Local cohomology and radically perfect ideals

Yerel kohomoloji teorisi ilk olarak 1961 yılında Alexander Grothendieck tarafından tanımlanmış olup tanımlandığı zamandan bu yana cebirsel geometri, cebirsel topoloji ve değişmeli cebir alanlarında çalışan pek çok araştırmacının ilgisini çekmiş, bu alanlardaki bir çok problemin çözümünde kullanılmıştır. Ayrıca, bu teori günümüzde hala tam olarak doğrulanamayan önemli homolojik sanılarla alakalı çalışmalara da uygulanmıştır. Yerel kohomoloji modüllerinin Grothendieck tarafından verilen orjinal tanımı cebirsel geometrideki kavramlar kullanılarak ifade edilmiş olsa da bazı özel varsayımlar altında bu tanım değişmeli cebir kavramlarıyla aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: R bir halka, I da R'nin bir ideali olsun. R üzerindeki herhangi bir M modülü için \Gamma_I(M)={x\in M: I^nx=0: n∈N}, I-torsiyon fonktörü tanımlanabilir. Bu şekilde tanımlanan \Gamma_I(−) toplamsal, kovaryant, sol tam fonktördür ve dolayısıyla bu fonktörün sağ türetilmiş fonktörleri mevcuttur. Bu sağ türetilmiş fonktörlere M nin I idealine göre yerel kohomoloji modülleri denir ve H^{i}_{I}(M) = \mathcal{R}^i\Gamma_I(M) ile gösterilir. Yerel kohomoloji modülleri ile değişmeli cebirdeki birçok önemli kavramın (aritmetik rank, yükseklik vb.) hesaplanmasında kullanılan bazı yeni değişmezler tanımlanmıştır. Bu değişmezlerin en önemlilerinden biri de kohomolojik boyuttur. Herhangi bir M modülünün I idealine göre kohomolojik boyutu, cd(I,M), aşağıdaki şekilde tanımlanabilir: $cd(I,M):= sup { i \in\mathbb{N} | {H}^i_I(M)\neq 0 }$ Özel olarak M = R olması durumunda I idealinin yüksekliğinin, ht(I), kohomolojik boyut için bir alt sınır, aritmetik rankının, ara(I), ise bir üst sınır olduğu bilinmektedir. Bir idealin kümesel tam arakesit ideali olması da ancak cd(I,R) = ht(I) = ara(I) eşitliğinin sağlanması ile mümkün olduğundan kümesel tam arakesit ideal kavramı ile kohomolojik boyut dolayısıyla yerel kohomoloji kavramları arasında çok yakın bir ilişki olduğu söylenebilir. Bir idealin kümesel tam arakesit ideali olup olmadığının belirlenmesi değişmeli cebirin ve cebirsel geometrinin temel araştırma konularından biridir. Bu alanda önemli pek çok sonuç elde edilmiş olmasına rağmen, klasik problemlerden biri olan "Karakteristiği sıfır olan bir K cismi üzerindeki K[X,Y,Z] polinom halkasının, yüksekliği iki olan tüm asal idealleri kümesel tam arakesit midir?" sorusuna halen tam olarak bir cevap verilebilmiş değildir. K cisminin karakteristiğinin pozitif olduğu durumda, bu sorunun cevabının olumlu olduğu, 1978 yılında Cowsik ve Nori tarafından ispatlanmıştır. Ancak 1994 yılında Erdoğdu ve McAdam tarafından yapılan ortak çalışmada karakteristiğin pozitif olduğu durumun, karakteristiğin sıfır olduğu durumdan farklı davrandığı gösterilmiştir. Söz konusu çalışmada elde edilen sonuçlara paralel olarak Erdoğdu, ele alınan sanının karakteristiğin sıfır olduğu durumda doğru olmayacağı tezini savunmuş ve sonraki çalışmalarında bu tezi desteleyen çok sayıda önemli sonuç elde etmiştir. Hatta kümesel tam arakesit olma tanımını Noether olmayan halkalara da genişleterek "radikal olarak mükemmel ideal" tanımını literatüre kazandırmış ve böylelikle konuyu daha geniş bir perspektifle ele alabilmiştir. Yaptığı çalışmalar sırasında elde ettiği gözlemler neticesinde de " R (Noether olmak zorunda olmayan) karakteristiği sıfır olan bir cisim içeren bir tamlık bölgesi ve R[X ] de R üzerinde her asal ideali radikal olarak mükemmel olan bir polinom halkası ise R'nin boyutu bir midir?" sorusunu gündeme getirmiştir. Birçok durumda bu sorunun cevabının olumlu olduğu gösterilmiş olsa da, henüz tüm durumları kapsayan genel bir çözüm bulunabilmiş değildir. Erdoğdu'nun sorusuna öngörüldüğü gibi olumlu cevap verilebildiği taktirde pek çok araştırmacının yüzyıllardır üzerinde çalıştığı sanının çok daha genel halinin karakteristiğin sıfır olması durumunda olumsuz cevaba sahip olduğu gösterilecek olup bu durumda yapılacak çalışma literatüre geçecek boyutta olacaktır. Fakat var olan metotlar böyle bir sonuca ulaşmada yetersiz kalmaktadır. Bundan dolayıdır ki, bilindiği üzere, şimdiye kadar bu tip alanlarda çalışan araştırmacılar disiplinler arası ilişkilerden yararlanarak yeni metotlar geliştirmiş ve bir takım önemli sonuçlara ancak bu şekilde ulaşabilmişlerdir. Kümesel tam arakesit idealleri dolayısıyla radikal olarak mükemmel idealler ile ilişkili teorilerden biri de, yukarıda da değinildiği üzere, yerel kohomoloji teorisidir. Hellus, bu alanlar arasındaki ilişkiden yararlanarak Noetheryen yerel halkalar üzerinde bir idealin kümesel tam arakesit ideali olabilmesi için gerekli ve yeterli bir koşul vermiştir. Aynı zamanda bu koşul, kümesel tam arakesit idealleri ile yerel kohomoloji modüllerinin Matlis duallerinin ilgili asal idealleri arasında da kuvvetli bir ilişki olduğunu ortaya koymuştur. Dolayısıyla da bu sonuçtan aldığı motivasyonla Hellus, yerel kohomoloji modüllerinin Matlis duallerinin ilgili asal idealleri üzerinde de çalışmalar yapmış ve pek çok önemli sonuç elde edebilmiştir. Ancak uzun yıllardır birçok araştırmacı yerel kohomoloji modüllerinin yapıları üzerine çalıştığı halde yine de bu yapılar halen tam olarak çözülebilmiş değildir. Dolayısıyla bu modüllerin Artin modüller olup olmadığı, ne zaman sıfırlandığı (diğer bir ifadeyle, kohomolojik boyut için aşikar olmayan alt-üst sınırlar belirlenip belirlenemediği), bu modüller üzerindeki sonluluk özelliklerinin belirlenmesi (örneğin; ilgili asal idealler kümesinin veya desteğinin(support) sonlu elemana sahip olup olmadığı; Bass sayıları, injektif boyut gibi değişmezlerin sonlu sayı olup olmadığı vb. belirlenmesi) yerel kohomoloji teorisinin günümüzde halen aktif olarak çalışılan konulardandır. Yerel kohomoloji modüllerinin yapısının bu denli karmaşık ve anlaşılamaz olmasının en önemli nedenlerinden biri, bu modüllerin çoğu durumda R üzerinde sonlu eleman tarafından üretilememesi yani R- modül olarak Noetheryen olmamasıdır. Bu durum göz önünde bulundurularak, yerel kohomoloji modüllerinin yapısını daha iyi kavramada geliştirilen stratejilerden biri de bu modüllerin "daha küçük" olduğu yani sonlu eleman tarafından üretilebildiği yapılar inşa etmektir. Bu bağlamda Lyubeznik, 1993 yılında yaptığı bir çalışmasında D- Modül teorisini yerel kohomolojiye uygulayarak hem bu teoriyi değişmeli cebire uygulayan ilk kişi olmuş, hem de yerel kohomoloji modüllerinin sonluluk özellikleri ile alakalı pek çok önemli sonuç elde etmiştir. Daha sonra 1997 yılında da F-modül tanımını literatüre kazandırarak karakteristiğin pozitif olduğu durumda da benzer sonuçları elde edebilmiştir. Yerel kohomoloji modülleri D ve F-modül yapılarına sahip olduğundan, ve bu yapılar üzerinde sonlu eleman tarafından üretilebildiğinden, sonuçları elde etmek nispeten daha kolay olmaktadır. Bu çalışmanın temel amacı, yerel kohomoloji teorisini kullanarak radikal olarak mükemmel idealler ile ilgili sonuçlar elde etmektir. Bu bağlamda ilk olarak Hellus'un çalışmalarından elde ettiği sonuçlardan alınan motivasyonla, Lyubeznik ve Yıldırım tarafından "Noetheryen regüler yerel halkalar üzerinde sıfırdan farklı herhangi bir ideal için tüm yerel kohomoloji modüllerinin, H^{i}_{I}(R)> 0, Matlis duallerinin ilgili asal idealler kümesinde sıfır ideali daima bulunmakta mıdır, yani daima 0\in Ass(D(H^{i}_{I}(R))) olmak zorunda mıdır?" sorusu ortaya atılmış ve bu sorunun halkanın karakteristiğinin pozitif olması durumunda olumlu cevaba sahip olduğu ispatlanmıştır. Bu sonucun ispatında F-modül teorisindeki tekniklerden yararlanılmıştır. Daha sonra kohomolojik boyut kavramı ele alınmış ve kohomolojik boyut için aşikar olmayan alt-üst sınırlar belirlenmiştir. Ayrıca elde edilen sonuçlar kullanılarak, eğri (catenary) olmayan Noether tamlık bölgelerinde kümesel tam arakesit olmayan en az bir asal idealin varlığı gösterilmiştir. Eğri olmayan Noether tamlık bölgelerinin Krull boyutunun en az üç olması gerektiği gerçeği R[X] de her idealin radikal olarak mükemmel olması için R nin boyutunun en fazla bir olması gerektiğini perçinleyen bir sonuçtur. Tüm bunların yanısıra "Verilen bir halka üzerinde radikal olarak mükemmel asal idealler zinciri bulunabilir mi?" sorusundan hareketle cd(I,M) = c > 0 koşulunu sağlayan herhangi bir I ideali ve herhangi bir M modülü için cd(I_i,M) = i, 0\leq i \leq c, olacak şekilde bir $I=I_c\supsetneq I_{c-1}\supsetneq \cdots \supsetneq I_0$ azalan idealler zincirinin var olduğu kanıtlanmıştır. Son bölümde ise bir önceki bölümlerde elde edilen sonuçların da yardımıyla yerel kohomoloji modüllerinin yapısal özellikleri ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Bu bağlamda ilk olarak boyutu en fazla üç olan asal ideallere ayrılış bölgelerinde üst yerel kohomoloji modüllerinin $H^{cd(I,R)}_I(R)$ Artinyen olabilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir. Ardından daha yüksek boyutlarda bu modüllerin Artinyenliği incelenmiştir. Son olarak da sonlu uzunluktaki modüller ele alınmış; yerel kohomoloji modüllerinin ne zaman sonlu uzunlukta olabileceği ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir ve aynı zamanda "Grothendieck'in Sıfırlanmama Teoremi" olarak da bilinen sonuca alternatif bir ispat verilmiştir. Bu çalışmada tüm halkalar değişmeli ve birim elemana sahip halkalar olup, boyut ile de her zaman Krull boyutu kastedilmektedir.