Split kuaterniyonlar temelinde hiperbolik spinorların incelenmesi ve lorentz dönüşümlerinin hiperbolik spinor gösterimleri

Bu tezde split kuaterniyonlar ile hiperbolik spinorlar arasındaki ilişkiler incelenmiş ve Lorentz dönüşümlerinin spinor gösterimlerindeki rolleri araştırılmıştır. Çalışmanın temel amacı, split kuaterniyon cebirine karşılık gelen hiperbolik spinor gösterimlerini elde etmek, bunlara ait matris gösterimlerini oluşturmak ve Lorentz dönüşümlerini hiperbolik spinorlar aracılığıyla ifade etmektir. Tezin ilk bölümünde araştırmanın amacı, önemi, varsayımları ve sınırlılıkları verilmiştir. İkinci bölümde reel kuaterniyonlar, spinorlar, split kuaterniyonlar ve split kuaterniyon matrisleri ile ilgili temel bilgiler sunulmuştur. Üçüncü bölümde hiperbolik sayı sistemi tanıtılmış, hiperbolik sayıların cebirsel özellikleri ele alınmış ve Lorentz dönüşümünün hiperbolik spinor temelleri incelenmiştir. Tezin özgün sonuçlarının yer aldığı dördüncü bölümde öncelikle split kuaterniyonların hiperbolik spinor gösterimleri elde edilmiştir. Bu gösterimler kullanılarak split kuaterniyonlar sınıflandırılmış ve karşılık gelen hiperbolik spinorlar incelenmiştir. Daha sonra split kuaterniyonlara karşılık gelen sol ve sağ hiperbolik spinor matrisleri tanımlanmış, temel hiperbolik spinor matrislerinin özdeğerleri hesaplanmış ve bu matrislerin cebirsel özellikleri belirlenmiştir. Ayrıca hiperbolik spinorlar cinsinden Lorentz dönüşümlerinin Weyl ve Dirac gösterimlerindeki ifadeleri elde edilmiş, üreteç matrisleri ve özellikleri incelenmiştir. Bunun yanında Weyl ve Dirac gösterimlerindeki hiperbolik 4-spinorlar arasındaki ilişkiler ortaya konulmuş ve bu gösterimler arasında dönüşüm bağıntıları elde edilmiştir. Son olarak split kuaterniyonlara karşılık gelen hiperbolik 4-spinorlar kullanılarak Lorentz dönüşümlerinin tek matrisli gösterimleri elde edilmiş ve dönüşümün hiperbolik spinorlar cinsinden daha doğrudan ifade edilebildiği gösterilmiştir. Son bölümde elde edilen bulgular değerlendirilmiş ve ileride yapılabilecek çalışmalara yönelik öneriler sunulmuştur.