Harmonic analysis approach method to some problems in additive combinatorics theory

Bu tezde, sonlu cisimlerin belirli alt kümelerindeki aritmetik dizilerin sayısını bulmaya odaklandık. Bu amaç doğrultusunda, sonlu cisimlerin karesel ve küpsel sayıların oluşturduğu S_p ve C_p kümelerini ele alıp Gauss ve Kummer toplamları üzerine var olan sonuçları kullandık. Tezimizin esas bulgusu olan k >2 tam sayısı ve p tek asal sayısı için S_p'deki k uzunluklu aritmetik dizilerin sayısını daha iyi hata terimi hesapladık. İspatımız içeriği sonlu Fourier analizi ve birlirli tipteki Weil sanılarından oluşmaktadır. Ayrıca tezimizde sırasıyla k=3,4,5 için S_p'deki l uzunluklu aşikar olmayan aritmetik dizilerin sayısını tam olarak hesaplayan formüller elde edildi. durumunda elde edilen formüller içerisinde eliptik eğriler mevcuttur. l=4,5 için formüller eliptik eğriler içerdiğinden hata terimi mevcuttur ve bu hata teriminin en iyisi olduğu Sato-Tate sanısını kullanılarak gösterildi. Son bölümde, sonlu cisimlerde kümesindeki uzunluklu aritmetik dizilerin sayını bulma problemini, küpsel elemanların oluşturduğu C_p kümesinde ele alınmıştır.