Nonlineer Schrödinger denkleminin tam çözümleri

Bu tezin ilk bölümünde nonlineer olguda önemli rol oynayan lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemler ile ilgili kısa bir bilgi verdik. Bu olguyu anlamamız için matematikçiler ve hatta fizikçiler nonlineer denklemlerin daha fazla tam çözümlerini bulmaya çalışmışlar ve büyük emek harcamışlardır. Bu sebeple lineer olmayan denklemlerin çözümlerini bulmak için ters saçılım yöntemi (Zakharov ve Shabat 1972) ve Hirota metodu (Hirota 2004) gibi etkili yöntemler ileri sürmüşlerdir. Bu bölümde ayrıca en önemli lineer olmayan kısmi diferansiyel denklemlerden biri olan Nonlineer Schrödinger denklemi (NLS) hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde NLS denkleminin tarihsel gelişimi verildi. 1834 yılında Russell tarafından gözlenen 'büyük tekil dalga' KdV ve NLS gibi geniş çözülebilir lineer olmayan evolüsyon denklemlerinin matematiksel özelliklerinin gelişimi olarak verilmiştir. Üçüncü bölümde diferansiyel denklemler ile ilgili temel tanımlar verilmiştir. Ayrıca adi diferansiyel denklemlerin ve özellikle de kısmi diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmada kullanılan en önemli metodlardan biri olan Kompleks Fourier Dönüşümünü verdik. Bu dönüşümle çözülebilen dalga denklemini örnek olarak verdik. Ayrıca bu bölümde Burgers ve KdV gibi lineer olmayan bazı evolüsyon denklemlerinin ilerleyen dalga çözümlerini elde ettik. Bunun dışında KdV ve NLS gibi integrallenebilir lineer olmayan evolüsyon denklemlerinin multi-soliton çözümlerini veren Hirota metodunu ele aldık. Bu metodu KdV denkleminin 1-soliton ve 2-soliton çözümlerini elde ederek detaylandırdık. Dördüncü bölüm Nonlineer Schrödinger denklemine ayrılmıştır. Öncelikle ilerleyen dalga çözümünü elde ettik ve daha sonra Hirota metodunu kullanarak NLS denkleminin 1-soliton ve 2-soliton çözümünü verdik. Sonuç ve tartışma kısmı da beşinci bölümde verilmiştir.