Bazı kesirsel mertebeden türevlerin ve integrallerin özelliklerinin incelenmesi

Bu çalışmanın ilk amacı kesirsel kalkülüs teorisinde en çok kullanılan iki kesirsel türev operatörü olan Caputo ve Riemann-Liouville kesirsel türev operatörleri ile Riemann-Liouville integralinin bazı özelliklerini ortaya koymak ve türev operatörlerinin özelliklerini karşılaştırmaktır. İkinci amacı ise, nonlineer 1<σ<2-mertebeden Riemann-Liouville kesirsel türevli denklem içeren bir başlangıç-değer probleminin çözümlerinin lokal varlığını ve tekliğini araştırmaktır. Bu problemdeki nonlineer denklemin sağ yanındaki nonlineer fonksiyon ilk değişkenine göre singülerliğe sahiptir. Bu fonksiyon üzerindeki süreklilik şartı altında bu problemim çözümlerinin iki katlı singülerliğe sahip Volterra-tip denklemi çözümlerine denk olduğu gösterilmiştir. Bu yöntem, problem yerine bu integral denklemin çözümlerin varlığı ve tekliğini araştırılmasına olanak sağlanmıştır. Diğer yandan, bazı tek katlı singülerliğe sahip integral denklemlerin çözümlerinin varlığını ve tekliğini araştırmak diğerlerine nazaran daha çok uğraş gerektirip daha fazla matematiksel araçlara ihtiyaç duymaktadır. Bu çalışmada da, özellikle çözümlerin tekliğini gösterirken Lebesgue uzaylarının Hölder eşitsizliği gibi temel araçlarından faydalanılmış ve mevcut ispat teknikleri genelleştirilmiştir. Bu sayede, problem için hem klasik türevli denklemler hem kesirsel türevli denklemler teorisinde en çok karşılaşılan Nagumo-tip, Krasnoselski-Krein-tip ve Osgood-tip teklik teoremleri verilecektir.