Zaman ölçeğinde bazı integral denklemlerin kararlılığı ve yakınsaklık sonuçları

Bu tezin amacı R reel sayılar kümesinin keyfi, boştan farklı ve kapalı bir alt kümesi olarak tanımlanan zaman ölçeklerinde Volterra integral denklemlerin Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılıklarını incelemektir. Tezde aynı zamanda farklı uzaylarda zaman ölçekleri üzerinde verilen Fredholm integral denklemlerin çözümlerinin varlığı veya tekliği incelenmiştir. Bu amaçlar doğrultusunda hazırlanan tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmış olup integral denklem, zaman ölçeği ve kararlılık kavramlarının tarihsel gelişimi hakkında kısaca bilgiler verilmiştir. İkinci kısımda temel kavramlar başlığı ile tezde kullanılan temel bilgiler, teoremler ve örnekler ayrıntılı bir şekilde sunulmuştur. Diğer kısımlar tezin orijinal sonuçlarını içermektedir. Üçüncü bölümde, ilk olarak zaman ölçeklerinde verilen farklı türden iki Volterra integral denklemi genelleştirilmiş ve bu denklemler için Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılıkları incelenmiştir. Ayrıca lineer olmayan bir Volterra integral denklemi zaman ölçeği üzerinde tanımlanarak bu denklem için Ulam-Hyers ve Ulam-Hyers-Rassias kararlılık sonuçları ispatlanmış ve bu sonuçları destekleyen bir örnek sunulmuştur. Bu bölümün son kısmında ise zaman ölçeğinde verilen genel bir Volterra integral denklemin Ulam-Hyers-Rassias kararlılığına sahip olduğu gösterilmiştir. Dördüncü bölümde, b-metrik benzeri uzaylarda T-ortalama genişlemeyen bir dönüşümün tek bir sabit noktasının olduğu gösterilmiş ve bu dönüşüm kullanılarak T-Picard iterasyon yönteminin (T,S)-kararlılık sonucuna yer verilmiştir. Sabit nokta teoreminin sonucu ile zaman ölçeklerinde tanımlanan lineer olmayan Fredholm-Hammerstein ve lineer Fredholm integral denklemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. Ek olarak, bulguları desteklemek için farklı zaman ölçeklerinden iki sayısal örnek sunulmuştur. Beşinci bölümde, ilk olarak 2022 yılında Abbas ve ark. tarafından Banach uzayında tanıtılan AA-iterasyon metodu hiperbolik metrik uzaya modifiye edilmiştir. Daha sonra bu tür uzaylarda daralma dönüşümleri için zayıf w^2-kararlılık sonucu ile genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşümler için kuvvetli yakınsaklık ve Δ-yakınsaklık sonuçları incelenmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş (α,β)-genişlemeyen dönüşümler için nümerik bir örnek sunulup, farklı iterasyon metotları ile karşılaştırmalı bir yakınsama analizi yapılmıştır. Son olarak elde edilen bulgular zaman ölçeğindeki lineer olmayan Fredholm-Hammerstein ve lineer Fredholm integral denklemleri üzerinde uygulamalar ile değerlendirilmiştir. Son bölüm ise sonuç ve öneriler kısmı ile tamamlanmıştır. Bu tezden üretilen makalelerden biri Maltepe Journal of Mathematics dergisinde diğer ikisi ise AIMS Mathematics dergisinde yayımlanmıştır. Bahsi geçen makaleler zaman ölçeği üzerinde integral denklemlerin kararlılığı ve çözümlerinin varlığı veya tekliği ile ilgili ileride yapılacak çalışmalara kaynak teşkil edecek niteliktedir. Anahtar kelimeler: Zaman ölçeği, integral denklemler, kararlılık, sabit nokta, genişlemeyen dönüşümler