1,967
Archived Theses
4
DOIs Assigned
0%
DOI Rate
Discipline
On inequalities involving the Hadamard product and norms of matrices
Inequalities in Hadamard product has been an active research area in the recent years. In this thesis, the studies about Hadamard products of different type of matrices, spectral radius of those matrices and inequalities on the spectral radius of matrices are investigated. Furthermore, new lower and upper bounds are computed for those inequalities involving spectral radius with the help of the norms of matrices.
Inequalities of block matrices in the context of the schur complement
Schur complement is a key tool in many areas of matrix analysis and a rich source for matrix inequalities. The use of the Schur complement technique has an algorithmic structure in calculating matrix inverses and linear systems. In this study we examine equalities and inequalities involving the Schur complement of the large sized matrices. For this purpose we use positive definite and positive semi definite block matrices and examine the Schur complement of their products, such as Hadamard product, Kronecker product. Also in this thesis we analyze the block form of Hadamard and Kronecker products. We make an analogy between the inequalities involving Hadarmard, Kronecker products and block form of these products.
Auslander-Bridger transpozu üzerine
Let R be a ring with unity. A module M is said to be stable if it has no nonzero projective direct summand. It is well-known that over a semiperfect ring R, taking the Auslander-Bridger transpose establishes a one to one correspondence between the isomorphism classes of finitely presented stable right R-modules and the isomorphism classes of finitely presented stable left R-modules. Over a general ring R, Facchini and Girardi extend this one to one correspondence by taking an Auslander- Bridger transpose between two isomorphism classes of some modules which they call Auslander-Bridger right R-modules and Auslander-Bridger left R-modules. In this thesis, we give some ring classes over which every finitely presented module can be decomposed into a direct sum of a projective submodule and a stable submodule. If the ring R is semilocal has finite hollow dimension as a right R-module or left semihereditary, then every finitely presented right R-module has such a decomposition. We give some ring examples over which there exists a finitely generated module or a finitely presented module where such a decomposition fails. Another problem that we deal with in this thesis is the Auslander-Bridger transpose of finitely presented simple modules. It is shown by Türkoğlu in his master thesis that if R is a commutative ring where every maximal ideal is finitely generated and projective, then an Auslander- Bridger transpose of every simple R-module is isomorphic to itself, and so simple. A related result is given by Haack. We give the details of the proof of Haack's result: for an Artinian ring R, the Auslander-Bridger transpose of every nonprojective simple right R-module is simple if and only if R is a serial ring. This also gives us some relations between the proper classes of short exact sequences of R-modules that are projectively generated or flatly generated by simple modules.
Neredeyse mükemmel halkalar
Bazzoni and Salce have showed that all modules over a commutative domain R have a strongly flat cover if and only if every flat R-module is strongly flat and that holds if and only if R is almost perfect, that is, every proper quotient of R is a perfect ring. Facchini and Parolin defined a ring R to be right almost perfect if the quotient ring R/I is a right perfect ring for every nonzero proper two-sided ideal I of R. They proved that most of the properties of commutative almost perfect domains still hold in the noncommutative setting. In this thesis, we observe the relation between commutative almost perfect domains and C-rings of Renault, and then the relation between right almost perfect rings and C-J-rings of Generalov. A ring R is said to be a left C-ring if for every left R-module M and for every essential proper submodule N of M, M/N has a simple submodule. For a set J of left ideals of a ring R, the ring R is said to be a left C-J-ring if for any proper J-dense left ideal I of R (that is, for every element r of R, the left ideal (I:r) belongs to J and (I:r)r is not equal to 0), there exists an element r of R such that (I:r) is a maximal left ideal. Facchini and Parolin have defined h-locality also for noncommutative rings. A ring R is said to be h-local if R/I is semilocal for every proper nonzero two-sided ideal I of R and every nonzero prime two-sided ideal of R is contained in a unique maximal two-sided ideal of R. We prove that for a prime ring R, R is right almost perfect if and only if it is h-local and a left C-J-ring, where J is the Gabriel filter that consists of the left ideals I of R such that for every two-sided ideal J containing I properly, there exists an element r not contained in J with (J:r) containing a nonzero two-sided ideal.
Modelling electromagnetic waves in anisotropic materials
The thesis deals with modelling electromagnetic waves in anisotropic media. In the first part of the thesis, a new method of approximate computation of the electric and magnetic matrix Green's functions in general gyrotropic media has been suggested and investigated. This method is based on the following. The Fourier images of the elements of the electric and magnetic matrix Green's functions with respect to space variables are computed exactly by some matrix transformations and symbolic computations in MATLAB. The element of the Green's functions for electric and magnetic fields are derived approximately by the regularized numerical computation of the inverse Fourier transform of their images obtained on the previous step. The regularization parameters are chosen by comparison the elements of regularized Green's functions for electric and magnetic fields with exact the Green's functions for electric and magnetic fields in the case of an isotropic medium. The computational experiments confirmed the robustness of the method. In the second part of the thesis we suggested a new method of approximate computation of the fundamental solution of time-dependent Maxwell's equations for general anisotropic conductive materials. This method is based on the following. Applying the Fourier transformation with respect to the space variables, the initial value problem is reduced to the Volterra integral equations. The solution of the obtained integral equation is constructed by the method of successive approximations. Finally, the inverse Fourier transform is applied numerically to the fundamental solution for the time-dependent Maxwell's equations. The computational experiments confirmed the robustness of the method.
Bulanık Alexandroff topolojik uzaylar üzerine
Bu tezde ilk olarak klasik anlamda Alexandroff topolojiler, iç operatörleri vekapanış operatörleri tanıtılmıştır. Daha sonra ayırt edilmezlik operatörleri yardımıylabulanık Alexandroff topolojiler, bulanık iç operatörleri ve bulanık kapanış operatör-leri tanımlanarak aralarındaki ilişkiler incelenmiştir.
Yaklaşık birim operatörlerin doğurduğu dalgacık tipli integral dönüşümler ve bazı uygulamaları
Bu tez çalışmasında, Riesz-Bochner integrali, bir ağırlık fonksiyonu ve dalgacık fonksiyonu yardımıyla bir İntegral Dalgacık Dönüşümü tanımlanmış ve ona uygun ters çevirme formülü ( Calderón Formülü ) elde edilmiştir.
Poisson ortalamalarının f?L_{p}(??) fonksiyonlarına bazı pürüzsüzlük noktalarındaki yakınsama hızının tahmini
Tüm reel eksende Lebesgue integrallenebilir bir fonksiyonun Fourier dönüşümü verildiğinde fonksiyonun kendisinin oluşturulması meselesi Harmonik Analizin önemli problemi olarak ortaya çıkmış ve birçok ünlü matematikçinin ilgi odağı olmuştur. İntegrallenebilir bir fonksiyonun Fourier dönüşümü integrallenebilir olmayabilir. Dolayısıyla, bu durumlarda Fourier dönüşümü vasıtasıyla fonksiyonun kendisini oluşturmak için ters Fourier dönüşümü uygulamak mümkün olmayabilir. Bu zorlukların üstesinden gelebilmek için değişik toplanabilirlik metodları ortaya çıkmıştır. Bu metodların en ünlüleri Poisson, Gauss-Weierstrass ve Riesz-Bochner metodlarıdır. Biz bu çalışmada bazı toplanabilirlik metodlarını inceleyerek Poisson ortalamalarının L_{p}(??) fonksiyonlarına bir tür pürüzsüzlük noktası olan ?-pürüzsüzlük noktalarındaki yakınsama hızını gösterdik.
Hecke tipi operatörler ve uygulamaları
Bu çalışmada, kısmi Hecke operatörleri ve bu operatörlere bağlı kısmi Hecke tipioperatörler tanımlanmıştır. Bu operatörlerin bazı uygulamaları verilmiiştir. KısmiHecke operatörlerine karşılık gelen matrisler verilmiiştir. Özel olarak Bernoulli veEuler polinomlarını içeren iki matris temsili verilmiiştir. Kısmi Hecke operatörlerive genelleştirilmiiş kısmi Hecke operatörleri, sırasıyla, Genocchi tipi polinomlara vegenelleştirilmiş Euler tipi polinomlara uygulanarak bazı sonuçlar elde edilmiştir.Tp ile gösterilen Hecke tipi operatörleri, matematikte çok önemli yer tutan özelfonksiyonlara uygulanmıştır.ANAHTAR KELiMELER: Genelle¸stirilmi¸s Bernoulli-Euler tipi polinomu,Hecke operat?rleri, K¨smi Hecke operat?rleri,÷zel fonksiyonlar, ?reteÁ fonksiyonlar¨
Çok değişkenli hermite tabanlı appell polinomları üzerine
İlk bölümde Appell polinomlar ailesindeki bazı polinomlar ile Hermite polinomunun tanımlandığı diferensiyel denklem verilmiştir. Sonra ilk olarak klasik Bernoulli,Euler, Genocchi, Euler-Frobenius polinomları tanımlanmıştır. Bu polinomların sağladıkları özellikler ifade edilmiştir. Bulgular bölümünde Dattoli ve arkadaşları tarafından tanımlanan 2D-Bernoulli polinomların genelleştirilmesi verilmiştir. Genelleştirilmiş parametreli Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler, Apostol-Genocchi polinomları için çeşitli yeni rekürans bağın-tıları ispatlanmıştır. Hermite-tabanlı Apsotol-Bernoulli polinomu ile Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu ve genelleştirilmiş Frobenius-Euler polinomu ile Hurwitz-Lerch zetafonksiyonu arasındaki lineer bağıntılar ispatlanmıştır. Bu polinomlar için bazı yeni genellemeler verilmiştir. Son olarak üstel fonksiyonların integral değeri iki değişkenli ve dört değişkenli Hermite polinomları cinsinden ifadeleri bulunmuştur.ANAHTAR KEL·IMELER: Bernoulli polinomalar¬, Euler polinomlar¬, Hermite polinomlar¬, Appell polinomlar¬,Appell dizileri.
Arf semigrup ve cebirsel eğrilere uygulamaları
Nümerik semigruplarla ilgili çalışmaların önemli bir bölümü cebirsel geometride çalışılan cebirsel eğrilere dayanır. Nümerik semigruplar, kodlama teorisi ve cebirsel eğrilere uygulamaları nedeniyle önemlidir.Bu tezde, öncelikle nümerik semigruplar ve genel özellikleri verilmiştir. Önemli cebirsel eğri sınıflarının bir Q Weierstrass noktasındaki semigrupları incelenmiş ve bu semigrupların Arf olma özelliği araştırılmıştır. Ayrıca, bir cebirsel eğri üzerinden yazılan tek noktalı cebirsel geometrik kodların, bir Arf semigrup üzerinden tanımlandığında kodun minimum mesafesi üzerinden Feng-Rao (order bound) sınırı Bras-Amoros (2000, 2005, 2007), Campillo ve diğerleri (2004) çalışmalarına göre hesaplanmıştır. Daha iyileştirilmiş parametrelere sahip kodlar kurulabileceği gözlemlenmiştir. İyi parametreli kodların yazılması açısından, Arf semigrupların kullanılmasının önemli katkılar ve yeni teknikler kazandıracağına inanıyoruz. ANAHTAR KELIMELER:Arf semigrup, Feng-Rao sınırı, tek nokta kodları
Interpolation and approximation by q-B-spline functions
In this thesis, from viewpoint of interpolation and approximation, we investigate fundamental properties of q-B-spline functions which are piecewise polynomials whose q-derivatives are continuous. We give a representation of q-B-splines via divided differences of truncated power functions which may be considered as a generalization of classical truncated functions. We derive q-analogue of the de Boor-Fix formula for dual functions and 1/q-integral of q-B-splines over their support by using recurrence formula for q-B-splines and q-analogue of Marsden identity. A 1/q-convolution formula for uniform q-B-splines is also obtained. We introduce a q-analogue of Peano kernel theorem. We give applications to polynomial interpolation and construct examples in which classical remainder theory fails whereas q-Peano kernel works. Furthermore, we establish a relation between q-B-splines and divided differences via q-Peano kernel. We show that q-B-splines form a basis for quantum spline spaces. Recurrence relations for 1/q-integration and 1/q-differentiation formulas of q-spline functions are derived. Moreover, we demonstrate a way to find the polynomials on each interval of a q-spline function. After all, we give basic theory of interpolation by a q-B-splines and approximation by q-analogue of the Bernstein-Schoenberg operator.
Residual method for nonlinear system of initial value problems
In this thesis, non-linear system of initial value problems are solved numerically using Residual Method which is based on the minimization of a residual function using the Taylor's series expansion. The convergence of the method applied to non-linear system of initial value problems is analysed. The method is illustrated with Lorenz system, which is a chaotic initial value system, and primary HIV-1 infection problem, which is a non-linear dynamical system.
Karmaşık interval aritmetik ve karmaşık fuzzy aritmetik üzerine
Fuzzy küme teorisi, uygulama alanlarının genişliği ve bu alanlarda oluşturduğu sonuçların etkisi bakımından bilimsel çalışmalarda önemli bir yer tutmaktadır. Tezde, öncelikle fuzzy kümeler ve genel özellikleri verilmiştir. Konvekslik tanımından yola çıkılarak fuzzy konvekslik tanımı verilmiş ve ?-kesmeleri ile ilişkilendirilmiştir. Ayrıca, fuzzy sayılar ve genişletilmiş aritmetik işlemler incelenmiştir. Fuzzy sayılar ve karmaşık fuzzy sayılar ?-kesmeleri aracılığıyla sırasıyla interval aritmetiğe ve karmaşık interval aritmetiğe indirgenerek bunlar üzerindeki temel işlemler ve özellikleri tartışılmıştır.
Kübik theta fonksiyonlarında bazı özdeşlikler üzerine
Bu çalışmada ilk olarak Weierstrass fonksiyonunun temel özellikleri incelenmiş ve sağladığı teoremler verilmiştir.Sonra Jacobi Theta fonksiyonları verilip gerçeklediği bağıntılar ispatlanmıştır.Theta fonksiyonlarının yardımıyla Jakobi sn(z,k), cn(z,k) ve dn(z,k) fonksiyonları incelenmiştir. Bulgular bölümünde Theta fonksiyonlarının sonlu toplamları ve bunlarla ilgili bazı özdeşlikler incelenmiştir.Kübik theta fonksiyonlarında iki teorem ve iki sonuç ispatlanmıştır.
Rıordan sıraları yöntemi üzerine
Bu çalışmada, giriş kısmında konu hakkında genel bilgiler verildikten sonra tez kapsamında çeşitli özellikleri incelenecek ve uygulamaları verilecek olan özel sayı dizileri tanıtılmıştır. İkinci bölümde öncelikle formal kuvvet serileri ve formal Laurent serileri tanıtılmış ve bunların temel özellikleri verilmiştir. Daha sonra, bunlar yardımıyla üreteç fonksiyonlarının genel teorisi ve temel işlemleri açıklanmıştır. Farklı tipten reküranslara sahip çeşitli dizilerin üreteç fonksiyonları yardımıyla nasıl incelenecekleri örneklerle açıklanmıştır. Riordan sıraları bölümünde ise formal kuvvet serileri ve üreteç fonksiyonları yardımıyla Riordan sırasının tanımı verilmiş; bu yöntemin çeşitli alanlarda kullanılabilmesini sağlayan temel kuralları ve teoremleri analiz edilmiştir. Son olarak, özellikle Lagrange Tersinme Formülü kullanılarak, Riordan sıraları yöntemiyle birçok kombinatorik özdeşliğin elde edilebileceği gösterilmiş ve bazı özel sayı dizilerinin elemanlarının birbirleri ve başka dizi elemanları ile aralarındaki ilişkileri veren eşitlikler ifade edilmiştir.
Bazı Appell polinom ailelerinin matris ifadeleri üzerine
Bu tez çalışmasında, bazı klasik özel fonksiyon ailelerinin matris genişlemeleri üzerine çalışılacaktır. Hermite matris polinomlarının sağladığı toplam ve çarpım formülleri, sahip olduğu diğer üreteç fonksiyonları ve hipergeometrik matris fonksiyonları gösterimleri elde edilecektir. Genelleştirilmiş Hermite matris polinomları tanımlanarak, sağladığı özeliklerde uygun parametre seçimleriyle Hermite matris polinomları için Burchnall operatör formülü ve Nielsen bağıntısı ispatlanacaktır. Laguerre matris polinomlarının üreteç fonksiyonu modifiye edilerek modifiye Laguerre matris polinomları tanımlanacak, sağladığı üç terimli rekürans bağıntısı, Rodrigues formülü, matris diferansiyel denklemi ve sahip olduğu bilineer ve bilateral üreteç fonksiyonları incelenecektir. Ayrıca, Laguerre-tipli matris polinomları için yeni bir genelleştirme verilecektir. II. tip Chebyshev matris polinomları genelleştirilerek, özellikleri araştırılacaktır. Sağladığı bir integral gösterimi kullanılarak bu matris polinomları için bazı operatör formülleri ispatlanacaktır. Ayrıca, II. tip Chebyshev matris polinomlarının sağladığı bir matris diferansiyel denklem elde edilecektir. Genelleştirilmiş Humbert matris polinomları için bazı rekürans bağıntıları, matris diferansiyel denklemi, integral gösterimi gibi özellikler araştırılacaktır. Ayrıca, Gegenbauer matris polinomları için bir seri dönüşüm formülü ispatlanarak birkaç uygulaması verilecektir. Gamma matris fonksiyonunun bir fonksiyonel eşitliği ispatlanacaktır. Bununla birlikte, sinüs matris fonksiyonu için bir sonsuz çarpım formülü elde edilecektir. Riemann zeta matris fonksiyonu tanımlanarak bazı matris integralleri hesaplanacaktır. Son olarak, Riemann zeta matris fonksiyonun bir fonksiyonel eşitliği ispatlanacaktır.
Kategori teoride limit kavramı
Bu tezde kategori teorisi ve temel kavramları, temel kaynak olarak Adámek, Herrlich ve Strecker (1990), Anderson ve Fuller (1992), Lane (1998) alınarak incelenmiş ve matematiğin iyi bilinen bazı kavramlarına, kategorik olarak bakılarak bu kavramların genelleştirmesi incelenmiştir. İkinci bölümde gerekli ön bilgiler verilmiş, vektör uzaylarındaki taban kavramı evrensellik özelliğiyle incelenmiştir. Üçüncü bölümde, kategori tanımı verilmiş, ayrıca kümeler üzerinde tanımlanan birebir, örten fonksiyon, kartezyen çarpımı, ayrık birleşim, eşitleyici gibi kavramlar kategorik olarak incelenmiştir. Dördüncü bölümde funktor kavramı tanıtılmış ve bazı temel özellikleri incelenmiştir. Bunun yardımıyla farklı kategoriler arasındaki ilişkiler incelenmiş, iki kategorinin izomorf olması ve denk olması kavramları incelenmiştir. Beşinci bölümde, diyagram ve doğal dönüşüm kavramları incelenmiştir. Bunun yardımıyla farklı funktorlar arasındaki ilişkiler incelenmiş ve matematiğin önemli konularından biri olan limit kavramına kategorik olarak bakılmıştır. Üçüncü bölümde bahsedilen çarpım, eşitleyici ve modül teoride kullanılan direkt limit ve ters limit gibi kavramların, kategorik limit ve dual limitin özel halleri olduğu gösterilmiştir.
Asal ve eşasal alt modüller yardımıyla modül ve halka karakterizasyonlarının belirlenmesi
Bu tezin amacı, eşasal altmodüllerin ve bu altmodüller yardımıyla tanımlanan bazı kavramların, modül ve halka karakterizasyonlarının belirlenmesinde nasıl kullanılabileceklerini ve bilinen modül sınıfları ile olan ilişkilerini araştırmaktır. Birinci bölümde, halka ve modül kuramına ilişkin tez çalışmamızın sonraki bölümlerinde kullanılacak olan bazı önbilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, literatürde eşasal altmodüllere ilişkin yer alan bazı sonuçlar verilmiştir. İkinci bölümden sonra gelen üç bölüm, tamamen özgün olacak şekilde düzenlenmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak değişmesiz halkalar üzerindeki eşasal modüllerin bazı karakterizasyonları verilmiş ve farklı modül sınıfları ile olan ilişkileri araştırılmıştır. Daha sonra, bir modülün eşasal bölüm modüllerinden yararlanılarak bu modülün ekli asalları ile ilgili birtakım sonuçlar elde edilmiştir. Son olarak, eşasal modül kavramı ile dar boyut kavramı arasındaki ilişkiler araştırılmış ve eşasal modül kavramından yararlanılarak max özelliğine sahip olan modüller için birtakım sonuçlar verilmiştir. Dördüncü bölümde, eşasal radikal kavramı ele alınmış ve bu kavramdan yararlanılarak modüller ve halkalar için bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir. Bu bölümde halkalardaki m-sistem kavramının modüller için duali olan m^{∗}-sistem kavramı ortaya atılmış ve bir altmodülün eşasal radikali m^{∗}-sistem kümeleri vasıtasıyla karakterize edilmiştir. Bunun yanısıra, bir modülün sokulu ile eşasal radikalinin ne zaman eşit olacağı sorusu ele alınmış ve bir halka üzerindeki her modülün bu eşitliği sağlamasının halka için ne anlama geldiği araştırılmıştır. Ayrıca belirli modüllerin eşasal radikallerinden yararlanılarak, basit halkaların ve sağ Artin halkaların bazı karakterizasyonları verilmiştir. Beşinci bölümde, aşamalı halkalar üzerinde aşamalı eşasal ve eşasalımsı altmodül kavramları tanımlanmış ve bu altmodüllerin karakterizasyonlarına yer verilmiştir. Ayrıca değişmeli bir aşamalı Noether halka üzerindeki her aşamalı injektif modülün bir aşamalı sekonder gösterime sahip olduğu kanıtlanmıştır.
Fourier-bessel harmonik analizinde bazı uzaylar ve integral operatörler üzerine
Bu tez çalışmasının iki amacı vardır. İlk amaç Fourier- Bessel harmonik analizinde tanımlı bazı fonksiyon uzaylarını inceleyip ardından B- Campanato uzayını tanımlamak ve bu uzayın özelliklerini incelemektir. İkinci amaç ise Fourier- Bessel harmonik analizinde singular integral operatörlerin (B- singular integral operatörlerin) sınırlılığını elde etmektir. Bu amaç doğrultusunda ilk olarak B- singular integral ve vektör değerli B- singular integral operatörleri tanımlanmış ve bu operatörlerin sınırlılıkları elde edilmiştir. Son olarak B- karesel fonksiyon tanımı verilmiş ve vektör değerli B- singular integral operatörünün sınırlılığı vasıtasıyla B- karesel fonksiyonun sınırlılığı ispat edilmiştir.
Sonlu üreteçli modüller ve ilgili modüller
Bu tezde, sonlu üreteçli modüllerin temel tanım ve özellikleri verilerek karakterizasyonu çalışılmıştır. İlk üç bölümde sonlu üreteçli modüllerin bazı temel özellikleri verilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölümlerde radikal ve zincir şartları ile sonlu üreteçli modüllerin ilgisi incelenmiştir. Son bölümde sonlu üreteçli modüllerin ileri karakterizasyonları çalışılmış ve bazı uygulamaları verilmiştir. Anahtar Sözcükler: Sonlu üreteçli modül, Noether modül, Radikal, small altmodül, essential altmodül, Noether halka
Eş-üreteçli modüller ve ilgili modüller
Bu tezde eş-üreteçli modüllerin tanımı ve sonlu eş-üreteçli modüllerin temel tanım ve özellikleri verilerek karakterizasyonu çalışılmıştır. İlk üç bölümde sonlu eş-üreteçli modüllerin temel tanım ve özellikleri ispatlanmıştır. Dört ve beşinci bölümlerde socle ve zincir şartları ile sonlu eş-üreteçli modüllerin ilgisi incelenmiştir. Son bölümde farklı modül ve halkalar ile sonlu eş-üreteçli modüllerin uygulamaları verilmiştir. Anahtar Sözcükler: Eş-üreteçli modüller, Sonlu üreteçli modüller, Sonlu eş-üreteçli modüller, essential modül, small modül, Socle, Radikal, Artin modül, Artin halka
Log O-r dönüşümleri ve G(karekökü m) hecke gruplarının çarpan değerleri
S.OZET Çifte periyodik ve meromorf fonksiyona eliptik fonksiyon denir. Theta fonksiy onlarının sonsuz çarpım ifadeleri, oo n-l oo.m = na-?2n)(l+?2n"1)2' n=l oo **(*) = n(i-?2n)a-92n_1)2 şeklindedir. a, b, c, d ? Z ve ad - be = 1 olmak üzere / ar + b t -: CT + d şeklinde ki tüm Möbiüs dönüşümleri bir grup oluşturur. Bu gruba Modular grup denir ve T ile gösterilir. Bu grup aynı zamanda A = J, J, det^l = 1 biçimde 2:r2 tamsayı girdili matrislerle de ifade edilebilir, r, St = t + 1 ve Tt = -l/r dönüşümleri tarafından üretilmektedir. /(r) fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlarsa - r inci dereceden Tam Modular Form denir; a)/(r) üst-yarı düzlem H de meromorf, b)Her (* *J?r,r?R için /(A/r) = c(M)(cr + d)rf{r) c)/(r )nun Fourier serisi, oo f(r) = £ «(n)e2T\ Dedekind Eta fonksiyonu, üst-yarı düzlem H de CO n=l 28ifadesiyle verilir. x = e2mT için n(l - **) sonsuz çarpımını elde ederiz. T £ H için |a?| < 1 bulunur ve böylece sonsuz çarpını sıfırdan farklı ve mutlak yakınsaktır. ( ı ÇTveOÖ olmak üzere, l°S n ( c7+l) = İ0g ^ + T \İ2c~ + S^~d' CM + 2 Iog ^"^CT + d^ dönüşümü Apostol tarafından gösterilmiştir. Burada s(- d, c) Dedekind toplamıdır. Dedekind toplamı, h, k Ç. Z, k > 0, (h, k) = 1 olmak üzere, eşitliği ile tanımlanır. 0r, (r = 2,3,4) fonksiyonları ile rç(r) fonksiyonu arasındaki bağıntılar, log62(r) = log2 + 2logr?(2r)-log»?(r) loge3(r) = ^ + 21og^(^±i)-log?7(r) iog04(r) = 21ogı?(-)-logj?(r) eşitlikleri ile verilir(Barner 1985). Modular, Süreksiz, G \\ffq) Hecke grupları, St - r+Xq, \q = 2 cos |, q G Z, q > 3 ve Tt = -l/r dönüşümleri ile üretilmektedir. q - 3 için St = r + 1 ve Tt = -l/r ile T modular grubunu elde ederiz. Bu çalışmada ilk olarak, log 03 (^) = log 63 ( ^) + 7rı(S(ft, fc) - 2s{h, 2k)) - § log z log 04 (^) = log 04 (^) + ıri(s(h, k) - 2s(A, 2fc)) - | log z log 02 (^) = l°g ©2 (^) - tt^' (^) + «W A, *) - 2s(h, k/2)) - | log z bağıntıları bulundu. Daha sonra G(y/m), m = 2,3 Hecke gruplarına karşı gelen sıfır boyutlu modular form için çarpımsal değerleri belirlemede sistematik bir metot gösterildi. 29
Eliptik eğrilerin rasyonel noktaları
6. SUMMARY It is well kowii that by suitable transformations a cubic equation of the form !(*?> y)= J2 aH x' V* ' = ° j+j<3 with rational coefficients can be transformed into an equation of the following form which is referred to as Weierstrass Normal Form: y2 = g(x) = x3 + ax2 + bx + c; a, b, c ? Q (6.1) If the equation g(x) = 0 has distinct complex roots, then the curve given by the equation (6.1) is called an elliptic curve over Q. If P and R are two points on an elliptic curve, then the line joining these two points intersects the curve in a uniquely determined third point. The symmetric partner of this point about the x- axis is defined to be the sum P + R of the points P and R. With this definition of addition, the set of points on the elliptic curve becomes an Abeliangroup whose identity element is the point at infinity of the elliptic curve. Given an elliptic curve and a point P = (x, y) on it; if a:, y ? Q, then P is callad a rational point of the curve. If the point at infinity is considered as a rational point, then the set of rational points constitutes s subgroup of the group of points on the elliptic curve. The aim of this thesis is to investigate the structure and properties of this subgroup. One of the questions that one might ask, in this context, is whether or not this subgroup finite or finitely generated. The answer to this question is Mordell's Theorem which states that the subgroup of rational points is a finitely generated Abelian group. In the first chapter of the thesis we give the preliminaries and introduce the notations. In the second chapter, we give the proof of Mordell's Theorem (under the assumption that there is a rational point of order two) where we use the the concept of height and also some homomorphic mappings. We also give some examples in connection with Mordell's Theorem. Since the Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian groups gives the structure of such groups completely; one can say that the structure of the group of rational points of an elliptic curve is completely described by Mordell's Theorem. By means of Nagel-Lutz Theorem and Mazur's Theorem the we have stated in the first chapter, it is possble to determine the subgroup of elements of finite order in the group of rational points of elliptic curves over Q. However, not much is known about the rank r of this group, and so far, no example is given for an elliptic curve with r > 15. In the third chapter of the thesis, we give the definition of elliptic curves over 74finite fields. We introduce the concept of rational points in that case also, and we reproduce the proof of a theorem of Gauss wliich gives the number of rational points of a particular elliptic curve over a finite field. 75
Fourier dönüşümü bilinen bir fonksiyonun toplanabilirlik metodları ile oluşturulması
oz FOURİER DÖNÜŞÜMÜ BİLİNEN FONKSİYONUN TOPLANABİLİRLİK METODLARI İLE OLUŞTURULMASI Melih ERYİĞİT Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Ağustos-1998, 33 Sayfa Tüm reel eksende Lebesgue anlamında integrallenebilir bir fonksiyonun Fourier dönüşümü verildiğinde fonksiyonun kendisinin oluşturulması meselesi ve benzer şekil de, [0, 2n] arlığında integrallenebilir bir fonksiyonun Fourier katsayıları verildiğinde, bu katsayılar vasıtasıyla fonksiyonun kendisinin oluşturulması meselesi Harmonik Analizin önemli problemi olarak ortaya çıkmış ve bir çok ünlü matematikçinin, örneğin, Hardy ve Littlewod, Cesaro, Poisson, Bochner, Riesz, Zygmund'un v.s ilgi odağı olmuştur. İntegrallenebilir bir fonksiyonun Fourier dönüşümü integrallenebilir olmaya bilir. Dolayısıyla, bu durumlarda Fourier dönüşümü vasıtasıyla fonksiyonun ken disini oluşturmak için Ters Fourier dönüşümünü uygulamak mümkün olmayabilir. Fakat fonksiyon hakkında tüm bilgiler, onun bir anlamda duali olan Fourier dönü şümünde bulunduğundan, matematikçiler bu bilgileri Fourier dönüşümünden edin menin yollarını düşünmüşler ve böylece değişik toplanabilirlik (summability) metod- ları ortaya çıkmıştır. Bu metodlann içinde en ünlüleri Abel-Poisson, Gauss- Weierstr- ass ve Riesz-Bochner metodlarıdır. Biz bu çalışmada adı geçen toplanabilirlik metodlarını ayrı ayrı inceleyerek onların Harmonik Analizde oynadıkları önemli rolü ortaya koyduk. Ayrıca tezimizin bulgular kısmında Riesz-Bochner ortalamalarının fonksiyona bir tür pürüzsüzlük noktalarında yakınsama hızını gösterdik. ANAHTAR KELİMELER : Fourier Dönüşümü, Abel-Poisson Toplanabilirlik, Gauss- Weierstrass Toplanabilirlik, Riesz-Bochner Toplanabilirlik, /z-pürüzsüzlük, Lebesgue noktaları, Yakınsama hızı. JÜRİ : Doç. Dr. İlham ALİYEV Prof. Dr. Halil İ. KARAKAŞ Prof. Dr. Doğan ÇÖKER
Hardy toplamları üzerine
Bu çalişmanın esası s (h,k) 1 , s (h,k) 2 , s (h,k) 3 , s (h,k) 5 Hardy toplamlarında Rademacher'ın iki sorusunu araştırıp yanıtlamaktır. Daha sonra bu toplamların sağladığı bazı eşitsizlikleri ifade etmektir. İlk olarak Dedekind toplamları, Hardy toplamlarının tanımları, bu toplamların bazı özellikleri, aralarındaki bağıntılar ve sağladıkları temel eşitlikler verildi. S(h, k), s (h, k) 4 toplamlarının seri açılımı yardımıyla ifadesi ve sağladıkları bazı eşitlikler verildi. Son bölümde s (h,k) 1 , s (h,k) 2 , s (h, k) 3 , s (h,k) 5 Hardy toplamlarının seri açılımı ve bazı eşitsizlikler ispatlandı. ANAHTAR KELİMELER : Dedekind Toplamları, Hardy Toplamları, Farey Kesri
Olabilirlik ölçümleri üzerine
ÖZET OLABİLİRLİK ÖLÇÜMLERİ ÜZERİNE Gültekin SOYLU Yüksek Lisans Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Mustafa Demirci Haziran 2001, 54 Sayfa Bu çalışmada bulanık ölçümler kavramı tanıtılmış, olabilirlik konusu farklı kaynaklardan farklı yaklaşımlar biraraya getirilerek etraflıca incelenmiş ve uygulamalarla bu yeni kavramların karşılaşılan problemlerdeki güçlükleri gidermeye ne şekilde yardımcı ve yararlı olduğu gösterilmiştir. Giriş bölümünde bulanık ölçümlerin gerekliliği ve tarihi gelişimi aktarıldıktan sonra ikinci bölümde ön hazırlık olarak bulanık kümeler kavramı ve bulanık kümelerin özellikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde bulanık ölçümler teorisi incelenmiş, olabilirlik ölçümü ve bulanık integral tanıtılmıştır. Dördüncü bölüm, göreceli yeni olan bu kavramların yorumlanmasına, olabilirlik kavramına diğer bir yaklaşıma, olabilirlik ve olasılık arasındaki bağlantılara ayrılmıştır. Beşinci ise bu yeni kavramların gelecekte ne kadar önemli görevler üstleneceğini gösterebilmek amacıyla, gerçek hayattan alınmış problemlerin üzerine bulanık ölçümler ve olabilirlik ile nasıl gidilebileceği incelenmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Bulanık Kümeler, Bulanık Ölçümler, Olabilirlik. JÜRİ: Doç Dr. Mustafa Demirci Prof. Dr. Doğan Çöker Dr. Melike B. Yücel
Platonik Riemann yüzeyleri üzerinde sabit eğriler
Yedi bölümden oluşan bu çalışmanın amacı platonik Riemann yüzeyleri üzerindeki sabit eğrileri ve bu eğrilerin bazı özelliklerini incelemektir.Birinci bölümde giriş kısmı verildi.İkinci bölümde tezin ana konusu için gerekli olan temel bilgilere yer verildi.Üçüncü bölümde kısaca hiperbolik geometri tanıtıldı.Dördüncü bölüm, Fuchs ve NEC (Non-Euclidean crystallographic) grupları ile Riemann yüzeylerine ayrıldı.Beşinci bölümde düzgün figürler tanıtılıp bunların sınıflandırılması yapıldı.Altıncı bölümde tezin ana konusu olan platonik Riemann yüzeyleri üzerindeki sabit eğrilerin desenleri tanıtıldı ve sınıflandırıldı. Ayrıca her sabit eğriye karşılık, birbirinin tersi olan, eğriyi ters yönlerde döndüren ve dönel otomorfizmalar olarak adlandırılan iki otomorfizma olduğu gösterildi. Son olarak bu otomorfizmalar yardımıyla cinsi 2 ve 3 olan platonik Riemann yüzeyleri üzerindeki sabit eğrilerin uzunlukları hesaplandı.Yedinci bölümde elde edilen sonuçlar verildi.Anahtar Sözcükler: Riemann yüzeyleri, Platonik yüzeyler, Düzgün figürler, Sabit eğri, Desen, Dönel otomorfizma
Genel linner grupların Sylow p-altgruplarının sınıflandırılması
Bu tez; Sylow p-alt gruplar üzerine bir çalışmadır. Sonlu gruplarınsınıflandırılmasında Sylow p-alt gruplar büyük önem taşımaktadır. 1872 de PeterLudwig Sylow Gruplar Teorisinde üç önemli teorem ispatlamıştır. Daha sonra buteoremler Sylow teoremleri olarak adlandırılmıştır. Sylow teoremleri; sonlugruplarda bazı alt grupları bulmada ve onların yapıları hakkında bilgi vermektedir.Lagrange Teoremi; sonlu alt gruplarda her alt grubun mertebesi grubunmertebesini böldüğünü söyler. Bunun tersi her zaman doğru değildir. Sylowteoremi; p bir asal sayı ve k da pozitif bir tamsayı olmak üzere pk sayısı Ggrubunun mertebesini bölüyor ise G nin mertebesi pk olan bir alt grubu olduğunusöyler. Biz bu çalışmamızda Sym(n) ve Genel Lineer gruplarda Sylow p-altgrupları nasıl bulunabileceği hakkında çalışmalar yaptık.G sonlu bir grup olmak üzere, G nin maksimal p-alt grubuna G nin Sylow p-altgrubu denir. v e p bir asal sayı olsun. n elemanlı bir kümeninpermütasyonları kümesini Sym(n) ile gösterelim. O zaman Sym(n) nin Sylow p-altgrubu ile Sym(k) nın Sylow p-altgrubu P nin yarı direkt çarpımınaeşittir. mertebesi q olan cisim ve üzerinde tanımlı uzunluğu n olan tersinirkare matrislerin kümesine Genel Lineer Gruplar denir. Genel Lineer GruplardakiSylow p-altgrupları şeklindedir.Anahtar Sözcükler : Sylow p-altgrup, simetrik gruplar, genel lineer gruplar, yarıdirekt çarpım, wreath çarpım
Kompleks katsayılı analitik ve multivalent fonksiyonlar ve bunların alt sınıfları
Bu çalışmanın amacı, bazı analitik ve multivalent fonksiyonların; yıldızıllığı, kon- veksliği ve konvekse yakınlığım içeren bazı teoriler ileri sürerek Analitik ve Geometrik Fonksiyonlar Teorisi'ne katkıda bulunmaktır, ilk başta fonksiyonların yıldızıllığı, konveksliği ve konvekse yakınlığı ile ilgili temel tanım ve teoriler verilmiş ve de bazıları da ispatlanmıştır. Bu çalışmada kesirsel türev operatörü de kullanılarak analitik ve multivalent fonksiyonların ve bu fonksiyonların oluşturdukları bazı sınıfla rın çalışma kapsamı biraz daha geniş tutulmuştur. Tanımlanan Ws(p; fi) ve Vs(p; fj) aileleri, multivalent fonksiyonların oluşturduğu alt sınıflar olup, bu sınıfların analitik ve geometrik fonksiyonlar teorisine katmış olduğu iki yeni teorem elde edilmiş ve bu sonuçlar literatüre girmiştir. Bu elde edilen teoremlerin çok özel sonuçları da literatürde yayınlanan bazı başka çalışmaları içermektedir. Ayrıca; Bazı operatörlerle (Kesirsel integral operatörü, kesirsel türev operatörü, adi türev operatörü ve integral operatörü) tanımlanan yeni fonksiyon ların üstte belirtmiş olduğumuz sınıflarla olan ilişkisi belirlenerek bazı sonuçlara varılmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Birim disk, analitik fonksiyon, multivalent fonksi yon, yıldızıl fonksiyon, konveks fonksiyon, konvekse yakın fonksiyon, kesirsel türev, kesirsel integral, integral operatörü, kompleks eşitsizlikler.
Bulanık cebirsel yapılar üzerine
ÖZET BULANIK CEBİRSEL YAPILAR ÜZERİNE Sevda SEZER Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Doğan ÇÖKER Haziran 2003, 78 Sayfa Belirtisiz kümelerin cebire uygulanmasıyla ilgili olarak yapılan bu tez Çalışmasında, ilk olarak belirtisiz kümelerle ilgili genel bilginin yanı sıra, belirtisiz eşitlik, belirtisiz fonksiyon, bulanık ikili işlem, bulanık grup, bulanık altgrup ve bulanık homomorfizm (Demirci 1999-a, 1999-b) tanımlarına yer verilmiştir. Ayrıca, belirtisiz eşitliklerle ilgili çeşitli özellikler belirlenmiş ve bulanık yarıgruplarda genelleşmiş birleşme özelliğiyle ilgili bazı sonuçlar elde edilmiştir. Daha sonra, Demirci'nin bulanık altgrup tanımının bir genelleştirilmişi olan, yeni bir bulanık altgrup tanımı verilmiş ve tanıma göre Demirci'nin (1999-b) bulanık altgruplarla ilgili olarak ifade ettiği teorem, önerme ve sonuçların genelleştirilmiş biçimdeki ifadelerinin elde edilebildiği belirlenmiştir. Bunların yanısıra, bulanık normal altgrup, bulanık halka, bulanık althalka, bulanık ideal, bulanık asal ideal, bulanık maksimal ideal, bulanık cisim, bulanık tamlık bölgesi, bulanık izomorfizm kavramlarının tanımları yapılmış ve bunların sahip olduğu özellikler incelenmiştir. ANAHTAR KELİMELER : Belirtisiz küme, belirtisiz eşitlik, belirtisiz fonksiyon, bulanık ikili işlem, bulanık grup, bulanık normal altgrup, bulanık halka, bulanık ideal, bulanık cisim, bulanık tamlık bölgesi, bulanık izomorfizm. JÜRİ : Prof. Dr. Doğan ÇÖKER Prof. Dr. H. İbrahim KARAKAŞ Prof. Dr. Timur KARAÇAY Prof. Dr. Haydar Eş Prof. Dr. Zeki ASLAN Doç. Dr. İlham ALİYEV
Bessel potansiyellerinin dalgacık dönüşümleri (wavelet transforms) kullanılarak incelenmesi
ÖZET BESSEL POTANSİYELLERİNİN DALGACIK DÖNÜŞÜMLERİ (WAVELET TRANSFORMS) KULLANILARAK İNCELENMESİ Melih ERYİĞİT Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. İlham ALIYEV Mayıs-2004, 44 Sayfa Analiz ve onun uygulamalarının önemli teknik araçlarından sayılan klasik Bessel potansiyelleri için iyi bilinen problemlerden biri bu potansiyellerin terslerinin belir lenmesidir. Bu probleme bir çok yaklaşım bilinmektedir. Bu çalışmada, yukarıda bahsettiğimiz probleme yeni bir yaklaşım geliştirilmiş ve " Ağırlıklı Dalgacık Dönü şümleri ( Weighted WaveletTransforms) " olarak adlandırdığımız dönüşümler yardı mıyla Bessel potansiyellerinin terslerinin açık ifadesi bulunmuştur. ANAHTAR KELİMELER: Bessel potansiyelleri, kesirsel integral ve türev, ağır lıklı dalgacık dönüşümleri, Calderon türetme formü lü, Gauss- Weierstrass çekirdeği JÜRİ : Doç. Dr. İlham ALÎYEV Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. Abdullah A. ERGİN Prof. Dr. Serpil PEHLİVAN Prof. Dr. Daniyal M. ÎSRAFÎLOV
Genelleşmiş kayma operatörünün doğurduğu parabolik potansiyeller uzayı
ÖZET GENELLEŞMIŞ KAYMA OPERATÖRÜNÜN DOĞURDUĞU PARABOLİK POTANSİYELLER UZAYI Sinem SEZER Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. İlham ALİYEV Mayıs 2005, 53 Sayfa Bu tez çalışmasının amacı; Genelleşmiş kayma operatörünün doğurduğu parabolik Bessel potansiyelleri uzayım nitelendiren özellikleri belirlemektir. Bu amaca ulaşmak için ilkönce; B-parabolik potansiyel ve B-parabolik potansiyeller uzayı tanımlandı. Daha sonra da anizotropik ve ağırlıklı sonlu fark ve bu fark ile ilişkili özel bir operatörler ailesi tanımlandı. Son olarak da, bu operatörler ailesi kullanılarak, sözü edilen uzayın önemli bir karakterizasyonu elde edildi. ANAHTAR KELİMELER: Laplace-Bessel diferansiyel operatörü, Genelleşmiş kayma operatörü, Fourier-Bessel dönüşümü, B-parabolik potansiyel, ağırlıklı Lp-uzayı, anizotropik ve ağırlıklı sonlu fark. JÜRİ: Prof. Dr. İlham ALİYEV (Danışman) Prof. Dr. Veli KURT Prof. Dr. A. Aziz ERGİN Prof. Dr. Orhan GÖLBAŞI Doç. Dr. Abdulkadir Ceylan ÇÖKEN
Dedekind toplamlarının ortalama değerleri
Bu çalışmanın amacı Bernoulli, Euler, Genocchi polinomları ve sayıları ile ilgili bazı özdeşlikler, yineleme bağıntıları elde etmek; Euler-Seidel matrislerinin öğelerini veren yeni üreteçler bulmak ve Z_{p} üzerinde Euler-Seidel matrislerinin tiplerini belirlemektir. Çalışmada öncelikle Dedekind toplamları, Stirling sayıları, Bernoulli, Euler, Genocchi polinomları ve sayıları ile ilgili temel tanımlar, özdeşlikler, yineleme bağıntıları verilmiş; bazı özellikleri incelenmiştir. Söz konusu sayılar için Akiyama-Tanigawa algoritması verilmiştir. Daha sonra Euler-Seidel matrisleri tanıtılmış, çeşitli özellikleri gösterilmiş ve verilen örneklerle konu detaylandırılmıştır. Bunun yanısıra Euler-Seidel matrislerinin Bernoulli, Euler, Genocchi ve Tanjant sayıları ile ilişkisi kurulmuştur. Son bölümde Euler-Seidel matrislerinin Z_{p} üzerinde p(p-1)×p tipinde oldukları gösterilmiştir. Bu matrislerin a_{n}^{k} girdileri için yeni üreteçler elde edilmiştir. Zhi-Wei Sun, Hao Pan ve Ke-Jian Wu'nun Bernoulli, Euler polinomları ve sayıları için bulduğu bağıntılar, Genocchi sayıları ve polinomları için de elde edilmiştir.
Polar çekirdekli doğrusal volterra integral denklem sistemi
POLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİBu çalışmada, polar çekirdeğe sahip integral denklem sistemi ele alınmıştır. Başlangıç değer koşullu, fonksiyon katsayılı hiperbolik denklemin çözümü tekil çekirdeğe sahip 3 boyutlu Volterra tipi integral denklemini sağlar. Polar çekirdekli lineer Volterra integral denklemlerinin varlık ve teklik teoremleri ispatlanmıştır. Tekil integral denklemlerin çözümlerinde yaklaşık ardışıklar yöntemi kullanılmış, varlık ve tekliğiyle ilgili gerekli teoremler üzerinde durulmuştur.
Zaman gecikmeli diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri ve uygulamaları
Zaman Gecikmeli Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Cüzümleri ve Uygulamaları.o uüKorhan GUNELüOZETGecikmeli diferansiyel denklemler ile matematiksel modelleme; tıp, popülasyonudinamiËi, biyoloji, ekonomi, kontrol sistemleri, ï¬zik gibi fen ve mühendislik alan-g ularında geniş yer almaktadır. Gecikmeli diferansiyel denklemler ile modellemesyapılması 1940'lı yılların sonunda, Lord Cherwell'in asal sayıların daËılımı uze-g ürindeki calışması ve Minorsky'nin II. Dünya savaşı sırasında gemilerin dengede.s u skalmasını saËlamak uzere gercekleştirdiËi modelleme ile başlamıştır. Lord Cher-g ü s g s s.well'in yapmış olduËu modelleme Wright (1946)'ın dikkatini ceker. Wright du-s g .rumu, ?Lord Cherwell'in, asal sayıların daËılımı probleminde tanıttıËı denklemeg gdenk bir denklem dikkatimi cekti. Bu ilginc problemle beni tanıştırdıËı icin ken-s g.. .disine teşekkürlerimi sunarım? diyerek üzetler. Büylece gecikmeli diferansiyelsu o odenklemlerin teorisi uzerine calışmalar başlamış olur.ü .s s sGecikmeli diferansiyel denklemlerin genel teorisi Wright, Bellmann, Cooke,Hale, Driver, El'sgol'ts, Norkin ve Kuang tarafından detaylı bicimde incelenmiştir.s.Nümerik cüzümleri icin ünerilen metotlar ise adi diferansiyel denklemleri bazu .o u .oalır. Bu metotların gecikmeli diferansiyel denklemlere uyarlanmasında asıl sorungecikme teriminden kaynaklanır. Literatürde cüzümler icin iki farklı yaklaşımu .o u s.Ëyer almaktadır. Ilki, Bellmann tarafından verilen Adımlar yüntemi, ikincisi iseogecikme teriminin yaklaşık deËerinin interpolasyon ile bulunmasıdır. Gecikmelis gdiferansiyel denklemlerin kararlılık analizi uzerinde cok geniş bir araştırma süzü s s o.konusu olmasına raËmen bu alan henüz tam olarak acıklıËa kavuşturulmuş deËildir.g u .g s sgBu tezde gecikmeli diferansiyel denklemler icin nümerik cüzüm metotlarıu .o u.incelenmiş ve kararlılık analizleri yapılmıştır.s s
Salınımları kontrol edilen diziler için Tauber teoremleri
Klasik Tauber teorisinin temel amaclarından biri, Abel'in gerek koşulu yas.da genelleştirilmesi olarak bilinen limitin varlıËından ve salınım davranışlarınıs g skontrol eden ek koşullar ile ıraksaklıËı kontrol edilebilen dizilerin yakınsaklıËınıns g gyeniden elde edilmesidir. Bu koşullara Tauber koşulları ve bu tip teoremlere des sTauber teoremleri denir. Stanojevi´ (1998) tarafından tanıtılan tamsayı mer-ctebeli kontrol modülolar ile klasik Tauber teoremleri üzetlenecektir.u o Tauber(1897) dizinin klasik kontrol modülosu sıfır dizisi ise Abel'in gerek koşulundanu syakınsaklıËın elde edildiËini ispatlamıştır. Littlewood (1910), Tauber'in koşulunung g s sdizinin klasik kontrol modülosunun sınırlılıËı ile deËiştirebildiËini güstermiştir.u g gs g o sSonra, Schmidt (1925) yavaş salınımlı dizileri tanıtmış ve genelleştirilmiş Little-s s s swood teoremi olarak bilinen daha genel teoremi ispatlamıştır. Karamata (1930)starafından verilen teorem ünceki klasik Tauber teoremlerinin ispatlarınıobasitleştirmiş ve dizilerin salınım davranışlarının kontrol modülolarını iceren bazıs s s u .Tauber teoremlerinin yeniden elde edilebildiËini güstermiştir. Dik (2002b), Kara-g o smata'nın temel teoremini kullanarak ve Stanojevi´ (1999a) tarafından tanımlanancılımlı salınımlı dizi tanımından yararlanarak bir Tauber koşulu olarak dizininsyüksek mertebeden kontrol modülosunu iceren ceşitli teoremler ispatlamıştır.u u .s s.Dik (2002a), Abel'in gerek koşulunun varlıËından dizinin yakınsaklıËının bulu-s g gnamadıËı bazı koşulların varlıËını vurgulamıştır. Bu alt dizisel Tauber teorisig s g solarak adlandırılan farklı bir Tauber teorisi ceşidine yünlendirmiştir..s o s
Türevli asal halkaların değişmeliliği
Karakteristiği 2 den farklı olan türevli asal halkalarda bazı değişmelilik koşullarını inceleyen makalelerin bir arada özetlenmesi ve Lie idealler için verilen bazı sonuçların - Lie idealler için de incelenmesini araştıran bu çalışmada aşağıdaki yol izlenmiştir.Halkalarla ilgili bazı temel bilgiler I. Bölümde verilmiştir.II. Bölümde, türevli asal ve yarı asal halkalarda değişmelilik koşullarını inceleyen bazı makaleler özetlenmiştir.ve , karakteristiği 2 den farklı asal bir halkanın iki otomorfizması olmak üzere Lie ideal için yapılan bazı sonuçların ( )- Lie ideal için uyarlanması da bu bölümde yer almaktadır. Teoremlerin hipotezlerine uyan veya uymayan koşullar altında örnekler bulunarak teoremlerin zayıflatılıp zayıflatılamayacağı incelenmiştir.III. Bölümde, ilk olarak Herstein tarafından ispatlanmış olan bir teorem üzerinde yapılan genelleştirmeler ele alınmıştır..
Türevli halkalarda bazı değişmelilik koşulları
Bu çalışma, karakteristiği 2 den farklı olan türevli asal halkalarda bazı değişmelilik koşullarını araştırmak amacıyla ele alınmıştır. Bu bağlamda, literatürde yer alan makalelerin bir arada özetlenerek Lie idealler için verilen bazı değişmelilik koşullarının (\sigma,\tau)-Lie idealler içinde incelenmesini araştıran bu çalışmada aşağıdaki yol izlenmiştir.I. Bölümde halkalarla ilgili bazı temel bilgiler verilmiştir.II. Bölümde asal halkalarda türev ve Lie ideal kavramları üzerinde durulmuş ve bu kavramlarla ilgili teoremler incelenmiştir.III. Bölümde \sigma ve \tau, karakteristiği 2 den farklı asal bir halkanın iki otomorfizması olmak üzere, Lie ideal için verilen bazı sonuçların (\sigma,\tau)-Lie ideali için uyarlanması yer almaktadır.Aynı zamanda II ve III. bölümlerde incelenen teoremlerin hipotezlerine uyan veya uymayan koşullar altında örnekler bulunarak bu teoremler üzerindeki koşulların zayıflatılıp zayıflatılamayacağı incelenmiştir. Asal halkalar üzerinde ispatlanan bazı teoremlerin yarı asal halkalar için incelenmesi gerektiği sonucuna varılmıştır.
Parçalı polinom fonksiyonları
R^n içindeki n-boyutlu ? polihedral kompleksolmak üzere C^r(?) kümesi, ? üzerinde tanımlı, C^rtürevlenebilir parçalı polinom fonksiyonlardan oluşsun. Derecesi kdan küçük ve eşit olan bütün C^r parçalı polinom fonksiyonlarıiçeren C^r_k(?) kümesi R üzerinde sonlu boyutlu bir vektöruzayıdır. Bu tezde n=1 ve 2 durumları için C^r_k(?)vektör uzayının boyut hesaplamaları çalışıldı. n=2 için iki farklıyöntem kullanıldı. İlk yöntemde ? polihedral kompleks olmaküzere C^r(?) nın free olma koşulu altında, değişik örneklerüzerinde C^r_k(?) vektör uzayının boyutu CoCoA 4.7 yazılımprogramı yardımı ile hesaplandı. İkinci yöntemde ? simplekselkompleks olmak üzere yeterince büyük k lar için homolojihesaplamaları kullanılarak C^r_k(?) için genel boyut formülüverildi. Bu iki yöntemle yapılan hesaplamaların örnek üzerindeörtüştüğü de görüldü.Bölüm 2 de temel notasyonlar, tanımlar ve modüller için gerekli olansonuçlar verildi.Bölüm 3 ün ilk kısmında tek değişkenli parçalı polinom fonksiyonlarabir giriş yapıldı. Verilen fonksiyonun C^r türevlenebilirolabilmesi için gerek ve yeter koşulu çalışıldı. Bu koşul altındatek değişkenli parçalı polinom fonksiyonların oluşturduğu uzayınboyutu hesaplandı. İkinci kısımda, ilk olarak polihedral kopmlekslerüzerinde tanımlı iki değişkenli parçalı polinom fonksiyonlarıincelendi. CoCoA 4.7 yazılım programı yardımıyla değişik örneklerüzerinde boyut hesaplamaları yapıldı. İkinci olarak da ?simpleksel kompleks olmak üzere şişman noktalar idealleri ile splinefonksiyonlar arasındaki ilişki çalışıldı. Daha sonra da bu ilişkiyleberaber homoloji hesapları yapılarak yeterince büyük k lar içinC_k^r(?) vektör uzayının genel boyut formülü verildi.
Sonlumsu permütasyon grupları ve S-grupları
Bu tez; A. O. Asar'ın "On Finitary Permutation Groups" ve M. R. Dixon, M. J. Evans, V. N. Obraztsov, J. Wiegold'un "Groups That Are Covered By Non-Abelian Simple Groups" adlı makalelerinin bir derlemesidir.Bir G grubunun her elemanının eşlenik sınıfı sonlu ise G ye FC-grup denir. Kendisi FC-grup olmayan ancak her özalt grubu FC-grup olan gruplara minimal FC-olmayan grup denir.Komütatör grubu kendisinden farklı olan minimal FC-olmayan gruplar V. V. Belyaev tarafından 1978 yılında sınıflandırılmıştır. Belyaev, komütatör grubu kendisine eşit olan minimal FC-olmayan yerel sonlu bir G grubu var ise ya G/Z(G) basit bir grup ya da p asal olmak üzere G nin bir p-grup olduğunu kanıtlamıştır. 1989 da Kuzucuoğlu ve Phillips G/Z(G) nin basit olamayacağını göstermişlerdir. Dolayısıyla G=G? özelliğini sağlayan yerel sonlu minimal FC-olmayan bir grup var ise bu grup bir p-gruptur. Ancak böyle bir grubun var olup olmadığı 30 yıldır açık bir problemdir.F. Leinen ve V. V. Belyaev birbirlerinden bağımsız olarak böyle bir grup var ise bu grubun sonsuz bir ? kümesi üzerindeki sonlumsu permütasyon grubunun bir altgrubuna izomorfik olacağını kanıtlamışlardır. Bu durumda G=G? özelliğini sağlayan yerel sonlu minimal FC-olmayan bir grubun var olup olmadığını incelemek sonlumsu permütasyon grubun altgruplarını incelemekten geçmektedir. Asar bu makalesinde aşağıdaki şartların var olması durumunda böyle bir grubun olamayacağını kanıtlamıştır:Yerel sonlu minimal FC olmayan bir G grubunun normal olmayan sonlu her F altgrubu için y^{p}?FC_{G}(F) olacak şekilde en az bir y?G\N_{G}(F) varsa G mükemmel olamaz.Değişmeli olmayan basit altgruplarının birleşimi ile oluşturulan bütün grupların oluşturduğu sınıfı S ile gösterelim. Bölüm 4 te, bu özellikte olan grupların(S-gruplar) temel özellikleri verilmiştir. Bu bölümde; G yerel derecelendirilmiş bir S-grup, M grubu G nin serbest periyodik radikali ve G nin tüm sonlu mertebeden elemanları tarafından üretilen normal altgrubu N olmak üzere N?1 ise M?N?G, G/N serbest periyodik, N/M basit olduğu gösterilmiştir. Bununla birlikte M de birimden farklı bir eleman varsa G nin sonlu her altgrubunun ya devirli ya da metadevirli olduğu kanıtlanmıştır.
Dörtgensel NEC grupları
H ve D hiperbolik düzlemin üst yarı düzlem modeli ve birim daire modeli olarak adlandırılan iki farklı modelidir. Hiperbolik düzlemin izometrileri ötelemeler, dönmeler, yansımalar, ötelemeli yansımalar ve limit rotasyonlar olarak adlandırılan homeomorfizmalardan oluşur. Bunlardan yansımalar ve ötelemeli yansımalar yönlenmeyi korumayan izometriler, diğerleri ise yönlenmeyi koruyan izometrilerdir. Yönlenmeyi koruyan izometriler çift sayıda yansımanın, yönlenmeyi korumayan izometriler tek sayıda yansımanın bileşkesi olarak yazılabilirler. Hiperbolik düzlemin bütün izometrileri fonksiyonların bileşke işlemine göre bir grup oluşturur ve bu grup PGL(2,R) ile gösterilir. PGL(2,R) grubunun bölüm uzayı kompakt olan herhangi bir ayrık alt grubu bir NEC grubudur. İç açıları; k,l,m ikiden büyük tamsayılar olmak üzere ? / k, ? / l, ? / m olan bir hiperbolik üçgenin kenarları üzerindeki yansımalar bir NEC grubu üretir. Bu şekilde elde edilen bir NEC grubuna bir üçgensel NEC grubu denir. Benzer şekilde iç açıları; s, t, u, v ikiden büyük pozitif tamsayılar olmak üzere ? / s, ? / t, ? / u, ? / v olan hiperbolik dörtgenin kenarları üzerindeki yansımalar da bir NEC grubu üretir. Bu şekilde elde edilen bir grup dörtgensel NEC grubu olarak adlandırılır. Yukarıdaki özelliklere sahip bir hiperbolik dörtgeni ele alalım. Bu dörtgenin kenarları üzerindeki yansımalar tarafından üretilen dörtgensel NEC grubunun elemanları altında bu dörtgenin görüntüleri ele alınırsa hiperbolik düzlem dörtgenlere ayrılmış olur. Bu özellikteki dörtgenlerin kümesine hiperbolik düzlemin bir kaplaması denir. Benzer şekilde bir üçgensel NEC grubu yardımıyla da hiperbolik düzlemin bir kaplaması elde edilebilir. ? ve ?^ grupları sırasıyla dörtgensel ve üçgensel NEC grupları olsunlar. Eğer ? grubu ?^ grubunun k indeksli bir alt grubu ise hiperbolik düzlemin dörtgenler ile elde edilen kaplamasının herbir hücresi k tane üçgene bölünebilir ve hiperbolik düzlemin bu özellikteki iki kaplamasına bölünebilir kaplama ikilisi denir.Bu tezde dörtgensel NEC grupları tanımlanmış, üçgensel ve dörtgensel NEC grupları arasındaki bazı cebirsel ve geometrik ilişkiler incelenmiştir.
Parabolik volterra integro-diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri
İntegro-diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri konusundaki çalışmaların birleşimi olan bu çalışmada,I. Bölümde, integro-diferansiyel denklemlerin genel tanımı verilmiş ve bu denklemlerin uygulama alanlarına değinilmiştir. Farklı alanlardaki örnekler incelenmiştir.II. Bölümde, integro-diferansiyel denklemlerin varlık ve tekliği üzerinde incelenmiştir. Bu tipteki denklemlerin analitik çözümleri için metotlara değinilmiştir.III. Bölümde, Parabolik volterra integro diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerine yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, Volterra integro-diferansiyel denklem ikinci mertebeden yakınsatılmıştır.
Türevli lie halkaları
Bu tezde, birleşmeli bir R halkasının türevlerinin oluşturduğu Der (R) Liehalkasının yapısı üzerine günümüze kadar yapılan çalışmalarda elde edilen bazıözelliklere yer verilmiştir.Bu tez beş bölümden oluşmaktadır.İlk bölümde, tez konusu tanıtılmış ve bu konu ile ilgili yapılmış olan çalışmalarınkısa bir özeti verilmiştir. İkinci bölümde, bu tezi anlamada kolaylık sağlayacakbazı temel tanım ve özelliklere değinilmiştir.Üçüncü bölümde, Lie halka yapısının ve bu konudaki çalışmaların daha iyianlaşılması için Herstein'nin 1969 da yayınladığı kitabının ilk kısmı esas olarakele alınmış ve basit halkalar üzerinde Lie ve Jordan yapısına ilişkin bazı çalışmalarderlenmiştir.Dördüncü bölümde, R halkasının türevlerinin Der (R) Lie halkasına ait özellikler,R nin değişmeli ve değişmeli olmadığı durumlar için ayrı ayrı incelenip, Der (R) Lie halkasının hangi koşullar altında asal olduğunu ifade eden teoremlere yerverilmiştir. Asal R halkası değişmeli olmadığında, R nin iç türevlerinin I (R) Liehalkası yardımıyla Der (R) nin asalığı araştırılmıştır. Halkanın değişmeli olduğudurum incelenirken delta, R halkasının bir türevi ve r R nin elemanı olmak üzere R halkasınınr-delta formundaki bütün türevlerinden oluşan R-delta Lie halkasının özellikleri ayrıntılıolarak çalışılmış ve R-delta nın I (R) ile benzer özelliklere sahip olduğu görülmüştür.Bununla birlikte, R halkası karakteristiği 2 den farklı ve birimli Noetherian birhalka olarak alınmış ve bu halka üzerindeki asallık şartı delta-asallığa zayıflatılarakR-delta Lie halkasının asal olduğu kanıtlanmıştır.Beşinci bölümde, R halkasının yalnızca değişmeli olduğu durum göz önünealınarak bir önceki bölümde verilen teoremlerin ışığında birimli ve 2-burulmasızR halkası üzerinde delta-asallık koşulundan başka bir koşul belirtilmeden R-delta Liehalkasının asal olduğuna ilişkin teorem sunulmuştur.
Volterra integral denklemlerinin yaklaşık ardışıklar yöntemiyle çözümlemeleri
Bu çalışmada farklı tipte integral denklemler ve onların çözümleriyle ilgili durumlar incelenmiştir. Bu denklemler yaklaşık ardışıklar yöntemiyle çözülmüştür. Bu çalışma dört bölümden oluşur.Birinci bölümde, önceki dönemlerde yapılan çalışmalar ve bu tezde yapılacak olanlar anlatılmıştır.İkinci bölümde ise, gerekli temel tanımlar, Volterra ve Fredholm integral denklemlerin yaklaşık ardışıklar yöntemiyle çözümü üzerinde durulmuştur.Üçüncü bölümde ise, R1, R2, R3 `deki sabit katsayılı dalga denklemlerinin D'alambert, Poisson ve Kirchgoff integral denklemlerine indirgenebileceğine ve bunların çözümleri üzerinde durulmuş, varlık ve teklik teoremleri ispatlanmıştır.Dördüncü bölümde ise fonksiyon katsayılı dalga denklemleri ve bunların çözümleri üzerinde durulmuştur.Beşinci bölümde elde edilen sonuçlar verildi.
Standart ağlar üzerinde ?-düzgün yakınsayan metotlar
Tekil olarak pertürbe edilmiş iki noktalı sınır değer problemi için, bir diferansiyeldenklemin hiçbir tam çözümünü gerektirmeyen, eş uzunluklu bir ağ üzerinde?-düzgün bir sonlu fark metodu önerilir. Problemin tekil pertürbasyon doğasınıyerel bir sınır değer problemi boyunca yansıtan bir tam-sabitlenmiş operatör metoduile başlanır. Ancak, yerel sınır değer problemini çözmek için, tam olarak çözmekyerine yerel bölgede bir Shishkin ağı üzerinde bir geri metot kullanılır. Ayrıca,önerilen nümerik metodun yakınsaklık özellikleri incelenir ve herhangi bir ? içinbunun gerçek çözüme düğümsel olarak yakınsadığı ispatlanır.
Sobolev'in bulduğu fonksiyon hızlı dalga denklemlerinin geliştirilmişi ve genelleştirilmesi
Bu tezde fonksiyon katsayılı hiperbolik denklemler için başlangıç değer problemi çalışılmıştır. Bu problemlerin çözümleri tekil çekirdeğe sahip, Volterra integral denklemini sağladığı ispatlanmıştır.Bu indirgemede gezgin zaman fonksiyonu ve Sobolev fonksiyonu önemli rol oynar.Asimtotik koşulu ile gezgin zaman fonksiyonu eikonel denklemin bir çözümüdür.Sobolev fonksiyonu taşıyıcı(transport) denklemin çözümüdür.Bu indirgemede taşıyıcı denklem yeniden yapılandırılmıştır. İntegral denklemler yaklaşık ardışıklar yöntemiyle ispatlanmıştır. Sobolev'in fonksiyon hızlı dalga denklemiyle ilgili sonuçların bir genellemesi yapılmıştır.
Atomik ve eşatomik modüller üzerine
E¸satomik Modüllerin yapısı ve bunların bazı modül sınıfları ile ili¸skileri çalı¸sıldı.Bu çalı¸sma be¸s bölümden olu¸smaktadır. Halkalar birimli, modüller birimsel sa?gmodülleri olarak alınmı¸stır. Birinci bölüm giri¸s bölümüdür, di?ger bölümler dekullanılacak kavramları ve önbilgileri içermektedir. ?Ikinci bölümde e¸satomikmodüllerin genel özellikleri verilmektedir. Rad(M), M'de artık(small) olacak¸sekilde M bir modül olsun. O halde M, a¸sa?gıdakilerden birini sa?glarsa e¸satomiktirdenir:1) M=Rad(M) yarıbasittir.2) M zayıf tümleyen modüldür.3) M do?grusal kompakttır.Üçüncü bölümde Dedekind bölgeleri üzerinde e¸satomik modüller ve özellikleriincelenmektedir. R bir Dedekind bölgesi olsun. O halde a¸sa?gıdaki ifadeler bir MRmodülü için denktir:1) M e¸satomiktir.2) M'nin her N altmodülü e¸satomiktir.3) M'nin her L altmodülü için M=L inmi¸stir.Dördüncü bölümde d-e¸satomik modüller ve özellikleri incelenmi¸stir. M =Mni=1Mid-e¸satomiktir ancak ve ancak her Mi (i = 1;2; :::;n) f-esatomiktir. Be¸sinci bölümdeise sonlu e¸satomik ( f -esatomik) modüllerin özellikleri ve di?ger modüller ile olanba?glantıları verilmi¸stir. Altıncı bölümde atomik modüllerin özellikleri ve e¸satomikmodüllerle iliskileri incelenmistir.
Her closed alt modülü direkt toplanan olan modüllerin haritası
R birleşmeli ve birimli bir halka, M bir sağ R-modül olmak üzere M nin her kapalı(closed) alt modülü M nin bir direkt toplananı ise M ye extending modül denir.Bu tanıma denk olan teorinin gelişimini sağlayan başka tanımlar da vardır. Ancaktarihi gelişim içinde kullanılan farklı terminolojiler bazen yeni araştırmacıların işinizorlaştırmaktadır. Biz burada sadece yukarıdaki tanımı temel alan erişebildiğimizçalışmaları inceleyerek aralarındaki ilişkileri son bölümde şematik olarak verdik.
Düzgün ağlar üzerinde bir sınır değer probleminin ?-yakınsaklığı
Bu tezde tekil noktada pertürbe edilmiş iki nokta sınır değer problemi için düzgünbir ağ üzerinde bir tam çözüm olan ? ? düzgün yakınsak sonlu farklar metodu önesürülür. Ilk olarak yerel bir sınır değer problemi ile sorunun tekil pertürbasyondoğasını yansıtan uygun bir operatör yöntemi ile başlanır. Ancak yerel sınırdeğer problemini gerçekten çözmek yerine yerel bir Shishkin örüntüsü ile gerifark yöntemi kullanılır. Böylelikle tamamen yerel düğüm noktalarının nerelerdeolduğu bilinmeden ve tam olarak herhangi bir diferansiyel denklemi sonlu farklarmetodu yardımıyla çözmeden, ? ? düzgün bir yöntem geliştirmenin mümkün olduğugösterilir.Doğada bir nehrin kıyısından yayılmakta olan bir atıklı kirli su birikintisini ya da birbardak saf suyun içerisine bırakılan bir mürekkep damlasını düşünün her iki durumdada kirli suyun ve bir damla mürekkebin içerisinde bulundukları ortama yayıldıklarıgözlemlenir. Temiz suyun birden bire mi yada nasıl bir şekilde bulanmayabaşlayacağını hiç düşündünüz mü? Doğada bu tür problemlerin incelenmesidemek, matematiksel olarak konveksiyonun yanı sıra difüzyonun da gerçekleşmesinigerektirir. Gösterilmiş olan bu problem ile taşınım ve difüzyon hızının ? hassas birsabit ile düzgün bir şekilde nasıl gerçekleştiğine bir kanıt teşkil edilmiştir.