Transformasyon yarı gruplarındaki potent elemanlar

Xn ={1,2,?,n} kümesi üzerindeki, tüm kısmi transformasyonların oluşturduğu yarıgrup ile tüm transformasyonların oluşturduğu yarıgrup sırasıyla Pn ve Tn ile gösterilsin. Tn yarıgrubunun, tüm sıra-koruyan elemanlarının oluşturduğu yarıgrup ile tüm azaltan elemanlarının oluşturduğu yarıgrup sırasıyla On ve Dn ile gösterilsin. Cn = On ? Dn koyalım.Pn yarıgrubunun m-potent elemanlarının sayısı, (m, r)-potent elemanlarının sayısı ve m-nilpotent elemanlarının sayısı ile ilgili bir takım formüller elde ettik. Catalan sayılarının üretici fonksiyonu f (x) olmak üzere, On yarıgrubunun tam m tane sabit noktaya sahip elemanlarının sayısının f 2m(x) deki xn-m nin katsayısına eşit olduğunu gösterdik. Ayrıca, verilen n,m ?N için f m(x) deki xn nin katsayısını da hesapladık.Cn,r = {? ? On : s ? r olmak üzere ? bir s-potent ve Fix (?) = {1}},Wn,r = {? ? On : s ? r olmak üzere ? bir s-potent ve |Fix (?)| = 1},Un,r = {? ? On : s ? r olmak üzere ? bir s-potent},koyalım. Cn,r , On yarıgrubunun bir alt yarıgrubudur. |Cn,r|, |Wn,r|, |Un,r| sayılarının üretici fonksiyonlarını sırasıyla Cr (x), Wr (x), Ur (x) ile gösterelim. Ayrıca n köşeli derinliği en fazla r olan sıralı ağaçların kümesini de ?n,r ile gösterelim. |Cn,r|, |Wn,r|, |Un,r| sayıları ve dolayısıyla Cr (x), Wr (x), Ur (x) arasında bir takım ilişkiler olduğunu gösterdik. Cn,r yarıgrubu ile ?n,r kümesi arasında birebir örten bir dönüşüm inşa ettik. Ayrıca, Cr (x), Wr (x), Ur (x) için formüller ürettik.