göre değişim ise diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilmiştir. Tezde ilk olarak model Euler metodu yardımıyla ayrıklaştırılarak fark denklemi sistemi haline getirilmiştir. Takiben elde edilen ayrık sistemin pozitif denge noktasının varlığı ve tekliği gösterilip bu noktanın kararlı olabilmesi için gerekli şartlar belirlenmiştir. Daha sonra yine bu pozitif denge noktasında flip çatallanma görülebilmesi için gereken koşullar konulmuş ve bu koşullar altında denge noktasındaki flip çatallanmanın varlığı Merkez Çokkatlı Uzay Teoremi (Center Manifold Theorem) yardımıyla ispat edilmiştir. Son olarak da elde edilen analitik sonuçlar, nümerik çalışmalar ile desteklenerek biyolojik açıdan yorumlanmıştır.
Gecikmeli bir yapay sinir ağı modeli ile gecikmeli bir av-avcı modelinin kararlılık ve hopf çatallanma analizleri
Bu tez çalışmasında temel amaç, gecikmeli diferensiyel denklem sistemlerinin kararlılık ve Hopf çatallanma analizlerini incelemektir. Bunun için, popülasyon dinamiği ve yapay sinir ağları alanlarında yer alan, farklı iki alana ait diferensiyel denklem sistemleri belirlenmiş, sistemlerde gerekli yerlere gecikme terimleri eklenerek sistemler iyileştirilmiş ve sistemlerin dinamik davranışları incelenmiştir. Çatallanma teorisi, seçilen bir kontrol parametresine bağlı olarak sistemlerin dinamiğini inceleyen dinamik sistemlerin bir araştırma sahasıdır. Amaç, kontrol parametresine göre değişimini gözlemlemek istediğimiz sistemin uzun vadedeki davranışını incelemektir. Çatallanma ise, değişen parametre değerlerine karşılık dinamik sistemin kalitatif yapısında değişiklik olmasıdır. Fark denklemleri ve diferensiyel denklemlere göre farklı çeşitlerde birçok çatallanma tipi mevcuttur. Ayrıca, modelin boyutuna göre de çatallanma tipleri ve adları değişmektedir. Dinamik sistemler teorisinde periyodik çözümler çok geniş bir yer tutmaktadır. Sürekli dinamik sistemlerde, bir parametreye bağlı lokal olarak periyodik çözümleri belirlemenin yolu ise Hopf çatallanma analizidir. Hopf çatallanması, en az iki boyutlu diferensiyel denklem sistemlerinde görülen, kritik parametre değerinden sonra denge noktasının kararlılık yapısının değiştiği (bakılan eksene göre yön değişebilir) ve limit döngülerinin (periyodik çözümlerin) ortaya çıktığı çatallanma tipidir. Gecikmeli diferensiyel denklemlerde, gecikme parametresini çatallanma parametresi olarak seçmek yaygındır. Bir dinamik sistemde, geçmiş zamanın etkilerini sisteme yansıtmak için modellere gecikme terimi eklenir. Gecikme terimi eklenilen denklemleri çalışmak biraz daha zor olsa da doğada gecikmeler daima mevcuttur. Popülasyon dinamiğinde, bir türün avlanabilmesi için olgunlaşma süreci veya avlanma için gerekli olan süre, bir bakterinin kuluçka süresi, bir sinir hücresinin uyarıldıktan sonra çıktının oluşabilmesi için geçmesi gereken süre gecikmelere örnek olarak verilebilir. Bu tez çalışması, esas itibariyle iki kısımdan oluşmaktadır: Tezin ilk kısmında, popülasyon dinamiğinde zengin bir içeriğe sahip olan bir oran-bağımlı denklem sistemine kesikli gecikme terimleri eklenmiştir. Bu bölüm, kendi içerisinde eşit gecikmeli terimli ve farklı gecikmeli terimli olmak üzere iki farklı sistemin Hopf çatallanma ve kararlılık analizlerini içermektedir. Tezin ikinci kısmında ise iki sinir hücreli geri beslemeli bir yapay sinir ağı sistemine hem kesikli hem dağılımlı gecikme terimi eklenmiş ve sistem yine iki farklı kategoride incelenmiştir. İki sistemde de, Hopf çatallanmanın varlığını garantileyebilmek için parametreler üzerine konacak gerekli şartlar belirlenmiş ve periyodik çözümlerin ortaya çıktığı gösterilmiştir. Çalışılan dört sistem için elde edilen teorik bulgular, MATLAB programı kullanılarak nümerik örneklerle desteklenmiştir.
Bir HIV/AIDS enfeksiyon modeli ve kararlılık analizi
Bu tezde, tümör hücrelerini içeren bir HIV enfeksiyon modeli verilmekte ve bu model analiz edilmektedir. Modelde, dört popülasyon bulunmaktadır: tümör hücreleri, yardımcı T-hücreleri, enfekte olmuş yardımcı T-hücreleri ve virüs. Bu popülasyonlar arasındaki ilişki, lineer olmayan dinamik sistemler yaklaşımıyla modellenmiştir. Bu popülasyonlardaki zamana göre değişim ise diferensiyel denklemler kullanılarak ifade edilmiştir. İlk olarak HIV, tümör ve bağışıklık sistemi etkileşimi üzerinde durulmuştur. Takiben, çözümün pozitifliğinden bahsedilmiş ve modelin denge noktaları belirlenerek bu denge noktalarının kararlılık analizi yapılmıştır. Son olarak; elde edilen analitik sonuçlar, nümerik çalışmalar ile desteklenerek, biyolojik açıdan yorumlanmıştır.