Yüksek mertebeden bir kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümlerinin niteliksel analizi

Yüksek mertebeli kısmi türevli diferansiyel denklemler, matematiksel fizik ve mühendisliğin gelişiminde önemli bir rol oynamaktadır. Bu denklemler, malzeme bilimi, akışkanlar dinamiği ve dalga yayılımı gibi çeşitli alanlarda yaygındır. Bu denklemlerin incelenmesi, 18. yüzyılda Bernoulli kardeşler ve Euler'in titreşen teller ve kirişler üzerindeki çalışmalarıyla başlamış ve sonraki matematikçiler bu denklemlerin akışkanlar mekaniği ve dalga teorisindeki uygulamalarına önemli katkılar sağlamıştır. Modern araştırmalar, viskoelastik ve akıllı malzemeler gibi alanlarda yüksek mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin uygulamalarına odaklanmaktadır. Bu denklemlerin anlaşılması ve çözülmesi, hem teorik matematik açısından hem de mühendislik uygulamaları açısından kritik öneme sahiptir. Bu tezin temel amacı, uygun başlangıç ve sınır koşullarına sahip yüksek mertebeden bir kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümlerinin varlığını ve patlamasını incelemektir. Önceki çalışmalarda benzer problemleri ele alarak çözümlerin global varlığı, tekliği ve kararlılığı hakkında çalışmışlardır. Bu çalışma, yüksek mertebeden bir kısmi türevli diferansiyel denklemi inceleyerek ve patlama koşullarını genelleştirilmiş konkavlık yöntemi kullanarak ele alınmıştır. Bu tezin ilk bölümünde uygulamalı bilimler ve mühendislik alanlarında ortaya çıkan yüksek mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin tanımına ve çözümlerin global varlığı ve patlaması kavramlarına basit bir adi diferansiyel denklem örneği üzerinden kısaca değinilmiştir. İkinci bölümde yüksek mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerle ilgili günümüze kadar yapılan çalışmalar tarihi gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümde tez boyunca kullanılacak temel tanım, lemma, teorem, gerekli uzaylar ve eşitsizlikler hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölüm tezin esas kısmı olup verilen başlangıç sınır değeri probleminin zayıf çözümlerinin global varlığını ve çözümlerin patlamasına yol açan koşullar araştırılmıştır. Beşinci bölüm ise tezin sonuçları ve gelecekteki çalışmalar için önerileri içermektedir.