Behavioral classification of stochastic differential equations in mathematical finance

Stokastik diferansiyel denklemlerden Heston stokastik volatilite, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin çözümlerinin davranışları üzerine çalışılmıştır. Literatürde oldukça çok kullanılan Heston modeli 1993 yılında; Cox, Ingersoll ve Ross (CIR) tarafından faiz oranları için 1985 yılında yapılan CIR modelinden türetilmiştir. Her iki modelin uygulamalarında da sırasıyla varyans ve faiz oranlarının pozitifliligi için Feller'in 1951 yılında yayınlanan makalesinde ortaya koyduğu Feller koşulunun dikkate alınması gerekmektedir. Bir diğer model olan Merton-Black Scholes modeli ise Robert C. Merton tarafından 1960'ların sonu ve 1970'lerin başlarında geliştirilmiştir. İlk olarak ise Fisher Black ve Myron Scholes tarafından 1973 yılında yayınlanan makalelerinde kullanılmıştır. Bu model sayesinde 1997 yılında Ekonomi dalında Nobel ödülüne layık görülmüşlerdir. Ortaya konan difüzyon modeli her ne kadar yol gösterici olması açısından kullanışlı olsa da, literatürdeki uygulama sonuçlarından da görülebileceği gibi piyasalardaki ani fiyat değişimlerini yansıtmakta yeterli değildi. Bu yüzden Merton 1976 yılında Merton-Black Scholes modelini geliştirerek hisse senedi fiyatlarındaki sıçrama durumlarını da yansıtan Merton sıçramalı difüzyon modelini elde etmiştir. Bu modellerin bazı parametrelerinin çözümlere olan etkileri ele alınan yöntemler yardımıyla ayrıntılı olarak incelenmiştir. Simülasyon uygulamalarından değişik volatilite durumlarında, simülasyon yöntemlerinin birikimli hatalarından kaynaklanan etkilerinin olup olmadığını araştırmak için Heston stokastik volatilite modeli Euler-Maruyama, Milstein ve Stokastik Runge-Kutta metodalarıyla analiz edilmiştir. Hisse senedi piyasalarının değişik koşulları için Borsa Istanbul - 100 (BIST - 100) endeksinin dataları kullanılarak simülasyonlar yapılmıştır. Yapılan simülasyonlardan elde edilen sonuçlar gerçek datalarla karşılaştırılarak analiz edilmiştir. Heston stokastik volatilite modelinin uygulamasında başlangıç ve uzun vadeli volatiliteleri elde etmek için üst üste gelme durumlarındaki ekstremum değerler yöntemi kullanılmıştır. Ekstremum değerler yöntemiyle yaklaşık olarak elde edilen günlük volatiliteler de kullanılarak modelin avantajları ve limitleri araştırılmıştır. Ayrıca, matris normlarının genellemeleri olarak 3-boyutlu matrisler için norm tanımlamaları ve ilgili lemmaların da ispatları, Duran ve İzgi 2015, uygun nümerik lineer cebir ve analiz argümanları kullanılarak yapılmıştır. Daha sonra, 2-boyutlu ve 3-boyutlu hareketli matris tanımlamaları yapılmış olup, tanımlanan 3-boyutlu matris normlarının uygulaması olarak da piyasanın izlenim matris normu, hareketli matrisler üzerinde tanımlanmıştır, Duran ve İzgi, 2015. Bu normların gerek simülasyon gerekse gerçek datalarla yapılan uygulamaları ayrıntılı ve karşılaştırmalı olarak ele alınmıştır. Yapılan analizler ve incelemeler ışığı altında izlenim matris normunun kullanışlılığı da ortaya konulmuştur. Birçok disiplin dallarında ekstremum durumları anlamak ve olasılıklarının tahmininde bulunmak için ekstremum değer teorisi oldukça önemli rol üstlenmektedir. Finans, ekonomi, yer bilimi ve hidroloji gibi alanlar da bu teorinin uygulama alanlarından bazılarıdır. Finansal anlamda, ekstremum durumlar kayıp veya kazançların oldukça yüksek olabileceği durumlar olmasından dolayı, dikkate alınması ve incelenmesi gereken önemli noktalardan biridir. Bu yüzden Heston, Merton-Black Scholes ve Merton sıçramalı difüzyon modellerinin bazı parametrelerinin simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlarına olan etkilerini incelemek için, uç nokta ve kalın kuyruk analizleri standartlaştırılmış ilk dört moment değerleri ve ekstremum değer teorisi araçlarından quantile quantile, ortalamayı aşan (mean excess) ve tepe (hill) grafikleri yardımıyla yapılmıştır. Bu metodlar kullanılarak BIST-100 endeksi için de uç nokta ve kalın kuyruk analizleri örneklendirilmiştir. Böylece gerçek dataların ekstremum durumlarındaki davranışları ile gerçek datalar kullanılarak elde edilen simülasyon sonuçlarındaki ekstremum durumlar karşılaştırılmıştır. Finans piyasaları dinamik olduğundan birden çok parametrenin birbirlerine göre etkilerini ve davranışlarını incelemek oldukça önemlidir. Bu yüzden modelleme ve simülasyonlar yapılırken ele alınan model parametrelerinin dinamiklerini kontrol altında tutmak zor ve gerekli işlemlerdendir. Bu sebepten ötürü Heston stokastik volatilite modeli ile yapılan simülasyonlarda; logaritmik hisse senedi getirisi, faiz oranı ve ortalamaya dönüş hızı dinamikleri 3-boyutlu olarak araştırılmıştır. Bu dinamiklerin birbirlerine olan etkileri 3-boyutlu grafikler yardımıyla da değişik market senaryoları için kapsamlı bir şekilde ayrı ayrı olarak ortaya konulmuştur. Ayrıca, dinamiklerdeki eş hareketlilik ve eş hareketlilikten zıt hareketliliğe geçişin ekstremum durumlarda önemli olduğuna inanılmaktadır. Bu yüzden, faiz oranı ve günlük BIST-100 endeks dinamiklerinin davranışlarını daha iyi anlamak için eş ve zıt hareketleri incelenmiştir. Heston modeli logaritmik hisse senedi getirisinin, faiz oranlarının artışına paralel olarak artacağını öngörmektedir. Aslında, Heston modelinin aksine yeterince geniş bir zaman aralığında faiz oranlarının düşerken gerek Amerikan hisse senedi piyasasının gerekse Borsa Istanbul endekslerinin arttığı gözlemlenmiştir. Bunun yanı sıra, gerçek piyasalarda karşımıza çıkan sıçrama durumlarını anlamak ve kontrol altında tutmak da yatırım stratejisi ve risk kontrolü için oldukça önemli ve gereklidir. Bu yüzden, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin çözüm davranışları analiz edilerek, elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Özellikle, simülasyonlardan elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımları incelenmiş olup, ilgili dağılımlar izlenim matris normu ve ekstremum değer teorisi kullanılarak analiz edilmiştir. Model parametrelerinin, sıçramalı stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözüm yöntemlerinden olan sıçrama uyumlu (jump-adapted) metodla elde edilen logaritmik hisse senedi fiyat dağılımına ve modellerin çözüm davranışlarına olan etkisi gösterilmiştir. İlgili analizler dahilinde Merton sıçramalı difüzyon modelinin Merton-Black Scholes modeline göre fiyatlardaki ekstremum durumlarını daha iyi yansıttığı gözlemlenmiştir. Merton sıçramalı difüzyon modelinin bu önemli özelliği dikkate alındığı takdirde yatırım stratejisi belirlenme aşamasında önemli olacağı kanaatine varılmıştır. Son olarak, Merton-Black Scholes modeli ile Merton sıçramalı difüzyon modelinin fiyat salınımları, sıçrama parametrelerinin etkilerini de yansıtan izlenim matris norm kullanılarak açık bir şekilde gösterilmiştir. İzlenim matris normunun simülasyon veya gerçek datalarla yapılan analizlerde sıçramaların varlığının belirlenmesinde alternatif bir araç olarak kullanılabileceği sonucu elde edilmiştir. Ayrıca izlenim matris normunun, sıçrama potansiyelinin olduğu tam olmayan marketlerdeki gerçek hisse senedi piyasalarında da hisse senedi fiyat salınımlarını ve davranışlarını anlamak için kullanışlı olacağı sonucuna varılmıştır.