Theses supervised by Prof. Dr. Mehmet Merdan
13 theses · Gümüşhane University
Ayrık zamanlı duyarlı diyabet komplikasyon modelinin deterministik ve rastgele analizi
Bu çalışmada, diyabet hastalığının matematiksel modeli (DC) ele alınmaktadır. Bu modelde (D) insanları komplike olmayan, (C) ise karmaşık diyabetliler olmak üzere ikiye ayırmaktadır. Bunun yanı sıra diyabet, genetik ve çevresel faktörlerin neden olduğu bilinen bir hastalıktır ve bu faktör doğumdaki genetik bozukluğun ana nedenlerden bir tanesidir. Bu her iki faktör göz önünde bulundurarak, diyabet komplikasyonu (DC) modelinden duyarlı diyabet komplikasyonu olan (SDC) modeli geliştirilmektedir. Bu modelde, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklem sistemi duyarlı diyabet komplikasyonu (SDC) modeli ayrık zamanlı bir denklem sistemine dönüştürülmektedir. Model çözümlerinin pozitifliği ve sınırlılığı incelenmiştir. temel artış sayısı hesaplanmaktadır. Eğer R_0<1 ise doğumda genetik bozukluğun olmadığı durum için global asimptotik olarak kararlı bir dengeye sahiptir ve R_0>1 için ise sistem kararsız bir dengeye sahip olur. Buna ilaveten ayrık modelin rastgele davranışları için Düzgün, Binom, Geometrik, Hipergeometrik ve Poisson gibi kesikli zamanlı olasılık dağılımları kullanılarak incelendi. Ayrıca stokastik etki sonucunda elde edilen modelin sonuçları yorumlanmıştı. Anahtar Kelimeler: Denge noktaları, Duyarlı diyabet komplikasyon modeli, Global kararlılık, Kesikli zamanlı olasılık dağılımları
Rastgele kesir mertebeden adi ve kısmî diferansiyel denklemlerin adomian ayrıştırma yöntemi ile çözümleri
Lineer olmayan diferansiyel denklemlerin fizik, mühendislik, vb. alanlarda uygulaması vardır, bu tür denklemlerin çoğunlukla analitik çözümleri yoktur. Fizik ve mühendislik gibi pek çok problem matematiksel olarak modellenebilir. Bu modellerin pek çoğu lineer olmayan adi ve kısmi diferansiyel denklemler yardımıyla ifade edildiğinden bu tür denklemlerin yaklaşık analitik çözümlerini elde etmek için literatürde geliştirilmiş olan pek çok yöntem mevcuttur. Bu yöntemlerden çok sık kullanılanlardan biri olan Adomian Ayrıştırma Yöntemi'dir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi ilk olarak 1980'lerin başında George Adomian tarafından tanıtılmıştır. Adi, kısmî, lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemler için bu yöntemi geliştiren Adomian Amerikalı bir matematikçidir. Adomian, bu yöntemi sınır ve başlangıç şartı olan, deterministik, stokastik, lineer ve lineer olmayan problemlerin yaklaşık çözümlerini bulmak amacıyla uygulamıştır. Yöntem, lineer olmayan terimlerin ayrıştırılmasıyla oluşturulur. Lineer olmayan terimler, Adomian Polinomlarının toplamı şeklinde tanımlanır. Her Adomian Polinomu, n>0 için y bağımsız değişkenlerine bağlıdır. Bu polinomların elde edileceği formüller Adomian tarafından geliştirilmiştir. Bu çalışmada, bazı kesir mertebeden türev tanımları ve kesir mertebeden türev hesabında kullanılan önemli fonksiyonlar, bazı sürekli olasılık dağılımları, ratsgele değişkenin beklenen değer, varyans ve moment çıkaran fonksiyon tanımları verilmiştir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi ile ilgili literatür özeti verilmiş olup yöntemin uygulanışı açıklanmıştır. Diferansiyel denklemlerin katsayıları ve başlangıç koşulları ratsgele değişken seçilerek kesir mertebeden diferansiyel denklemler rastgele hâle getirilmiştir. Ayrıca, elde edilen rastgele diferansiyel denklemlerin çözümleri bulunarak, çözümlerin olasılık karakterleri incelenmiştir. Parametreler farklı olasılık dağılımlarından seçilerek çözümlerin beklenen değer ve varyansları hesaplanmış, çözüm davranışları grafiksel olarak Maple ve Matlab'de incelenmiştir. Adomian Ayrıştırma Yöntemi'nin yanı sıra Rezidual Kuvvet Serisi Yöntemi hakkında bilgi verilmiş, Laplace-Adomian Ayrıştırma Yöntemi açıklanmış diferansiyel denklemlere uygulaması yapılmıştır.
Kesirli mertebeden rastgele HIV/AIDS modelinin davranışları
AIDS hastalığı ilk olarak 1981 yılında ABD'de keşfedilmiştir. HIV virüsünün sebep olduğu bu hastalık sonuçları ölümcül olan ciddi bir rahatsızlıktır. Dünya genelinde her yıl yaklaşık olarak 25 milyon insan bu hastalıktan dolayı hayatını kaybetmektedir. Henüz herhangi bir çare bulunamadığı için AIDS hastalığı hayatımızı tehdit etmeye devam etmektedir. Çalışmamızda bir HIV/AIDS modeli incelenmiştir. Bir matematiksel modelleme yöntemi olan diferansiyel denklemler, mühendislikten finans ve ekonomiye, nüfus dinamiklerinden tıp bilimine kadar birçok alanda kendine uygulama alanı elde ederek günlük hayatımızda büyük ilgi görmektedirler. Çalışmamız kapsamında rastgele HIV/AIDS modeli ve rastgele kesirli mertebeden HIV/AIDS modeli farklı nümerik ve yarı analitik yöntemler yardımıyla çözümleri araştırılmıştır. Elde edilen çözümlerin olasılık karakteristikleri hesaplanarak elde edilen çözümlerin grafikleri MATLAB veya MAPLE paket programları yardımıyla çizdirilmiştir.
Homotopi analiz yöntemi ile diferansiyel denklemlerin rastgele analizi
Bu çalışmada adi, kısmi ve diferansiyel denklem sistemlerinin katsayıları veya başlangıç koşulları farklı olasılık dağılımlarından seçilerek, denklemler rastgele hale getirilmiştir. Rast gele davranışları için Normal, Gamma, Düzgün, Laplace, Beta ve Üçgensel gibi sürekli zamanlı olasılık dağılımları kullanılarak incelendi. Rastgele hale getirilen bu denklemler literatür de lineer olmayan denklemlerin çözümün de de yaygın olarak kullanılan Homotopi kavramı ile Taylor serisini birleştiren seri çözümlerinin yakınsaklık bölgesini ve hızını kontrol etmeyi sağlayan Homotopi Analiz Metodun' dan faydalanılarak çözümler elde edilmiştir. Elde edilen rastgele diferansiyel denklemlerin olasılık karakteristiklerinden en yaygın olarak kullanılan beklenen değer, varyans ve değişim katsayısı hesaplanarak bulunan çözümlerin grafikleri MATLAB veya MAPLE paket programları yardımıyla çizdirilmiştir.
İki boyutlu volterra integral denklemlerin rastgele çözüm davranışları
Bu tez, yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezin konusu ile ilgili temel bilgiler ve literatür verilmiştir. İkinci bölümde, olasılık teorisi ve olasılık dağılımları ile ilgili temel kavramlar ve tanımlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, integral denklemlerin özellikleri ve sınıflandırılması ile ilgili temel tanımlamaları verilmiştir. Dördüncü bölümde, Diferansiyel Dönüşüm Metodunun (DDM) temel tanımları, özellikleri, Volterra integral denklemlerin çözüm yöntemleri ve ilgili örnekler verilmiştir. Beşinci bölümde, başlangıç koşulları veya katsayıları sürekli olasılık dağılımlarından seçilerek elde edilen rastgele iki boyutlu Volterra integral denklemlerin, karışık Volterra – Fredholm integral denklemlerin ve iki boyutlu rastgele lineer olmayan Volterra integral denklem sistemlerin Diferansiyel Dönüşüm Metodu (DDM) kullanılarak çözüm davranışlarının olasılık karakterleri incelenmiştir. Elde edilen çözümlerin olasılık karakteristiklerinden en kullanışlı olan beklenen değer, varyans ve güven aralıkları hesaplanarak elde edilen çözümlerin grafikleri Maple veya Matlab programı yardımıyla çizdirilmiştir. Altıncı bölümde, ilgili bulgular ve tartışmalar incelenmiştir. Yedinci bölümde, tezde ele alınan sonuçlar özetlenmiştir.
Homotopi pertürbasyon yöntemi ile rastgele kesirli mertebeden diferansiyel denklemler
Bu çalışmada adi, kısmi ve diferansiyel denklem sistemlerinin katsayıları veya başlangıç koşulları farklı olasılık dağılımlarından seçilerek, denklemler rastgele hale getirilmiştir. Rastgele davranışları için Normal, Gamma, Düzgün, Laplace, Beta ve Üçgensel gibi sürekli zamanlı olasılık dağılımları kullanılarak incelendi. Rastgele hale getirilen bu denklemler literatür de lineer olmayan denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılan Homotopi Perturbasyon Metodu'ndan faydalanılarak çözümler elde edilmiştir. Elde edilen rastgele diferansiyel denklemlerin olasılık karakteristiklerinden en yaygın olarak kullanılan beklenen değer, varyans ve güven aralıkları hesaplanarak bulunan çözümlerin grafikleri MATLAB veya MAPLE paket programları yardımıyla çizdirilmiştir.
Elzaki-adomian ve elzaki homotopi analiz yöntemi ile rastgele kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümleri
Bu tez çalışmasında, başlangıç koşulları ya da katsayılar sürekli olasılık dağılımlarından seçilerek rastgele hale dönüştürülen kesirli adi ve kısmi diferansiyel denklemler ile diferansiyel denklem sistemlerinin yaklaşık analitik çözümünü elde edebilmek için, literatürde oldukça çok sık kullanılan yöntemler; Adomian Ayrışım Yöntemi ve Homotopy Analiz Metodu'nun Elzaki Dönüşüm yöntemi ile birlikte kullanıldığı hibrit metotlar ED-AAM ve ED-HAM'dir. Burada kullanılan kesirli türevler local ve Caputo türevleridir. Sürekli olasılık dağılımlarından, düzgün, normal, gamma ve beta dağılımları kullanılarak denklemler rastgele hale dönüştürülmüştür. Elde edilen çözümlerin olasılık karakteristiklerinden beklenen değer, varyans ve güvenlik aralıkları hesaplanmıştır ve bulunan çözümlerin grafikleri MATLAB veya MAPLE paket programları yardımıyla çizdirilmiştir.
Rastgele kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin aboodh ve aboodh-adomian ayrıştırma yöntemi ile çözümleri
Doğadaki birçok fiziksel problem adi veya kısmi diferansiyel denklemleri içeren matematiksel modellerle tanımlanabilir. Bu matematiksel modeller, fiziksel gerçekliğin matematiksel terimlerle ifade edilen basitleştirilmiş bir açıklamasıdır. Bu nedenle, bu fiziksel problemlerin kesin veya yaklaşık çözümün araştırılması, bu matematiksel modellerin araçlarını anlamamıza yardımcı olur. Bilim adamları adi veya kısmi diferansiyel denklemlerin tam çözümlerini veya tam çözüme yakın çözümleri elde etmek için birçok yöntem geliştirmişlerdir. Geliştirilen yöntemlerin içerisinde en çok integral dönüşümlerinden faydalanmışlardır. Biz bu çalışmamızda yeni bir integral dönüşümü olan Aboodh dönüşümünden bahsedeceğiz. Aboodh dönüşümü yöntemi, doğrusal ve doğrusal olmayan kesirli diferansiyel denklemlerin çözme sürecini kolaylaştırmak için Khalid Aboodh tarafından 2013 yılında tanıtıldı. Aboodh dönüşümü kesirli diferansiyel denklem veya denklem sitemlerinin tam çözümlerini elde etmek için elverişli metotlardan biridir. Doğrusal olmayan terimlerin oluşturduğu zorluklar sebebiyle Aboodh dönüşümüyle birlikte Adomian ayrıştırma yöntemi kullanılarak doğrusal olmayan diferansiyel denklem veya denklem sistemlerinin yaklaşık çözümleri bulunmaktadır. Bu çalışmada, Aboodh integral dönüşümünün tanımı, Caputo-Fabrizio kesirli mertebeden türev tanımı, sürekli olasılık dağılımlarından bazıları, rastgele değişkenin beklenen değer, varyans ve moment çıkaran fonksiyon tanımları verilmiştir. Ayrıca Aboodh dönüşümü, Aboodh-Adomian ayrıştırma yöntemi ve rastgele diferansiyel denklemler ile ilgili literatür özeti verilmiş, yöntemin uygulanışı açıklanmıştır. Diferansiyel denklemlerin katsayıları ve başlangıç koşulları ratsgele değişken seçilerek kesirli mertebeden diferansiyel denklemler rastgele hâle getirilmiştir. Ayrıca, elde edilen rastgele diferansiyel denklemlerin çözümleri bulunarak olasılık karakterleri incelenmiştir. Parametreler farklı olasılık dağılımlarından seçilerek çözümlerin beklenen değer, varyans ve güven aralığı hesaplanmış, çözüm davranışları grafiksel olarak MATLAB ve MAPLE13 programları kullanılarak incelenmiştir.
indexedOpen AccessTRNötrosofik kümelerde deng entropi
Bu çalışmanın amacı, Nötrosofik Kümeler (NK) aracılığıyla gerçek dünya bilgilerinde mevcut olan belirsizlik, muğlaklık, eksiklik ve tutarsızlığı ele almayı amaçlayan ek olasılıksal ölçütler sunmak için yeni Nötrosofik Kanıt Kümeleri (NKK) tanımlamaktır. Dempster-Shafer Kanıt Teorisi (D-S Kanıt Teorisi) belirsiz bilgileri ele almak için oldukça pratik bir kavramdır. Bu teorinin temeli, yalnızca odak elemanlara (OE) atfedilen destek derecesini hesaba katan Temel Olasılık Atama'sında (TOA) yatmaktadır. NKK'nin temel elemanı, üç bileşenden oluşan Nötrosofik Temel Olasılık Atama'sından (NTOA) oluşur. OE'nin doğruluk derecesi ilk TOA ile belirsizlik derecesi ikinci TOA ile ve yanlışlık derecesi ise son TOA ile karakterize edilir. NKK'de, OE'nın her destek derecesi herhangi bir sınırlama olmaksızın ayrı ayrı gösterilir. Bu nedenle NKK kapsayıcılık bakımından daha geniştir. NTOA yöntemi doğruluk desteği, belirsizlik desteği ve yanlış destek derecelerinin yanı sıra bu destek derecelerini de sınırlayıcı bir çerçevede tek ve çoklu alt kümelere atar. Bu çalışma, Nötrosofik Deng Entropisi (NDE), Nötrosofik Kosinüs Benzerlik Ölçümü (NKBÖ) ve Nötrosofik Jousselme Mesafesi (NJM) gibi NKK'leri için bazı bilgi ölçümleri geliştirmeyi amaçlamaktadır. Devamında, bir yandan güvenilir kanıtların etkisini artırmak ve diğer yandan güvenilmez kanıtların etkisini azaltmak için çelişkili kanıtları birleştirmek üzere D-S Kanıt Teorisi'ne dayalı iyileştirilmiş bir yöntem oluşturulmasıdır. Son olarak, bu yenilikçi fikirlerin önemini vurgulamak ve üstünlüğünü göstermek üzere hedef tanımlama için sensör veri entegrasyonunu içeren bir örnek durum incelenmiştir.
indexedOpen AccessENDynamic analysis of COVID-19 model
In this thesis, the spread dynamics of the Covid-19 pandemic were investigated using mathematical modeling methods. The study first addressed the SIR and its derivatives, which are classical deterministic models, and conducted analyses of the fundamental reproduction number (R_0 ), equilibrium points, and stability of these models. Subsequently, mathematical models developed for Covid-19 were analyzed, investigating the positivity, boundedness, and invariant regions of the solution. The memory effect and long-term dependency structure of the epidemic were investigated using fractional-order differential equations. Fractional models based on Caputo, Conformal, and Grünwald-Letnikov derivatives were solved using analytical and numerical methods. In this context, the Homotopy Analysis Method (HAM), q-HATM, Variational Iteration Method (VIM), and Non-Standard Finite Difference (NSFD) schemes were applied, and the resulting solutions were comparatively evaluated. Additionally, the uncertain spread of Covid-19 was modeled using stochastic differential equations, and numerical solutions were obtained using the Euler–Maruyama, Milstein, and Runge–Kutta methods. Furthermore, time-delay differential equations were used to incorporate effects such as immunity and incubation period into the model. The results demonstrate that the spread of Covid-19 can be more realistically explained not only with deterministic models but also with fractional-order and stochastic models. In this respect, the thesis contributes to both the epidemiological modeling literature and the applications of fractional analysis and numerical methods.
indexedOpen AccessTRRastgele kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerin varyasyonel iterasyon yöntemi ile çözümü
Bu çalışma varyasyonel iterasyon yöntemini ile rastgele diferensiyel denklemlerin çözümlerinin bulunmasını ve analiz edilmesini içermektedir. Bu bağlamda adi, kısmi ve kesirli diferensiyel denklem veya denklem sistemleri ele alınmış bu denklemler belirlenen olasılık dağılımları altında rastgele yapılarak çözümleri bulunmuştur. Çözümlerin beklenen değeri, varyansı, güven aralıkları ve bazı problemlerde değişim katsayısı da hesaplanmış; grafikleri MATLAB programında oluşturulmuştur. Tezin başlangıcında literatür de yer alan çalışmalar kısaca listelenmiş devamında gerekli ön bilgiler verilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde rastgele adi diferensiyel denklemler ele alınmış LVIM ile çözümleri bulunarak, çözüm davranışları analiz edilmiştir. İkinci bölümde Caputo kesir türevli rastgele diferensiyel denklemlere LVIM uygulanmış, çözümleri bulunarak çözüm davranışları analiz edilmiştir. Üçüncü bölümde Atangana-Baleanu kesir türevli rastgele kısmi diferensiyel denklemlere klasik VIM uygulanarak çözümleri bulunmuş ve çözüm davranışları analiz edilmiştir. Son bölümde ise Rieman-Liouville kesir türevli rastgele diferensiyel denklemlerin çözümleri Adomian-VIM ile bulunmuş ve çözüm davranışları analiz edilmiştir
indexedOpen AccessTRRastgele eliptik, parabolik ve hiperbolik kısmi diferansiyel denklemlerin fourier dönüşümü ile analizi
Bu çalışmada Kısmi Diferansiyel Denklemlerin sınıflandırılması ile ilgili bilgilendirme yapılmıştır. Rastgele değişken katsayılı adi diferansiyel denklemlerin Fourier Dönüşümü yardımıyla çözümü yapılmıştır. Temel mühendislik alanında farklı modeller veya metotlar kullanılarak çözümler bulunmak istenilmiştir. Fourier dönüşümü de matematik, fizik, ısı akımı, kısmi türevli denklemlerin çözümü, frekans spektrumun belirlenmesi gibi birçok alanda kullanılan integral dönüşümüdür. Bir ve İki boyutlu rastgele değişken katsayılı Hiperbolik, Parabolik, Eliptik Kısmi Diferansiyel denklemlerin çözümleri Fourier Dönüşümü yardımıyla incelenip buna bağlı olasılık karakteristiklerinde beklenen değerleri ve varyansları bulunmuştur. Bulunan değerlerinin grafiklerinin çizilmesi için Maple veya Matlab programı kullanılarak grafiksel davranışlarının incelenmesi yapılmıştır. Ayrıca Fourier Dönüşümünün tanımı ve özellikleri, literatür taraması, bazı olasılık dağılımları ile ilgili tanımlar yapılmıştır.
indexedOpen AccessTRShehu analiz dönüşüm yöntemi ile rastgele kesirli mertebeden diferansiyel denklemlerin analizi
Bu tez çalışmasında, kesirli mertebeden adi ve kısmi diferansiyel denklemler ve sistemlerinin rastgele parametreler içeren halleri ele alınmış ve bu tür denklemlerin çözümlenmesinde Shehu analiz dönüşüm yöntemi kullanılmıştır. Shehu analiz dönüşüm yöntemi, diğer dönüşüm tekniklerine göre daha basit işlem adımlarına sahip olması, kısa sürede yakınsak sonuçlar elde edilmesini sağlaması açısından avantajlıdır. Çalışmada öncelikle Caputo-Fabrizio kesirli mertebeden türev tanımı, rastgele Bagley-Torvik tipi denklem tanımı, ters shehu dönüşüm yöntemi tanım ve özellikleri verilmiştir. Katsayılar ya da başlangıç koşulları sürekli olasılık dağılımlarından Normal, Düzgün, Üstel, Üçgensel, Beta, Erlang ve Gamma dağılımlarından seçilerek denklemler rastgele hale getirilmiştir. Rastgele alınan başlangıç koşulları veya katsayılara sahip kesirli mertebeden adi ve kısmi diferensiyel denklemler için yaklaşık analitik çözümler türetilmiş ve bu çözümlerin beklenen değer, varyans ve güven aralıkları hesaplanmıştır. Türetilmiş çözümlerin karşılık gelen grafikleri, Matlab veya Maple yazılım paket programları kullanılarak bulunmuştur.Elde edilen sonuçlar, Shehu analiz dönüşüm yönteminin rastgele kesirli mertebeden adi ve kısmi diferansiyel denklem ve denklem sistemlerinin analitik ve yaklaşık çözümlerinde başarılı, hızlı ve güvenilir bir yöntem olduğunu ortaya koymuştur. Bu yönüyle çalışma, uygulamalı matematik alanında önemli bir katkı sunmaktadır