P(x)- Laplace operatörünü içeren Steklov sınır değer problemi için çözümlerinin incelenmesi

Bu tezde, 𝑝(𝑥)− Laplace operatörünü içeren Steklov sınır değer probleminin sıfırdan farklı bir tane zayıf çözümünün varlığı değişken üslü Sobolev uzayında araştırılmıştır. Bu çözümler araştırılırken varyasyonel yaklaşım yöntemi kullanılmıştır. Birinci bölümde, başlangıçta üzerinde çalıştığımız değişken üslü uzayların tarihsel gelişimi ile ilgili bilgi verilmiştir. Ayrıca 𝑝(𝑥)− Laplace operatörünü içeren farklı sınır değer koşullarına sahip problemlerin varyasyonel yaklaşım altında çözümlerinin varlığı, katlılığı, en az bir zayıf çözümünün varlığı, sıfırdan farklı en az bir zayıf çözümünün varlığı, sonsuz çözümün varlığı veya en az üç çözümün varlığı üzerinde yapılan çalışmaların bazıları verilmiştir. En sonda da üzerinde çalışacağımız problem ve kullanılacak yöntem tanımlanmıştır. İkinci bölümde, tezin içerisinde geçen bazı temel tanım ve teorem hakkında bilgi verilmiştir. Daha sonra da, problemimizin çözümlerini araştırdığımız uzaylar olan değişken üslü Lebesgue uzayı ve değişken üslü Sobolev uzayının tanımı ve bu uzaylarda kullanılan teoremler hakkında bilgi verilmiştir. Üçüncü bölümde, standart ve standart olmayan büyüme koşulunu içeren farklı sınır değer koşullarına sahip problemlerin çözümlerinin varlığını araştırırken kullanılan yöntem olan varyasyonel yaklaşım ile ilgili bilgi verilmiştir. Bu yaklaşım kullanılırken ihtiyaç duyulan bazı teoremlere yer verilmiştir. Ayrıca bu teoremler için gerekli olan bazı tanımlarda tanımlanmıştır. Daha sonra da, bu teoremlerin kullanıldığı bazı çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Dördüncü bölümde, tez çalışmasının orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bu kısımda, standart olmayan büyüme koşullarını içeren ağırlıklı eliptik Steklov problemi üzerinde çalışılacaktır. Çalışmada, uygun koşullar altında problemin sıfırdan farklı en az bir zayıf çözümünün varlığı değişken üslü Sobolev uzayında araştırılmıştır. Problemin sıfırdan farklı en az bir zayıf çözümünün varlığı araştırılırken Mountain-Pass teoremi ile birlikte Ambrosetti-Rabinowitz koşulu bir arada kullanılmıştır. Anahtar Kelimeler: 𝑝(𝑥)− Laplace, Steklov problem, Varyasyonel yaklaşım, Mountain-Pass teoremi, Ambrosetti-Rabinowitz koşulu, Zayıf çözüm, Steklov problemi.