Yüksek mertebeden kesirsel türevli lineer olmayan problemler için bazı varlık ve teklik teoremleri

Bu çalışmanın amacı lineer olmayan çok terimli yüksek mertebeden Riemann-Liouville kesirsel türevli denklem içeren bir başlangıç-değer problemi için global varlık ve teklik teoremleri ortaya koymaktır. Göz önüne alınacak problemdeki denklemin singüler nonlineerliğe sahip oluşu bu çalışmayı orjinal kılan nedenlerden biri olarak gösterilebilir. Bu tipteki problemlerin çözümlerinin varlığını ve tekliğini incelemek için en çok kullanılan yöntemlerden biri problemi integral denkleme indirgemek ve ilgili integral denklemin çözümlerinin varlığını ve tekliğini incelemektir. Burada da belirli¸ şartlar altında problem ile zayıf singülerliğe sahip integral denklemin denk olduğu ispat edilmiştir. Bu ispatı anlamak ve açıkça ortaya koymak açısından Riemann-Liouville integral ve türev operatörü ile onların özelliklerine tezin üçüncü bölümünde yer verilmiştir. Bu integral denklemin sürekli fonksiyonlar uzayında ya da daha "iyi" uzaylardaki lokal çözümlerini araştırmak için bu denkleme karşılık gelen bir operatör tanımlanıp operatörün sabit noktalarının varlı ˘gı için operatörün kompaktlığı ve Arzela-Ascoli teoremi gibi fonksiyonel analiz yöntem ve teknikleri kullanılır. Bu çalışmada global çözümlerle ilgilenilceği için Arzela-Ascoli teoremi yeterli olamayacaktır ve çözümün araştırıldığı uzay için kompaktlık tanımı Su and Zhang (2011), Jiang (2014) ve Hao et. al (2018) makaleleri takip edilerek fonksiyonel analiz teknikleri ile genişletilmeye çalışılmıştır. Son olarak ise verilen problem için Nagumo-tip teklik teoremi verilerek çözümün tekli˘gi için bir teorem ortaya sürülmü¸stür.