Değişken katsayılı evolüsyon denklemlerin çözümlerinin davranışı

Evrendeki olayları anlamak için kısmi türevli denklemler oldukça önemli araçlardır. Örneğin; bir keman telinin titreşimi, ses dalgaları, bir çubuktaki ısı iletimi...gibi bir çok olay kısmi türevli denklem olarak modellenmektedir. Kısmi diferansiyel denklemlerde bağımsız değişkenlerden biri zaman (t) olan denklemlere evolüsyon denklemler denir. Evolüsyon denklemler zamanla değişen fiziksel sistemleri modellemek için kullanılan diferansiyel denklemler sınıfıdır. Bu denklemler, matematiğin yanı sıra fizik, mekanik ve malzeme bilimi gibi diğer disiplinlerde de büyük önem taşır. Ayrıca gerçek hayatta birçok fiziksel süreç, ortam koşullarının zamana veya konuma bağlı olarak değişim göstermesi nedeniyle sabit katsayılı matematiksel modellerle tam olarak ifade edilemez. Bu gibi durumlarda değişken katsayılı diferansiyel denklemler kullanılarak daha gerçekçi modellemeler yapılabilir. Örneğin, ısı iletimi, dalga yayılımı, difüzyon ve akışkanlar dinamiği gibi birçok alanda, ortamın sıcaklık, yoğunluk veya elastikiyet gibi özellikleri zaman veya mekân içinde değişkenlik gösterir. Böyle sistemlerin analizinde değişken katsayılı denklemler kaçınılmaz bir ihtiyaç haline gelir. Bu bağlamda tezin ilk bölümünde diferansiyel denklem teorisine, mühendislik ve fen gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan evolüsyon denklemlere ve çözümlerin davranışına kısaca değinilmiştir. İkinci bölümünde tezde geçen denklemlerin fiziksel anlamları ve bu denklemler ile ilgili günümüze kadar yapılan çalışmaların tarihi gelişimi ele alınmıştır. Üçüncü bölümünde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, lemma, teorem, eşitsizlikler ve eşitlikler verilmiştir. Ayrıca çözümlerin varlığı, azalması ve patlaması ile ilgili lemmalar verilmiştir. Dördüncü bölümünde değişken katsayılı güçlü sönüm terimli dalga denkleminin çözümlerinin patlaması ele alınmıştır. Beşinci bölümünde doğrusal olmayan sönüm ve kaynak terime sahip ağırlıklı m-biharmonik denklemin çözümlerinin varlığı, azalması ve patlaması çalışılmıştır. Altıncı bölümünde tekil potansiyele sahip yüksek mertebeden bir reaksiyon difüzyon denkleminin çözümlerinin global varlığı ve patlama zamanı için üst ve alt sınır çalışılmıştır. Yedinci bölümünde değişken katsayılı gecikme terimli Petrovsky denklemi için çözümlerin azalması çalışılmıştır.