Z3-dereceli kuantum süper uzayın elemanlarının toplamı üzerine bir diferansiyel hesap

Kuantum uzaylar(düzlemler), uzay(düzlem) kavramının bir genelleştirmesidir. Bir kuantum uzay, bir uzayın deformasyonudur öyle ki deformasyon parametresinin özel değer(ler)i için kuantum uzay, o uzayla özdeşleşir. İlk olarak Drinfeld 1986'da, kuantum grup terminolojisini kullanmış daha sonra bir çok yazar bu konuya değişik yorumlar getirmiştir. Kuantum uzay terminolojisi ise ilk olarak Manin tarafından 1989'da kullanılmıştır. Değişmeli olmayan geometri, son yıllarda matematiğin ve matematiksel fiziğin birçok farklı alanında önemli bir rol oynamaya başlamıştır. Değişmeli olmayan geometriye yön veren temel yapı bir birleşmeli cebir üzerindeki bir diferansiyel hesaptır. Tez, beş bölümden oluşmaktadır ve orijinal kısımlar, dördüncü bölümden itibaren başlamaktadır. İlk bölümde, tezin orijinal kısımlarında kullanılacak olan cebir, cebirlerin tensör çarpımı, serbet cebirler, dereceli cebirler, Hopf Cebiri, Z3-dereceli cebir, komodül, bimodül, kuantum(süper) düzlem, kuantum süper uzay gibi temel kavramlar verilmiştir. İkinci bölümde konuya dair bir literatür özeti verilmiştir. Üçüncü bölümde, teze temel teşkil edecek Z3-dereceli kuantum süper uzay, Z3-dereceli diferansiyel hesap, sol(sağ) kovaryant bimodül gibi kavramlar ve bazı teoremler verilmiştir. Dördüncü bölümde, Z3-Dereceli kuantum süper uzayda bir toplama işlemi tanımlanmıştır. Bu uzayın elemanları 3-boyutlu kuantum süper vektör olarak adlandırılmıştır. Uzaydan alınan iki kuantum süper vektörün toplamı ele alınmış ve elde edilen yeni toplam vektörünün bu uzaya ait olması için gereken şartlar araştırılmıştır. Bu tanımla birlikte elde edilen yapının bir süper Hopf cebiri yapısı taşıdığı gösterilmiştir. Daha sonra, koordinat fonksiyonları olarak kabul edilen toplam vektörünün bileşenlerinin birinci ve ikinci mertebe diferansiyelleri, Cartan-Maurer 1-formları ve kısmi türevleri tanımlanarak bunlar arasındaki değişim bağıntıları elde edilmiştir. Gerekli bağıntıların elde edilmesiyle bu yapının diferansiyel geometrisi kurulmuştur. Tezin son bölümünde, çalışmanın sonuçları verilmiş ve ileride sağlayacağı katkılardan söz edilmiştir.