Sürekli ortamların nonlineer titreşimlerine genel bir yaklaşım

ÖZET Sürekli ortam titreşimleri için zorlama ve sönüm terimini de içeren ve nonlineer kısmi diferansiyel denklemle ifade edilen genel bir model ele alınmıştır. Noniineerlik keyfi kuadratik ve kübik operatörlerle genelleştirilmiş olarak ifade edilmiştir. Bu operatörler simetrik yapıda değildir. Denklemin lineer kısmı da keyfi bir operatörle ifade edilmiştir. Bu lineer operatör seif- adjoint özelliğe sahiptir. Bütün operatörler konuma bağlı diferansiyel ve/veya integral formdadırlar. Denklemdeki bütün bağımlı ve bağımsız değişkenler boyutsuz haldedirler. Denkleme ait sınır şartlarının lineer, homojen ve zamandan bağımsız olduğu kabul edilmiştir. Yaklaşık analitik çözümler bulmak için bir perturbasyon tekniği olan Çok Zaman Ölçekli Metod kullanılmıştır. Denklem alışılageldiği gibi diskritize edilmemiş, perturbasyon metodu direkt olarak kısmi diferansiyel denklem(ler)e uygulanmıştır. Önce zorlama frekansının tabii frekanslardan birine yakın olduğu baskın rezonans durumu ele alınmıştır. Elde edilen algoritma ile tepki fonksiyonu bulunmuştur. Tepki fonksiyonundaki her mertebede konum fonksiyonlarının nasıl elde edileceği gösterilmiştir. Ayrıca genlik-faz modülasyon denklemleri elde edilmiştir. Bu denklemlerdeki a katsayılarının nasıl hesaplanacağı gösterilmiştir. Örnek bir uygulama olarak nonlineer elastik yatak üzerinde her iki ucundan basit mesnetli Euler-Bernoulli kirişi ele alınmış ve çözümler elde edilmiştir. Aynı genel modelde ikincil rezonanslardan üçte bir ve ikide bir altharmonik rezonanslar, üçüncü derece süperharmonik rezonanslar ve toplama tipi kombinasyon rezonanslar için aynı prosedür izlenerek algoritmik genel çözümler elde edilmiştir. Yapılan düzlem içi titreşim analizine ilaveten düzlem dışı titreşimi de kapsayacak biçimde genelleştirilmiş etkileşimli (coupled) denklemlerde baskın ve bire bir iç rezonans durumu için aynı prosedür uygulanarak algoritmik genel çözümler elde edilmiştir. Bu tip denklemlere örnek olarak sarkıklık yüksekliğinin-uzunluk izdüşümüne oranının küçük olduğu kabloların noniineer titreşimlerini modelleyen diferansiyel denklemlerin baskın ve bire bir iç rezonans çözümleri bulunmuştur. Sadece keyfi kübik nonlineerite ve keyfi kuadratik ve kübik nonlineeriteye sahip iki genel kısmi diferansiyel denklem ele alınarak çok zaman ölçekli metodun iki değişik versiyonu (klasik ve Rahman-Burton) baskın rezonans durumu için uygulanmıştır. Birinci tip denklem için klasik versiyonda elde edilen fiziksel olmayan ekstra çözümlerin duffing osilatörü ile aynı yapıda olduğu bulunmuştur. Rahman-Burton versiyonunun bu ekstra çözümleri eiimine ettiği gösterilmiştir, ikinci tip denklem için ise, kompleks genliğin birinci yavaş zaman ölçeğinden IXbağımsız çıkması nedeniyle her iki versiyonun aynı sonuçları verdiği bulunmuştur. Her iki tip denklem için Rahman-Burton versiyonunun örnek birer uygulaması yapılmıştır. Bu örneklerle alakalı olarak sayısal parametrik değerler kullanılarak birer genlik-frekans grafiği çizilmiştir.