İdeal topolojik uzaylarda düzenli yerel fonksiyonlar

İdeal topolojik uzayların önemi çok iyi bilinmektedir ve öneminden ötürü güncel literatürde yeterince yer almaktadır. Son zamanlarda ideal topolojik uzaylar ile ilgili yerel fonksiyon fikrinden yola çıkılarak yapılan ve çeşitli yerel fonksiyonların tanımlandığı birçok araştırma makalesi bulunmaktadır. Bunlardan biri, topolojik uzaylardaki yarı-açık küme kavramı yardımı ile elde edilen "Yarı Yerel Fonksiyonlar" üzerine bir çalışmadır. Bir diğeri ise yine topolojik uzaylarda bilinen pre-açık (ön açık) kümeler ile elde edilen "(┤)^p-Operatörü" için yapılan çalışmadır. Ayrıca bir başka araştırma makalesinde topolojik uzaylarda açık kümenin kapanışı kullanılarak ideal topolojik uzaylarda "Kapanış Yerel Fonksiyonlar" tanımlanmış ve ilgili sonuçlara yer verilmiştir. İdeal topolojik uzaylarda yerel fonksiyonların yardımı ile bir Kuratowski Kapanış operatörünün elde edilişi önemli bir ayrıntıdır. Ancak bahsedilen araştırma makalelerinde yer alan bu yerel fonksiyonların birçoğunda bir Kuratowski kapanış operatörü elde etmek ve dolayısıyla devamında yer alan çalışmaları yapmak mümkün olmamıştır. Bu tezin ana amacı da bu olumsuzluğu içermeyen bir başka yerel fonksiyonun varlığını araştırmak olmuştur. Diğer taraftan ideal topolojik uzaylar için tanımlanmış düzenli yerel fonksiyonlara güncel literatürde rastlanmamıştır. Bu eksiği gidermek üzere ideal topolojik uzaylar için düzenli yerel fonksiyonlar ilk olarak bu tez kapsamında tanımlanmıştır. Üstelik düzenli yerel fonksiyonlar yardımı ile k_I^(*d) Kuratowski Kapanış operatörü ve τ^(*d) topolojisi elde edilebilmiştir. Yapılan yeni tanımlamaya göre literatürdeki ilgili birçok teorem revize edilmiştir. Revize edilmiş yeni teoremler ve bunlardan elde edilen diğer sonuçlar da bu tezde yer almaktadır. Genel bilgiler verildikten sonra çalışma boyunca sıklıkla ihtiyaç duyulan düzenli açık kümeler ve yarı açık kümeler tanımlanarak çalışmanın asıl konusu olan düzenli yerel fonksiyonlar için zemin oluşturulmuştur. İdeal topolojik uzaylarda yerel fonksiyon, yarı-yerel fonksiyon ve düzenli yerel fonksiyon tanımları verilmiş ve karşılaştırmaları yapılmıştır. Daha sonra düzenli yerel fonksiyonlardan yararlanılarak tanımlanan ψ_d operatörünün sağladığı koşullar aktarılmıştır. Ayrıca ideal topolojik uzay üzerinde ideal ile topolojinin düzenli uyumu ve ψ_d-C küme tanımı başlıkları altında elde edilen sonuçlar araştırma bulguları bölümünde yer almaktadır. Tez beş ana başlıktan meydana gelmektedir. Giriş bölümünden sonra, yapılan literatür taraması sonucu, tezin ortaya çıkması ve oluşturulması aşamasında yol gösterici olan kaynaklar kısa özetleri ile yer almaktadır. Çalışmanın kaynağında yer alan yarı açık kümeler ve düzenli (regüler) açık kümelerin tanıtımı, ideal topolojik uzaylar, yerel fonksiyonlar ve ilgili teoremler üçüncü bölümde verilmiştir. Dördüncü ana başlık Araştırma Bulguları olup, bu bölümde topolojik uzaylarda bilinen yerel fonksiyon tanımından yola çıkılarak elde edilen düzenli yerel fonksiyonların tanımı ile sağladığı ve sağlamadığı koşullar verilmiştir. Düzenli yerel fonksiyonlarla literatürde yer alan diğer yerel fonksiyonlar arasındaki ilişkilere değinilmiştir. Ayrıca düzenli yerel fonksiyonlar yardımı ile yeni bir kapanış operatörü ve yeni bir topoloji elde edilmiştir. Daha birçok alt başlık düzenli yerel fonksiyonlar tabanlı olarak bu bölümde incelenmiştir. Tartışma ve Sonuç beşinci bölümde verilmiştir.