Prof. Dr. Yılmaz Şimşek danışmanlığındaki tezler
15 tez · Akdeniz University
Merkezi faktöriyel sayılarının üreteç fonksiyonları ve uygulamaları
Bu tezde, Merkezi Faktöriyel Sayılarının Üreteç Fonksiyonları Ve Uygulamaları çalışılmıştır. Merkezi faktöriyel sayılarının tanımları ve bazı özellikleri ile birlikte üreteç fonksiyonları verilmiştir. Ayrıca, bazı özel sayıların ve bazı özel polinomların üreteç fonksiyonları ve uygulamaları araştırılmıştır. Stirling, Euler, Grünert, Bernoulli ve Genocchi polinomlarının bazı temel özellikleri verilmiş ve bu polinomlara ait rekürans ve diğer özel sayılarla olan ilişkilerine ait bağıntılar verilmiş, temel özellikleri incelenmiştir. Bu sayılar ile ilgili sonuçlar, uygulamalar ve yorumlar verilmiştir.
(q-)umbral analizde sheffer tipli polinomlar ve uygulamaları
Bu tezin temel amacı, q-umbral analizdeki q-Sheffer polinomları ve bunların bir alt ailesi olan q-Appell polinomlarıyla ilgili çeşitli özellikler vermek ve bu özellikler yardımıyla bazı özel polinomları incelemektir. Bu tezde, ilk olarak klasik umbral cebirin tanımı ve bazı özellikleri verilmiştir. Daha sonra umbral analizin bir genellemesi olan c_{n}-umbral analiz verilmiş ve c_{n}-Bernoulli tipli polinomlar ile c_{n}-Euler tipli polinomlar tanımlanarak bunların bazı özellikleri elde edilmiştir. Ayrıca, q-umbral analiz yöntemleri incelenmiş ve bu yöntemler yardımıyla q-Bernoulli polinomları, q-Euler polinomları, q-Hermite polinomları, q-Hermite tabanlı Bernoulli polinomları ve q-Hermite tabanlı Euler polinomlarının üreteç fonksiyonları verilerek çeşitli özellikleri elde edilmiştir.
Kombinatorik toplamlar ve bunların olasılık ve istatistikteki uygulamaları
Bu tezde, olasılık ve istatistikte çok önemli bir yer tutan üreteç fonksiyonları ve kombinatorik toplamlar ve bunlarla ilgili uygulamalar çalışılmıştır. Binom katsayılarını içeren kombinatorik toplamlar verilmiştir. Bu toplamların bazı özel sayılar ile ilişkileri incelenmiştir. Bu tezde verilen sonuçlar hem matematik, olasılık ve istatistik alanlarına hem de diğer alanlara katkı sağlayacaktır. Bu tezde kullanılan bazı özel sayılar ile kombinatorik toplamlar arasındaki formüller ve ilişkiler verilmiştir. Örneğin; 1. ve 2. tür Stirling sayıları, Bernoulli sayılar, Euler sayıları, Bell sayıları, Fibonacci sayıları ve Catalan sayıları vb. gibi sayılarla ilgili özdeşlikler elde edilmiştir. Bu tezde, Bernstein baz fonksiyonlarından üretilen Catalan sayılarını içeren formüller kullanılarak, birçok kombinatorik toplam bulunmuştur. Dahası Lagrange inversiyon formülünü ve Stirling sayılarının üreteç fonksiyonları yardımıyla, Stirling sayıları ve negatif üslü Bernoulli sayılarını içeren özdeşlikler elde edilmiştir.
Hecke tipi operatörler ve uygulamaları
Bu çalışmada, kısmi Hecke operatörleri ve bu operatörlere bağlı kısmi Hecke tipioperatörler tanımlanmıştır. Bu operatörlerin bazı uygulamaları verilmiiştir. KısmiHecke operatörlerine karşılık gelen matrisler verilmiiştir. Özel olarak Bernoulli veEuler polinomlarını içeren iki matris temsili verilmiiştir. Kısmi Hecke operatörlerive genelleştirilmiiş kısmi Hecke operatörleri, sırasıyla, Genocchi tipi polinomlara vegenelleştirilmiş Euler tipi polinomlara uygulanarak bazı sonuçlar elde edilmiştir.Tp ile gösterilen Hecke tipi operatörleri, matematikte çok önemli yer tutan özelfonksiyonlara uygulanmıştır.ANAHTAR KELiMELER: Genelle¸stirilmi¸s Bernoulli-Euler tipi polinomu,Hecke operat?rleri, K¨smi Hecke operat?rleri,÷zel fonksiyonlar, ?reteÁ fonksiyonlar¨
Çok değişkenli hermite tabanlı appell polinomları üzerine
İlk bölümde Appell polinomlar ailesindeki bazı polinomlar ile Hermite polinomunun tanımlandığı diferensiyel denklem verilmiştir. Sonra ilk olarak klasik Bernoulli,Euler, Genocchi, Euler-Frobenius polinomları tanımlanmıştır. Bu polinomların sağladıkları özellikler ifade edilmiştir. Bulgular bölümünde Dattoli ve arkadaşları tarafından tanımlanan 2D-Bernoulli polinomların genelleştirilmesi verilmiştir. Genelleştirilmiş parametreli Apostol-Bernoulli, Apostol-Euler, Apostol-Genocchi polinomları için çeşitli yeni rekürans bağın-tıları ispatlanmıştır. Hermite-tabanlı Apsotol-Bernoulli polinomu ile Hurwitz-Lerch zeta fonksiyonu ve genelleştirilmiş Frobenius-Euler polinomu ile Hurwitz-Lerch zetafonksiyonu arasındaki lineer bağıntılar ispatlanmıştır. Bu polinomlar için bazı yeni genellemeler verilmiştir. Son olarak üstel fonksiyonların integral değeri iki değişkenli ve dört değişkenli Hermite polinomları cinsinden ifadeleri bulunmuştur.ANAHTAR KEL·IMELER: Bernoulli polinomalar¬, Euler polinomlar¬, Hermite polinomlar¬, Appell polinomlar¬,Appell dizileri.
Spline tipli eğrilerin üreteç fonksiyonları ve bunların matematiksel modellerini içeren uygulamalar
Bu tezde, spline eğri ailelerinin tanımları, bazı özellikleri ve çeşitleri verilmiştir. En önemli spline eğri aileleri olarak bilinen doğrusal dereceden (birinci), ikinci (kuadratik dereceden) ve k. dereceden spline, B-spline, kardinal spline, üstel spline ve üstel Euler spline aileleri incelenmiştir. Ayrıca iyi bilinen bazı özel sayılar ve polinomların tanımları ve bazı özellikleri de verilmiştir. Bunların spline eğri aileleriyle ilişkileri incelenmiştir. Yüksek mertebeden Apostol-Euler sayıları ve polinomlarının üreteç fonksiyonlarına türev operatörü uygulayarak bazı hesaplama formülleri, türev formülleri ve bağıntıları elde edilmiştir. Tümevarım yöntemi ve üreteç fonksiyonların fonksiyonel denklemleri kullanılarak Apostol-Euler sayılarını ve polinomlarını içeren yüksek mertebeden kısmi türevli denklemler elde edilmiştir. Bu kısmi türevli denklemler yardımıyla yüksek mertebeden Apostol-Euler sayılarını ve polinomlarını içeren hesaplama formülleri elde edilmiştir. Elde edilen bu yeni formüller yardımıyla derecesi v olan karmaşık sayı kuvvetli üstel Euler tipli spline eğri ailesi tanımlanmıştır. Bu yeni spline eğrisinin indirgendiği ve ilişkili olduğu diğer üstel spline eğri aileleri de incelenmiştir. Ayrıca Beta tipli rasyonel fonksiyonların ilişkili olduğu spline eğri aileleri, m. mertebeden ve karmaşık sayı kuvvetli Apostol-Euler sayılarını ve ikinci tür Stirling sayılarının da ilişkili olduğu bazı özel sonlu toplamlar verilmiştir. Bunlara ek olarak Apostol-Genocchi sayıları ve polinomlarının Apostol-Euler sayıları ve polinomları arasındaki ilişki kullanılarak, yeni spline tipli eğri aileleri de tanımlanmıştır. Dahası matematiksel modellemenin bazı tanım ve özellikleri verildikten sonra Wolfram Mathematica paket programı yardımıyla spline eğri ailelerini kapsayan matematiksel modellerle ilişkili grafik örnekleri ve bunların kodları da verilmiştir.
Özel sayılar, özel fonksiyonlar ve bir kümenin elemanlarının permütasyonlarına göre de montmort sayıları (Derangement sayıları) arasındaki ilişkiler
Bu tez çalışmasında, matematikte özellikle Kombinatorik Analiz Teorisi'nde önemli bir yeri olan Derangement (düzensizlik) kavramı ele alınmıştır. Derangement, hiçbir elemanın kendisiyle eşleşmediği bir kümenin elemanlarının permütasyonu olarak tanımlanır. Yani, sabit noktaya sahip olmayan permütasyonlara derangement denir. Bu sayılar, ilk kez 1713 yılında Fransız matematikçi Pierre Remond de Montmort tarafından incelenmiş \cite{montmort1713} ve ölümünden sonra "de Montmort sayıları" olarak da anılmıştır. Günümüzde ise genellikle derangement sayıları olarak bilinmektedir. Bu tezde derangement sayıları ve polinomları incelenmiş; diğer özel sayılar ve polinomlarla olan ilişkileri, yeni özdeşlikler ve bağlantılı grafikler ortaya konulmuştur. Özellikle üreteç fonksiyonları, permütasyonlar ve grafiklerle olan bağlamda derangement yapılarına odaklanılmıştır. İlk olarak permütasyon gruplarına değinilmiş, ardından derangement sayı ve polinom ailesi açıklanmış ve bazı yeni üreteç fonksiyonlarını içeren denklemler sunulmuştur. Bu denklemler yardımıyla derangement sayıları ve polinomlarının diğer özel sayılarla ilişkileri göz önüne alınmıştır. Ayrıca ilgili polinom ailelerinin türevleri, integralleri, çeşitli özellikleri; grafiksel gösterimleri ve nümerik değerlerini içeren tablolar da çalışmada yer almaktadır.
Leibnitz tipli sayılar ile bazı özel toplamlar arasındaki ilişkiler
Bu tezde, Leibnitz sayıları ve Leibnitz tipli sayıları ile fonksiyonların bazı özel toplamlar arasındaki ilişkiler çalışılmıştır. Üreteç fonksiyonları ve bu fonksiyonların fonksiyonel denklemleri yardımıyla Leibnitz tipli sayıların ve polinomların bazı özellikleri verilmiştir. Benzer şekilde, üreteç fonksiyonları teknikleri kullanılarak, Bernstein polinomları, Stirling sayıları, Catalan sayıları, Bernoulli sayıları ve polinomları, Euler sayıları ve polinomları, Genocchi sayıları ve polinomları arasındaki bağıntılar incelenmiştir. Ayrıca, üreteç fonksiyonları yardımıyla, Leibnitz tipli sayılar ve polinomlar ile bazı özel toplamlar, bağıntılar ve formüller verilmiştir. Bu tezde elde edilen sonuçlar hem matematik hem de diğer bilim dallarında kullanılabilir niteliktedirler.
Lineer rekürans bağıntıları yardımıyla bazı özel sayıların ve polinomların üreteç fonksiyonlarının tanımlanması ve bunların uygulamaları
Bu tezde lineer rekürans bağıntıları yardımıyla bazı özel sayıların ve polinomların üreteç fonksiyonları verilmiş ve bundan faydalanılarak bazı uygulamalar yapılmıştır. Üreteç fonksiyonları yardımıyla bazı özel sayı ve polinom ailelerinin özellikleri incelenmiş ve bunlar arasındaki bağıntılar ve formüller üzerine çalışılmıştır. Bu tez çalışmasında, iki sıfırın ve iki birin yan yana gelmemesi koşuluyla {0, 1, 2} kümesi üzerinde yazılabilecek tekrarlı s-li tüm permütasyonların sayısına karşılık gelen bir sayı dizisi ele alınmıştır. Charalambides (2002) tarafından verilen rekürans bağıntısı yardımıyla bu sayı dizisinin üreteç fonksiyonu üzerinde çalışılmıştır. Bu üreteç fonksiyonunun bazı özel fonksiyonlar ile ilişkileri verilmiştir. İlgili üreteç fonksiyonu yardımıyla Charalambides (2002) kitabındaki Problem 7.7.11 ile verilen homojen lineer rekürans bağıntısının çözümü de verilmiştir. Buna ek olarak, bu tez çalışmasında elde edilen bazı sonuçların Simsek (2023) tarafından verilmiş olan ve özellikle de Fibonacci tipli ve Lucas tipli sayı ve polinom ailelerini kapsayan bir polinom ailesi ile ilişkileri de elde edilmiştir. Aynı zamanda ilgili üreteç fonksiyonu ile yeni bir özel polinom ailesi tanımlanmış ve bu polinomların bazı temel özellikleri incelenmiştir. Bu özelliklerden bazıları kullanılarak, matematikte ve diğer uygulamalı bilimlerde kullanılabilecek birçok yeni formül elde edilmiştir. Bu polinomlara türev operatörü uygulanarak yeni formüller de elde edilmiştir. Ayrıca bu polinomlar için Riemann integral gösterimleri de verilmiştir. Elde edilen yeni sonuçlar birinci türden Stirling sayıları , ikinci türden Bernoulli polinomları (Cauchy sayıları), Fibonacci sayıları ve Pell sayıları gibi özel sayı ve polinomları içermektedir. Bu tez çalışmasında, tez kapsamında elde edilen sonuçlar hakkında karşılaştırmalı çok sayıda notlar verilmiş ve bunlara bağlı olarak da yorumlamalar yapılmıştır.
Hilbert matrisleri ve hankel determinantlarının bazı özel polinom ve sayıları ile ilişkileri
Bu tezde, Hilbert matrisleri ve Hankel determinantları ile bazı özel polinom ve sayı aileleri arasındaki ilişkiler çalışılmıştır. Bu matrisler ve determinatlar kullanılarak ilgili özel polinomların ve sayıların üreteç fonksiyonlarını içeren temel özellikleri araştırılmış ve bazı ortogonal polinomların birtakım özellikleri verilmiştir. Hilbert matrisleri ve Hankel determinantlarının bazı özellikleri yardımıyla bazı ortogonal polinomlar için rekürans formülleri de verilmiştir. Bazı özel ortogonal polinomlar ile Laplace dağılımı arasındaki ilişkiler araştırılmış ve bu dağılıma ait bazı önemli sonuçlar verilmiştir. Verilen sonuçlar ve bağıntılar yardımıyla, Laplace dağılımı ile Bernoulli sayıları, Bernoulli polinomları ve ikinci tür Euler sayılarını içeren özdeşlikler ve bağıntılar elde edilmiştir. Bu tez çalışmasında elde edilen sonuçların, hem ortogonal polinomların temel teorisinde, hem de olasılık ve istatistik alanlarında uygulanma potansiyeli mevcuttur.
B-spline eğrileri ile eulerian tipli polinomlar arasındaki ilişkiler ve bunların uygulamaları
Bu tezde, B-spline eğrilerini içeren spline eğri ailelerinin bazı özellikleri incelenmiştir. B-spline eğrilerinin ilişkili olduğu, kardinal spline, üstel spline, üstel Euler spline ve Bernoulli monospline aileleri gibi özel spline eğri aileleri de çalışılmıştır ve bazı temel özellikleri verilmiştir. Kardinal spline eğri aileleri yardımıyla, B-spline eğri ailelerinin inşası çalışılmıştır. Kardinal spline aileleri ve B-spline eğri aileleri ile Eulerian tipli polinomlar ve bunların üreteç fonksiyonları arasındaki ilişkiler detaylı olarak incelenmiştir. Bernoulli sayıları ve polinomları, Euler sayıları ve polinomları, Genocchi sayıları ve polinomları, Eulerian tipli sayılar ve polinomlar ve diğer bazı özel sayı ve polinom ailelerinin tanımları ve bazı özellikleri verilmiştir. Ayrıca, bu özel sayı ve polinom aileleri kullanılarak yeni kardinal tipli spline eğri aileleri de tanımlanmıştır. Tanımlanan bu ailelerinin Wolfram Mathematica paket programı yardımıyla grafikleri çizilmiştir. Ayrıca, B-spline eğri aileleri ile yakın ilişkisi olan Bernstein baz fonksiyonları ile inşa edilen Bézier eğri aileleri de çalışılmıştır. Bunlara ek olarak, bu tez çalışmasında çalışılan eğri aileleri ile özel polinom ailelerini içeren sonuçlar verilmiştir ve Bernoulli sayıları ve polinomları, Eulerian tipli sayılar ve polinomlar, Genocchi sayıları ve polinomları, Frobenius-Euler sayıları ve polinomları, ikinci tür Stirling sayıları, yüksek mertebeden Bernoulli sayıları, Catalan sayıları gibi iyi bilinen bazı özel sayı ve polinomlar ailelerini içeren yeni formüller, bağıntılar ve özdeşlikler elde edilmiştir.
Hermite tipli milne-thomson polinomlarının üreteç fonksiyonları ve bunların hesaplamalı bilimlerdeki uygulamaları
Bu tezde, Hermite tipli Milne-Thomson polinomları ve bunların üreteç fonksiyonları çalışılmıştır. Euler formülü ve trigonometrik fonksiyonlar yardımıyla inşa edilen bu üreteç fonksiyonları kullanılarak, r-parametreli Hermite-tabanlı Milne-Thomson tipli bazı polinom aileleri de çalışılmıştır. Bernoulli tipli sayı ve polinom aileleri, Euler tipli sayı ve polinom aileleri, Genocchi tipli sayı ve polinom aileleri, Stirling sayıları gibi iyi bilinen bazı özel sayı ve polinom ailelerinin tanımları ve bazı özellikleri verilmiştir. Elde edilen yeni üreteç fonksiyonları ve bunların fonksiyonel denklemleri, özel integral formülleri ve trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak, r-parametreli Hermite-tabanlı Milne-Thomson polinomları, r-parametreli Hermite tipli polinomları ve diğer bazı özel polinom ailelerini içeren formüller, bağıntılar ve özdeşlikler verilmiştir. Ayrıca, yüksek mertebeden Apostol-Bernoulli sayıları, yüksek mertebeden Apostol-Euler sayıları, yüksek mertebeden Apostol-Genocchi sayıları, tanjant sayıları, kotanjant sayıları, Chebyshev polinomları, Dickson polinomları, Fubini tipli sayıları ve polinomları, genelleştirilmiş Hermite-Kampè de Fèriet polinomları, Milne-Thomson tipli polinomları ve iki parametreli Apostol tipli polinomları başta olmak üzere bazı özel sayı ve polinom ailelerini içeren bağıntılar ve kombinatorik toplamlar elde edilmiştir. Bu tez çalışmasında, aynı zamanda r-parametreli Hermite-tabanlı Milne-Thomson tipli polinom ailelerini içeren üreteç fonksiyonlarının bazı özel durumları da çizelgeler halinde sunulmuştur. Bunlara ek olarak, bazı özel sayı ve polinom aileleri için hesaplamalı algoritmalar verilmiştir ve bu algoritmaların bazıları Mathematica paket programında Wolfram programlama dili yardımıyla kodlanarak, r-parametreli Hermite tipli polinom aileleri ve r-parametreli Hermite-tabanlı Milne-Thomson tipli polinom ailelerinin değerleri hesaplanmış, grafikleri ve yüzeyleri çizilmiştir.
Sonlu leksikografikal sıralı alfabe üzerinde tanımlı kelimeler ve de bruijn tipli dizileri içeren üreteç fonksiyonları ve bunların uygulamaları
Bu tezde, Lyndon kelimeleri gibi sonlu leksikografikal sıralı alfabe üzerinde tanımlı kelimeleri ve De Bruijn tipli dizileri sayan sayıların üreteç fonksiyonlarının inşası üzerine çalışılmıştır. İnşa edilen üreteç fonksiyonları yardımıyla, bu kelime ve dizilerin bazı özel fonksiyonlarla, Apostol tipli sayı ve polinomlar aileleriyle, Stirling sayılarıyla ve diğer özel sayı ve özel polinom aileleriyle olan ilişkileri incelenmiştir. Ayrıca, inşa edilen üreteç fonksiyonları ve bunların diferansiyel denklemleri yardımıyla binom katsayılarını, bazı özel sayı ve özel polinomları içeren yeni formüller, bağıntılar ve özdeşlikler elde edilmiştir. Elde edilen bu sonuçlar kullanılarak, asal sayı uzunluklu Lyndon kelimelerinin sayılarını ve binom katsayılarını içeren kombinatorik toplamlar da elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, elde edilen sonuçların bazıları için nümerik hesaplamalar yapan hesaplamalı algoritmalar verilmiştir ve bu algoritmalar kullanılarak ilgili sonuçlar için tablolar verilmiştir. Verilen tablolardaki değerler yardımıyla da üreteç fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. Son olarak, elde edilen üreteç fonksiyonlarının asal sayılar ve tek türlü asal çarpanlara ayırma metodu ile ilişkileri incelenerek bazı uygulamaları verilmiştir. Ayrıca bu tez çalışmasında, elde edilen sonuçların bazılarını kapsayan açık problemler de verilmiştir.
Fubini tipli sayılar ve bunların üreteç fonksiyonları
Bu tezde, Fubini tipli sayılar ve bunların üreteç fonksiyonları çalışılmıştır. Fubini tipli sayıların ve polinomların tanımları, fonksiyonel denklemleri ve bazı özellikleri verilmiştir. Ayrıca, bazı özel sayıların ve polinomların üreteç fonksiyonları ve uygulamaları verilmiştir. Diğer yandan Fubini tipli sayılar ve polinomlar ile çok iyi bilinen bazı özel sayılar örneğin, Bernoulli sayıları ve polinomları, Apostol-Bernoulli sayıları ve polinomları, Apostol-Euler sayıları ve polinomları, Frobenius-Euler sayıları ve polinomları, Apostol-Genocchi sayıları ve polinomları, 2. tür Stirling sayıları ve 2. tür λ-Stirling sayılarının arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Üreteç fonksiyonları yardımıyla, Fubini tipli sayılar ve polinomlar ile bu özel sayıları ve polinomları içeren özdeşlikler ve bağıntılar verilmiştir.
Çok değişkenli Fibonacci tipli polinomlar için üreteç fonksiyonları ve uygulamaları
Bu tezin temel amaçlarından biri Fibonacci tipli polinomlar ve Jacobsthal tipli polinomlar ailesi için yeni bir üreteç fonksiyonu ailesi vermektir. Bu üreteç fonksiyonu ailesi ve bunların fonksiyonel denklemleri kullanılarak, Fibonacci tipli polinomlar ve Jacobsthal tipli polinomların temel özellikleri incelenmiştir. Aynı zamanda bu polinom aileleri ile Apostol-tipli ve Humbert-tipli sayılar ve polinomları içeren özdeşlikler, bağıntılar ve diğer formüller elde edilmiştir. Öncelikli olarak, çeşitli sayı dizileri ve polinom aileleri, bunlara ait üreteç fonksiyonları ve Binet formülleri ile bu sayı dizileri ve polinom ailelerinin bazı temel özellikleri tanıtılmıştır. Sonra, oluşturulan yeni üreteç fonksiyonunun yapısı, bu foksiyonun Fibonacci sayıları ve polinomları, Lucas sayıları ve polinomları, Jacobsthal sayılar ve polinomlar, Vieta-Fibonacci polinomları, Vieta-Lucas polinomları, Legendre polinomları, Chebyshev polinomları, Gegenbauer polinomları, Humbert polinomları, Apostol-Bernoulli polinomları, Apostol-Euler polinomları, Genocchi sayıları ve polinomları, Stirling sayıları, Dickson polinomları ve iyi bilinen diğer sayı dizileri ve polinom aileleri ile ilişkisi incelenmiştir. Daha önce bilinen ve yeni elde edilen çeşitli formüller, denklemeler ve bağıntılar verilmiştir. Sonsuz seri uygulamaları, olasılık ve kombinatorik uygulamaları ve cebirsel uygulamalardan bahsedilmiştir.