Rastgele kesir mertebeden adi ve kısmî diferansiyel denklemlerin adomian ayrıştırma yöntemi ile çözümleri

Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin fizik, mühendislik, vb. alanlarda uygulaması vardır, bu tür denklemlerin çoğunlukla analitik çözümleri yoktur. Fizik ve mühendislik gibi pek çok problem matematiksel olarak modellenebilir. Bu modellerin pek çoğu lineer olmayan adi ve kısmi diferansiyel denklemler yardımıyla ifade edildiğinden bu tür denklemlerin yaklaşık analitik çözümlerini elde etmek için literatürde geliştirilmiş olan pek çok yöntem mevcuttur. Bu yöntemlerden çok sık kullanılanlardan biri olan Adomian Ayrıştırma Yöntemi'dir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi ilk olarak 1980'lerin başında George Adomian tarafından tanıtılmıştır. Adi, kısmî, lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler için bu yöntemi geliştiren Adomian Amerikalı bir matematikçidir. Adomian, bu yöntemi sınır ve başlangıç şartı olan, deterministik, stokastik, lineer ve lineer olmayan problemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak amacıyla uygulamıştır. Yöntem, lineer olmayan terimlerin ayrıştırılmasıyla oluşturulur. Lineer olmayan terimler, Adomian Polinomlarının toplamı şeklinde tanımlanır. Her Adomian Polinomu, n>0 için y bağımsız değişkenlerine bağlıdır. Bu polinomların elde edileceği formüller Adomian tarafından geliştirilmiştir. Bu çalışmada, bazı kesir mertebeden türev tanımları ve kesir mertebeden türev hesabında kullanılan önemli fonksiyonlar, bazı sürekli olasılık dağılımları, ratsgele değişkenin beklenen değer, varyans ve moment çıkaran fonksiyon tanımları verilmiştir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi ile ilgili literatür özeti verilmiş olup yöntemin uygulanışı açıklanmıştır. Diferansiyel denklemlerin katsayıları ve başlangıç koşulları ratsgele değişken seçilerek kesir mertebeden diferansiyel denklemler rastgele hâle getirilmiştir. Ayrıca, elde edilen rastgele diferansiyel denklemlerin çözümleri bulunarak, çözümlerin olasılık karakterleri incelenmiştir. Parametreler farklı olasılık dağılımlarından seçilerek çözümlerin beklenen değer ve varyansları hesaplanmış, çözüm davranışları grafiksel olarak Maple ve Matlab'de incelenmiştir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi'nin yanı sıra Rezidual Kuvvet Serisi Yöntemi hakkında bilgi verilmiş, Laplace-Adomian Ayrıştırma Yöntemi açıklanmış diferansiyel denklemlere uygulaması yapılmıştır.