Dinamik geometride eğriler ve özellikleri

Bu tezde, zaman ölçeği kuramı çerçevesinde dinamik geometrinin temel kavramları incelenmiş ve eğri teorisinin zaman ölçeklerine uyarlanmış biçimleri ele alınmıştır. Sürekli ve ayrık analiz yaklaşımlarını tek bir çatı altında birleştiren zaman ölçeği kuramının geometrik uygulamaları araştırılarak, eğrilerin analitik ve geometrik özellikleri değerlendirilmiştir. Çalışmanın ilk bölümünde zaman ölçeğinde analiz, türev ve integral kavramları incelenmiş; zaman ölçeği kalkülüsünün temel yapı taşları ve bu yapıların geometrik uygulamalardaki rolleri ele alınmıştır. Daha sonra dinamik geometride Frenet eğrileri incelenerek Dinamik Geometride tanımlanan eğriler için teğet, normal ve binormal vektör alanlarının özellikleri değerlendirilmiştir. Tezin devamında dinamik geometride düzlem ve uzay eğrileri incelenmiş; bu eğrilerin parametrik, açık ve kapalı gösterimleri ele alınmıştır. Zaman ölçeğinde tanımlanan eğrilerin farklı temsil biçimlerinin geometrik yorumları verilmiş ve bu gösterimler arasındaki ilişkiler değerlendirilmiştir. Ayrıca zaman ölçeği eğrilerinin teğet doğruları ve normal doğruları incelenmiş; bunların vektörel, parametrik, açık ve kapalı denklemleri üzerinde durulmuştur. Çalışmada düzlem eğrilerinin zarfları ve oskülatör düzlem kavramları da incelenerek eğrilerin yerel geometrik davranışları araştırılmıştır. Bunun yanında zaman ölçeği eğrilerinin eğrilik kavramı ele alınmış ve eğriliğin geometrik anlamı zaman ölçeği bağlamında değerlendirilmiştir. Son olarak zaman ölçeği eğrileri için Frenet formülleri incelenmiş ve bu formüllerin eğri geometrisindeki önemi ortaya konulmuştur.