Theses supervised by Dr. Öğr. Üyesi Celalettin Kaya
15 theses · Çankırı Karatekin Üniversitesi
Graf teorisinde cebirsel bağlantılılık ve rezistans mesafesi
Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Bapat (2014)'in "Graphs and Matrices" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "graf teorisinde cebirsel bağlantılılık ve rezistans mesafesi" kavramlarını anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın sekizinci, dokuzuncu ve onuncu bölümlerini Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat tabi ki motamot bir çeviri yapılmamış, hemen her ispat daha ayrıntılı bir şekilde yazılmış ve kitabın okuyucuya bırakılan birçok kısmı şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, belirtilen bölümlerin anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan matris teorinin ve graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mevzubahis kitabın birinci bölümü ve Nica (2018)'in birinci ve ikinci bölümleri kullanılarak, tezin ilk bölümünde verilmiştir. Bunlara ek olarak, kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: İkinci bölümde, cebirsel bağlantılılık konusu ayrıntılı bir şekilde işlenmiş, bu kavramla ilgili olarak ağaçların bir sınıflandırılması sunulmuş ve cebirsel bağlantılılık için bazı alt ve üst sınırlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, bir grafın mesafe matrisi ile ilgili tanım ve teoremler verilmiş, bir ağacın mesafe ve Laplace matrisleri ele alınmış ve bir ağacın mesafe matrisinin karakteristik değerleri çalışılmıştır. Dördüncü bölümün ilk alt bölümüde, rezistans mesafesi kavramı tanıtılmış ve gerçekten de bir mesafe fonksiyonu olduğu gösterilmiştir; ikinci alt bölümünde, ağ akışları konusuna değinilmiş ve son alt bölümünde, rezistans matrisinin temel özellikleri incelenmiştir. Tezin beşinci, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın ilgili bölümlerinin sonundaki notlar kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.
Bir graf ile ilişkili bazı matrislerin temel özellikleri
Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Bapat (2014)'ın "Graphs and Matrices" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "bir graf ile ilişkili bazı matrislerin temel özellikleri"ni anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın ikinci, üçüncü ve dördüncü bölümlerini Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat motamot bir çeviri yapılmamış, her ispat daha ayrıntılı bir şekilde yazılmış ve kitabın okuyucuya bırakılan birçok kısmı şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, belirtilen bölümlerin anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan matris teorinin ve graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mezkur kitabın birinci bölümü ve Nica (2018)' in birinci ve ikinci bölümleri kullanılarak, tezin ilk bölümünde verilmiştir. Bunlara ek olarak kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: İkinci bölümde, yönlendirilmiş ve yönlendirilmemiş graflarin bağlılık matrislerinin özellikleri çalışılmıştır. Ayrıca, bir bağlılık matrisinin Moore-Penrose tersinin bulunması için bir yöntem verilmiş; bağlılık matrisleri ve yol matrisleri arasındaki ilişki ortaya konulmuş ve König-Egervary teoremi ispat edilmiştir. Üçüncü bölümde, bir grafın komşuluk matrisinin özellikleri çalışılmıştır; bazı grafların (komşuluk matrislerinin) karakteristik değerleri hesaplanmış, bir grafın en büyük karakteristik değeri ile ilgili bazı sınırlar belirlenmiş ve grafın en küçük ve en büyük karakteristik değerleri kullanılarak, grafın kromatik sayısı icin bir alt sınır bulunmuştur; ayrıca, bir yönlendirilmiş grafın karşıt-komşuluk matrisi tanımlanmış ve regüler ağaçların komşuluk matrislerinin özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, bir grafın Laplace matrisinin özellikleri çalışılmıştır; bazı grafların Laplace karakteristik değerleri hesaplanmış ve Laplace spektral yarıçapı için sınırlar belirlenmiştir; ayrıca, Matris-Ağaç teoremi ispat edilmiş ve bir ağacın kenar-Laplace matrisi tanımlanarak Moore-Penrose tersi bulunmuştur. Tezin beşinci, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın ilgili bölümlerinin sonundaki notlar kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.
Laplacian eigenvalues of threshold graphs in graph theory
The main source used in the preparation of this thesis is the graduate textbook "Graphs and Matrices", Bapat (2014). Essentially, what we do is to study the eleventh chapter of the mentioned textbook to understand and explain the "Laplacian eigenvalues of threshold graphs", as can be understood from the title of the thesis. But of course, no part of the aforementioned book has been quoted exactly, a study has been put forward with our own words and our own sentences; almost every proof has been written in more detail, and parts of the book that were left to the reader have been explained completely and the subject has been presented more understandably. In addition to these, the sources listed in the references were also consulted. To summarize in outline: In the first chapter, basic notions are given about the majorization and related fundamental facts are proved. In the first section of the second chapter, threshold graphs are defined, and a characterization of threshold graphs according to the Laplacian eigenvalues is stated and proved; in the second section, the concept of Laplacian integral graph is introduced, and as an example, cographs are defined, which determine a class of Laplacian integral graphs containing the class of threshold graphs, also a characterization of spectral integral variation is stated and proved. In the third chapter, the last chapter before the conclusions and recommendation chapter, a brief literature review on the subject of the thesis is presented mainly by using the notes at the end of the eleventh chapter of the mentioned book.
Extremal graph theory and applying the regularity lemma
The main source used in the preparation of this study is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. This thesis mainly consists of studying the seventh chapter of the aforementioned book to understand and explain the subject of "extremal graph theory". But of course, no part of the mentioned book has been quoted exactly, a study has been put forward with our own words and our own sentences; and on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize in outline: In the first chapter, basic definitions and theorems of graph theory, which are the prerequisites for understanding the main subject, are covered by using the first chapter of the aforementioned book. In the first section of the second chapter, the question of what edge density is required to force a graph to contain a copy of a given graph is sought; and in the second section, the same problem is discussed in terms of inclusion as a minor. In the third section, Hadwiger's (1943) conjecture and related results; and in the fourth section, the Szemeredi lemma of regularity and its proof are studied. In the fifth and the last section of the second chapter, a general method of applying the Szemeredi lemma is introduced and as an example of this method, the theorem of Erdös and Stone (1946) is proved. In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation chapter, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the seventh chapter of the mentioned book.
Infinite graphs and recursive structures
The main source used in the preparation of this study is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. This thesis mainly consists of studying the eighth chapter of the aforementioned book to understand and explain the subject of "infinite graphs". But of course, no part of the mentioned book has been quoted exactly, a study has been put forward with our own words and our own sentences; and on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize in outline: In the first chapter, basic definitions and theorems of graph theory, which are the prerequisites for understanding the main subject, are covered by using the first chapter of the aforementioned book. In the first section of the second chapter, the equivalent of the concept of infinity in graph theory, the basic concepts, techniques, and theorems related to it are studied. In the second section, starting from the fact that there are two fundamentally different aspects of infinity in the connected infinite graphs, roads, trees and ends are introduced and the related results are studied. In the third section, answers are sought to the questions of whether there is a universal graph in the class of all countable graphs and which countable graphs are homogeneous. In the fourth and the last section of the second chapter, the issue of defining a family of graphs as recursive, which makes it possible to use induction to prove theorems about infinite graphs, is discussed. In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation chapter, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the eighth chapter of the mentioned book.
Current perspectives of fuzzy graph theory and its applications
This thesis is a review study on fuzzy graph theory and some of its applications. The purpose of the thesis is to address and review some of the previous studies of the fuzzy graph theory and to mention how it has been developed and utilized in solving various real-life problems and to explain the basic concepts that should be known about this fascinating field of mathematics. To summarize in outline: In the introduction chapter, the thesis problem and the historical sequence of the thesis topic were briefly presented. In the preliminary chapter, some basic definitions, theorems, and examples about fuzzy sets, graph theory, and fuzzy graph theory, which are prerequisites for the reader to understand the content of the thesis, were given. In the third chapter, some applications of fuzzy graphs in communications and networking, in competition in the manufacturing industries, as well as various applications of fuzzy graph coloring were introduced with some examples. In the fourth chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation chapter, a brief literature review on the subject of the thesis was presented by scanning some of the MSc and PhD theses about fuzzy graph theory. It is self-evident that by making use of these theses and their reference lists, many research articles, theses, many other sources, and open problems, etc., about fuzzy graph theory and its real-life applications can be accessed.
Cebirsel geometrik kodlar için özel durumdaki eğriler
Devirli kodlar ve Cebirsel Geometrik kodlar (AG-kodlar), güçlü cebirsel yapılara sahip iki önemli kod ailesidir. Devirli kodların minimum uzaklıklarını belirlemek hem çok kolaydır ve hem de kod çözme algoritmalarının kompleksiteleri çok düşüktür. AG-kodlar ise, fonksiyon uzaylarının cebirsel eğriler üzerinde hesaplanmasıyla elde edilen lineer kodlar olduklarından, eğriler teorisi kullanılarak minimum uzaklıklar hakkında keskin tahminler yapılabilir ve geometrik yapılar sebebiyle de özel kod çözme algoritmalarına sahiptirler. Dolayısıyla, bir devirli kodu çalışırken, cebir ve lineer cebirin tüm teknikleri, bilhassa Vandermonde tipindeki matrislerin özellikleri; bir AG-kodu çalışırken ise, bu tekniklere ek olarak, cebirsel geometrinin çok iyi geliştirilmiş mekanizmaları , özellikle Riemann-Roch teoremi kullanılabilir. Ayrıca, her iki kod ailesinin de polinomlarla tarifi mümkün olduğundan, Gröbner baz teorisi her iki alanda da çok zengin uygulamalara sahiptir. AG-kod kavramı, Saints ve Heegard tarafından, çoklu boyutlu devirli kodlar , hiperbolik olarak basamaklanmış Reed-Solomon kodlarını , Reed-Muller ve AG-kodlarının tümünü kapsayacak biçimde genişletilmiştir. Böylece, hem çoklu boyutlu devirli kodlar ve hem de AG-kodlar için bir birleşik teori ortaya konulmuş ve bu birleşik teoriye göre bir kod çözme tekniği verilmiştir. Fakat bu birleşik teorinin bir AG-koduna uygulanabilmesi için kodun üzerinde tanımlı olduğu eğrinin, bir koordinat dönüşümüyle ''özel konuma '' getirilmesi gerekmektedir. ''Özel konumdaki eğrilerin '' önemi, bu eğriler için tüm hesaplamalar rasyonel fonksiyonlar yerine polinomlarla yapılabildiğinden, böylesi durumlarda Gröbner bazların kullanılmasının mümkün hale gelmesinden kaynaklanmaktadır. Bu tezde, öncelikle, kodlama teorisi ile ilgili temel konulara değinilmiş, ardından AG-kodlar ile ilgili temel kavramlar özetlenmiştir. Daha sonra da'' AG-kodlar için özel durumdaki eğriler '' konusu işlenmiştir.
Introduction to edge-coloring problem
The problem of graph edge coloring, studied in this thesis, relies mainly on coloring the edges of a graph in a way that two distinct adjacent edges are assigned different colors. The challenge is to find the minimum number of colors necessary to give a proper edge coloring to a graph. This minimum number of colors is called the "chromatic index" of a graph $G$ and it is denoted by $\chi'(G)$ throughout this thesis. The first chapter of this thesis is an introduction to graph theory, by giving the basic but fundamental definitions of graphs, subgraphs, the concept of connectivity of graphs, also the concepts of matchings and factorization of graphs. The second chapter of this thesis talks about our main topic which is graph edge coloring, giving multiple ways to interpret the parameter $\chi'$, illustrating and proving various important theorems related to finding upper and lower bound for $\chi'$, but also an introduction to the classification problem. We end the second chapter by discussing some types of edge coloring (circular edge coloring, list edge coloring and total coloring). The third and the last chapter of this thesis is a study and description of some main results and statement of some important theorems and conjectures that would help the search and development of efficiently realized coloring algorithms, these algorithms when developed are a huge step forward into determining the chromatic index of graphs which is not an easy task.
The structures of the A4−graphs in specific finite simple groups
The main idea of the thesis is to study the connections between two important fields of mathematics: Group theory and graph theory. The essential purpose is to analyze the algebraic characteristics of certain finite simple groups by building a graph with vertices that correspond to the elements of the groups. Furthermore, the computational approach was employed in order to attain the required outcome. Assume that $G$ is a group and that $X$ is a subset of $G$. The vertex set of the $A4-$graph indicated by $A4(G,X)$ is $X$, with vertices $x,y \in X$ linked by an edge if and only if $x\neq y$ and $xy^{-1}=yx^{-1}$. We investigated the $A4(G, X)$ when $G$ is a certain Janko sporadic simple group, such as $J_1, J_2$ or $J_3$, and $X$ is a $G-$conjugacy class of order 3. The purpose is to investigate the alternating group $A_4$ within these simple groups. The disc structures were studied. Moreover, the diameter, clique number, girth, the collapsed adjacency matrix for the $A4-$graph as well as the local clustering coefficient of the $A4-$graph were all determined. Furthermore, a computer technique was utilized to perform all of the operations related to studying the $A4-$graph.
Graf teorisinde bağlantılılık kavramı ve önemi
Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Diestel (2017)'in "Graph Theory" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "graf teorisinde bağlantılılık" kavramını anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın üçüncü bölümünü Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat tabi ki motamot bir çeviri yapılmamış, bir yandan bazı çok zorlu veya teknik ispatlar atlanırken, diğer yandan kitabın okuyucuya bırakılan bazı kısımları şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, bu bölümün anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mevzubahis kitabın birinci bölümünün ihtiyaç olunan kadarı teze eklenerek verilmiştir. Bunlara ek olarak, kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: Birinci bölümde, temel tanımların ardından, yollar ve çevrimler, bağlantılılık, ağaçlar ve ormanlar ve iki parçalı graflarla ilgili gerekli tanım ve teoremler işlenmiştir. İkinci bölümün ilk iki alt bölümünde, sırasıyla 2-bağlantılı ve 3-bağlantılı grafların yapıları çalışılmış, ilgili tanım ve teoremler verilmiştir. Üçüncü alt bölümünde, graf teorinin en önemli teoremlerinden birisi olan Menger (1927) teoreminin üç farklı ispatı ve ayrıca teoremin genel hali ve ispatı sunulmuştur. Dördüncü alt bölümünde, bir grafın bir indüke alt grafını sadece uç noktalarında kesen bağımsız yolların sayısını veren, yine graf teorinin en önemli ve derin teoremlerinden birisi olan Mader (1978) teoremi ifade edilmiş ve bir sonucu ispat edilmiştir. Beşinci ve son bölümünde ise, belirlenmiş iki köşeler kümesi arasındaki ayrık yolların varlığı problemine kısaca değinilmiştir. Tezin üçüncü, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın üçüncü bölümünün notlar kısmı kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.
Graf teorisinde eşleştirme, örtme ve kaplama kavramları
Bu tezin hazırlanmasında kullanılan başlıca kaynak, Diestel (2017)'in "Graph Theory" kitabıdır. Esas itibariyle bizim yaptığımız, tezin başlığından da anlaşılacağı üzere, "graf teorisinde eşleştirme, örtme ve kaplama" kavramlarını anlamak ve anlatmak için, söz konusu kitabın ikinci bölümünü Türkçeye çevirmekten ibarettir. Fakat tabi ki motamot bir çeviri yapılmamış, bir yandan bazı çok zorlu veya teknik ispatlar atlanırken, diğer yandan kitabın okuyucuya bırakılan bazı kısımları şerh edilerek konu daha anlaşılır bir şekilde sunulmuştur. Ayrıca, bu bölümün anlaşılabilmesi için ön şart durumunda olan graf teorinin temel tanım ve teoremleri, mevzubahis kitabın birinci bölümünün ihtiyaç olunan kadarı teze eklenerek verilmiştir. Bunlara ek olarak, kaynaklar kısmında listelenmiş olan makalelere de başvurulmuştur. Ana hatlarıyla özetlemek gerekirse: Birinci bölümde, temel tanımların ardından, yollar ve çevrimler, bağlantılılık, ağaçlar ve ormanlar ve iki parçalı graflarla ilgili gerekli tanım ve teoremler işlenmiştir. İkinci bölümün ilk alt bölümünde, iki parçalı graflar için König (1931) ve Hall (1935) teoremleri; ikinci alt bölümünde, genel graflarda eşleştirme ile ilgili Tutte (1947) teremi ispat edilmiştir. Üçüncü alt bölümünde ise, Erdös ve Posa (1965) teoremi ifade edilmiştir. Dördüncü alt bölümünde, paketleme ve örtme kavramları kenarlar açısından ele alınarak, paketleme-örtme teoreminin (Bowler and Carmesin 2015) birer sonucu olarak, ağaç-paketleme (Nash-Williams 1961, Tutte 1961) ve ağaç-örtme (Nash-Williams 1964) teoremleri ispat edilmiştir. Beşinci ve son alt bölümünde ise, Gallai ve Miligram (1960)'ın yönlendirilmiş graflar için verilen yol örtü teoreminin bir sonucu olarak Dilworth (1950)'un kısmi sıralamalar için dualite teoremi ispat edilmiştir. Tezin üçüncü, sonuç ve önerilerden önceki son bölümünde ise, mevzubahis kitabın ikinci bölümünün notlar kısmı kullanılarak, tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür taraması sunulmuştur.
Notion of flows and flow-colouring duality in graph theory
The main source used in the preparation of this study is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. This thesis mainly consists of studying the sixth chapter of the aforementioned book to understand and explain the "notion of flows and flow-colouring duality in graph theory", as can be understood from the title of the thesis. But of course, no part of the mentioned book has been quoted exactly, a study has been put forward with our own words and our own sentences; and on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize in outline: This study started with a short introduction about the importance of the thesis topic and its meaning in life. In the second chapter, basic definitions and theorems of graph theory, which are the prerequisites for understanding the main subject, are discussed by using the first part of the aforementioned book. In the first section of the third chapter, basic definitions about circulations are given; in the second section, the flows in the networks are studied and the "max-flow min-cut" theorem is proved. In the third section, group-valued flows are introduced; in the fourth section, k-flows are studied for k=2, 3, and 4 values. The next section explores the surprising connection between flow and colouring; in the last section, Tutte's flow conjectures are discussed. In the fourth chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the sixth chapter of the mentioned book.
Random graphs and the probabilistic method
The main source used in the preparation of this study is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. This thesis mainly consists of studying the eleventh chapter of the aforementioned book to understand and explain the subject of "random graphs and the probabilistic method". But of course, no part of the mentioned book has been quoted exactly, a study has been put forward with our own words and our own sentences; and on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize in outline: In the first chapter, basic definitions and theorems of graph theory, which are the prerequisites for understanding the main subject, are covered by using the first chapter of the aforementioned book. In the first section of the second chapter, the concept of a random graph and related definitions and results are given. In the second section, the probabilistic method pioneered by Erdös in his article published in 1959 is introduced, and the related Erdös (1959) theorem is proved. Random graphs have results that are random even in their expressions, and these are results that contain the phrase "almost all". In the third section of the second chapter, the properties of "almost all graphs" are studied and the Erdös and Renyi (1963) theorem is proved. In the fourth and last section, the threshold functions and second moments are introduced and the threshold function of the graph property containing a given graph is determined (Erdös and Renyi 1960, Bollobas 1981). In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the eleventh chapter of the mentioned book.
Graf teorisinde Hamilton çevrimleri ve derece dizileri
The main source used in the preparation of this study is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. This thesis mainly consists of the tenth chapter of the aforementioned book to understand and explain the subjects of "Hamilton cycles and degree sequences in graph theory". But of course, no part of the mentioned book has been quoted exactly, a study has been put forward with our own words and our own sentences; and on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize in outline: In the first chapter, basic definitions and theorems of graph theory, which are the prerequisites for understanding the main subject, are covered by using the first chapter of the aforementioned book. In the first section of the second chapter, some sufficient conditions that guarantee the existence of a Hamiltonian cycle in a graph are examined, and theorems of Dirac (1952), and Asratian and Khachatrian (1990) are proved; in the second section, Chvatal (1972) theorem, which is a sufficient condition covering all previous results, is proved. In the third and last section, the theorems of Fleischner (1974), which states that the square of a 2-connected graph contains a Hamiltonian cycle, and Georgakopoulos (2009), which states that a similar situation is true for 2-connected locally finite graphs, are expressed, and. The chapter is completed with the Seymour (1974) conjecture, which is a comprehensive generalization of Dirac's (1952) theorem. In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the tenth chapter of the mentioned book.
Ramsey theory for graphs and essentials of graph colouring
The main source used in the preparation of this study is Diestel's (2017) "Graph Theory" book. This thesis mainly consists of studying the ninth and fifth chapters of the aforementioned book to understand and explain the subjects of "Ramsey theory for graphs and essentials of graph colouring". But of course, no part of the mentioned book has been quoted exactly, a study has been put forward with our own words and our own sentences; and on the one hand, some very difficult or technical proofs were skipped, on the other hand, some parts of the book that were left to the reader were explained and the subject was presented more understandably. In addition to these, the articles listed in the references were also consulted. To summarize in outline: In the first section of the first chapter, the original theorem of Ramsey (1930) is proved and the related definitions and results are given; in the second section, definitions and results related to the equivalent of Ramsey numbers in graph theory are presented; in the third section, the expression of the induced Ramsey theorem is contented with; in the fourth and the last section, the relationship between Ramsey features and connectedness is examined. In the first section of the second chapter, the five colour theorem is proved; in the second and third sections, the basic definitions and theorems of vertex colouring and edge colouring are presented, respectively. In the third chapter of the thesis, before the conclusions and recommendation, a brief literature review on the subject of the thesis is presented by using the notes section of the ninth and fifth chapters of the mentioned book.