Parçalı sabit argümanlı bir biyolojik modelin lyapunov kararlılığı

Mühendislik, fizik, mekanik, kimya, biyoloji ve benzer alanlarda çözüme kavuşması gereken birçok somut problemin matematiksel olarak modellenmesi diferansiyel denklemler aracılığı ile yapılmaktadır. Ele alınan bir matematiksel model, nüfus artışı, biyolojik bir modelin davranışı, salgın hastalıklar, kimyasal tepkimedeki bir kimyasal maddenin miktarı ve bu miktarın zamana bağlı değişimi gibi olayların matematiksel ifadesidir. Matematiksel bir modelin amacı, süreci incelemek ve gelecek senaryoların tahmin edilmesini sağlamaktır. Örneğin, salgın hastalık modellerinin analizi hastalığın mevcut durumunun anlaşılmasını ve kontrol altına alınması için gerekli koşulların elde edilmesini sağlamaktadır. Böylece hastalığın müdahale önlemlerinin kullanımı ve tıbbi kaynakların yönetimi büyük ölçüde etkilenir. Bu nedenle matematiksel modellemeler kritik öneme sahiptir. Ele alınan sistemde değişim hızı, bilinmeyen fonksiyonun geçmiş zamandaki değerlerine bağlı olarak ortaya çıkıyorsa bu sistem gecikmeli diferansiyel denklemler yardımıyla modellenmektedir. Gecikmeli diferansiyel denklemler biyoloji, tıp, fen, mühendislik, mekanik gibi alanlarda sıklıkla yer almaktadır. Gecikme miktarlarının çok küçük olması bile sistemde çok büyük farklılıklara neden olabileceğinden problemlerin modellenmesinde gecikme miktarları ihmal edilmeden gecikmeli diferansiyel denklemlerin kullanılması gerçekliğe daha yakın sonuçlar vermektedir. Bu tez çalışmasının konusu olan parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler, gecikmeli diferansiyel denklemler sınıfında yer almaktadır. Son zamanlarda parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler teorisi ve bu teorinin uygulamaları ile ilgili birçok çalışma yapılmıştır. Dolayısyla bu tip diferansiyel denklemler uygulama açısından da oldukça önem arz etmektedir. Bu çalışmada ele alınan model bir salgın hastalık (SIR) modelidir. Literatürde yer alan çalışmalarda toplumdaki salgın hastalık modelleri SI, SIR, SIS, SIRS, SEIR, MSEIR gibi epidemik modeller ile oluşturulmuştur. Bu tez çalışmasında yer alan salgın hastalık, enfekte olan bir hastanın temasta olduğu kişiler için hastalık iii kuluçka süresi düşünülerek gecikmeli diferansiyel denklemler sınıfında yer alan genelleştirilmiş parçalı sabit argümanlı diferansiyel denklemler ile modellenmiştir. Genelleştirilmiş parçalı sabit argüman içeren bir epidemi modeli için çözümlerin kararlılığı ikinci Lyapunov yöntemi uygulanarak araştırılmıştır.