Prof. Dr. Hikmet Kemaloğlu danışmanlığındaki tezler
11 tez · Fırat University
İkinci mertebeden kesikli diferensiyel denklemin spektral özellikleri
Matematikte sürekli değişken ve kesikli değişken olmak üzere iki farklı değişken vardır. Sürekli değişken çalışılan evrensel kümenin reel sayılar, kesikli değişken ise evrensel kümenin tam sayılar olması halinde göz önüne alınır. Bu açıdan bakıldığında sürekli değişken için pek çok çalışma yapılmasına rağmen kesikli değişken durumunda, özellikle spektral teorideki çalışmalar kısmen yetersizdir. Özellikle bu çalışmalardan biri Sturm-Lioville denklemi için ters problemin çözümüdür. Sturm-Liouville Problemlerinin özdeğerleri ve bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonların bulunması olarak nitelendirilen çalışmalar önem arz etmektedir.
P-laplacian Sturm Liouville operatörü için ters problemin çözümü
Mevcut çalışma toplamda altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, ilgili konunun tanımı ve referans tarihçesi verilmiştir. İkinci bölümde, çalışmanın esas kısmında kullanılan bazı temel kavramlar ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, genel olarak 1-boyutlu -Laplacian problemi ve çözümleri olan genelleştirilmiş trigonometrik fonksiyonlar verilmiştir. Takip eden dördüncü bölümde, sonlu bir aralıkta Bessel operatörü için ters problemin çözümü verilmiştir. Özellikle nodal noktalar (özfonksiyonların sıfırları) kullanılarak potansiyel fonksiyon için matematiksel bir formül verilmiştir. Beşinci bölümde, dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar genelleştirilerek -Laplacian Bessel probleminin ters problemi incelenmiştir. Son olarak, elde edilen sonuçlar ve ileride hedeflenen amaçlar için bazı detaylar verilmiştir.
n-Potansiyel içeren Sturm-Liouville operatörü için ters nodal problem
Diferensiyel operatörlerin spektral teorisi gerek fen bilimleri gerek ise mühendislikte önemli bir yere sahiptir. Bu operatörlerden biri de Sturm-Lioville operatörüdür. Sturm-Liouville problemi ile ilgili direkt problem ve ters problem anlamında literatürde pek çok sonuç mevcuttur. Bununla birlikte problemdeki potansiyel fonksiyona farklı şartlar eklenerek ilginç ve literatüre katkı sağlayacak daha çok sonuç elde edilebilir. Bu çalışmada Sturm-Liouville denklemi ile birlikte ayrılabilir sınır şartları göz önüne alınmış ve özfonkisyonların sıfırları ( nodal noktalar) yardımıyla ters problemin çözümüne ulaşılmıştır. Özellikle, Prüfer dönüşümü yardımıyla özdeğerler, nodal noktalar, nodal uzunluklar ve potansiyel fonksiyonlar için asimptotik formüller bulunmuştur. Bu çalışmadaki problem birden fazla potansiyel fonksiyonu kapsaması açısından önceki çalışmalardan farklı ve ilginç sonuçlar içermektedir.
Inverse problem for differential operators with boundary conditions dependent on eigenparameter
In this thesis, we give a reconstruction formula for the potential q for a second order differential equation with boundary condition which contains spectral parameter. For this, we give some definitions and theorems about regular case. In the third part, we give some results for inverse nodal problem with Dirichlet conditions. In this part, all theorems are given without proofs. Then, we obtain asymptotic express of eigenvalues, nodal points and nodal lengths. after all of these, it is not difficult to obtain the potential function q. As methodology, we use Prüfer substitution that has an advantage different from other methods. Because in this method, we do not need any information of eigenfunctions. Keywords: Sturm-Liouville, Inverse Problems, Eigenvalues, Prüfer substitutions, Nodal points.
Solution of inverse problems for sturm-liouville problem energy-dependent potential
This thesis consists of six sections incliuding the references. In …rst and second sections introduction and some de…nitions and theorems used in the main sections are given, respectively. In third section, Ambarzumyan's theorem for Sturm-Liouville equation with spectral parameter in boundary condition is expressed and proved. In fourth section, we consider Sturm-Liouville problem energy dependent potential with spectral parameter in boundary condition. We give asymptotic formulas for eigenvalues and also, we proved that if the spectrums are the same for two problem, then R 0 (¡» ) = 0 Finally, we show that if the spectrum is (0), then = 0 almost everywhere on [0,] Finally, in the …fth section, we give some conclutions.
Sonlu fark sturm-lıouvılle problemi
Bu çalıĢma üç bölümden oluĢmaktadır. Birinci bölümde, tez içerisinde kullanılacak tanım ve teoremlere yer verilmiĢ, SturmLiouville operatörünün bazı temel özellikleri incelenmiĢtir. Ġkinci bölümde fark denklemlerinden ve Sturm-Liouville fark operatöründen kısaca bahsedilmiĢtir. Genel sınır Ģartlarıyla verilen Liouville normal formundaki öz değer probleminin sürekli ve kesikli durumlardaki asimptotik formülleri incelenmiĢtir. Üçüncü bölümde sonlu farklar metodu kullanılarak, ikinci kısımda verilen problem için asimptotik formlar ve teklik teoremi verilmiĢtir.
Sonlu bir aralıkta süreksizliğe sahip diferensiyel denklem için ters problem
Bu çalışmada, sonlu bir aralığın orta noktasında süreksizlik sınır şartına sahip bir Sturm-Liouville problemi için ters nodal problemin çözümü verilmiştir. Bunun için Prüfer dönüşümü kullanılmıştır. Öncelikle bu dönüşüm yardımıyla özdeğerler, özfonksiyonların sıfırları (nodal noktalar) ve nodal uzunluklar için asimptotik formlar bulunmuştur. Sonraki aşamada: Nodal parametreler yardımıyla potansiyel fonksiyon için bir formül verilmiştir.
M türevli sturm liouville problemi ve özellikleri
Bu c¸alıs¸mada uyumlu t¨ urev ve M-t¨ urevini ic¸eren Sturm-Liouville problemi tanımlanıp bu problem ic ¸in spektral teori ile ilgili bazı sonuc¸lar verilmis¸tir. Elde edilen problem ic¸in Ambarzumyan teoremi ve bu teoremin ispatı verilmis¸tir. Ayrıca denklem ile birlikte verilen Neumann sınır s¸artları ayrılabilir sınır s¸artlarına d¨ on¨ us¸t¨ ur¨ ul¨ up problemin birinci ¨ ozde˘geri ile potansiyel fonksiyon arasındaki ilis¸ki verildi. Son olarak ise bazı ¨ ozel durumlarda potansiyel fonksiyonun durumu ile ilgili bazı sonuc¸lar verilmis¸tir. Be lirtmekte fayda vardır ki uyumlu t¨ urev ile M-t¨ urevi birbirine yakın oldu˘gundan verilen ispatlar birbirine benzerdir. Anahtar kelimeler: Uyumlu t¨ urev, M-t¨ urevi, Sturm-Liouville problemi, Ambarzumyan teorem
N boyutlu uyumlu türevli Sturm Liouville problemi için ambarzumyan teoremi
Bu çalışmada literatürde uyumlu türev olarak geçen kesirli bir türev yardımıyla matris değerli Sturm Liouville problemini tanımladık. Tanımladığımız bu problemde potansiyel fonksiyon olan 𝑄(𝑥) fonksiyonu 𝑁×𝑁 türünde simetrik matris değerlidir. Böyle bir problem için Ambarzumyan teoremini ve bu teoremin ispatını verdik. Ayrıca periyodik ve anti periyodik problemler için potansiyel matris fonksiyonunun her bir elemanının problemin birinci özdeğeri yardımıyla bulunabileceğini gösterdik. Son olarak iki boyutlu bir problem için spektral verilerini inceledik. Sonuç olarak gördük ki uyumlu türevli problemde de özdeğerlerin katı problemin boyutu ile aynıdır.
Uyumlu türevli ters sturm-liouville problemi
This research work talks about Sturm-Liouville Problem (SLP); the direct and the inverse nodal forms of the problem (with / without delay) using a newly established non-integer value derivative called the conformable derivative. At first, looking in to the vitality of the SLP in the models of the real life problems addressing scientific, engineering, economic, etc, issues and the fact that most of these problems are better described using non-integer value derivative, we considered the conformable derivative method and proved the transformation operator for the SLP using this new differentiation method on a classical Sturm-Liouville Operator. There, we obtained a Hyperbolic partial differential equation and some suitable conditions for nucleus function N(x, τ ), then we finally obtained a Fredholm integral equation and the proof is validated by taking β = 1 which returns the original/classical results. In addition, we gave various basic definitions, properties, lemmas and theorems used in this thesis, and they are mostly under this new derivative. Next, we considered the general conformable SLP and then established the spectral properties; the eigenvalues, the eigenfunctions, the nodal points, the nodal lengths, for some special boundary conditions and after that we calculated the potential functions and proved its uniqueness, in the direct case, using these spectral parameters as the direct and inverse of the conformable SLP. We considered and proved the Ambarzumyan's theorem for the conformable derivative SLP with additional condition. Lastly, we extended the conformable SLP and its inverse problems to the constant delay problem which is also new in the literature. There we similarly obtained the spectral properties for the problem in two different set of boundary conditions and we also expressed some important results like the proof for the specification of the spectrum in one case and proving the stability of the solution in the other case. New results, as an extension of the classical SLP (with and without delay) were established in this work in order to extend the concepts of the SLP to non-integer derivative phenomena, and the corresponding results in the classical cases of the problems discussed in this research documents can be obtained at β = 1 and also the delay concept can be relax by taking ν = 0.
Uyumlu türevli sturm liouville problemi için açılım teoremi
Bu tez çalışmasında uyumlu türev ve M-türevini içeren Sturm-Liouville problemi tanımladık ve bu problem için spektral teori ile ilgili bazı sonuçlar verilmiştir. Bunula birlikte elde edilen bu problemler için açılım teremi verilmiştir. Elde edieln bu teremler yardımıyla herhangi sürekli bir fonksiyounu ortonormal fonksiyonlar fonksiyanlar yardımıyla yazabiliriz. Elde edilen sonuçlar klasik problem için sonuçlar ile parallel olup original değildir. Bu çalışmada amaç kesirli türevli bir Sturm-Liouville probleminin özelliklerimi öğrenciye öğretmektir.