Prof. Dr. Gabil Amirali danışmanlığındaki tezler
10 tez · Sinop University, Erzincan Binali Yıldırım University
Diferansiyel ve fark maksimum prensipleri
Maksimum Prensibi çözümlerin açık ifadeleri bilinmeksizin diferansiyel denklemlerin bu çözümleri hakkında bilgi elde etme imkanı sağlar. Maksimum Prensibi özellikle çözümlerin yaklaşımında faydalı bir araçtır.Bu çalışmada ikinci mertebe birinci tip self-adjoint sınır değer problemlerinde Maksimum Prensibi incelenerek konuya giriş sunuldu. Daha sonra prensip; self-adjoint olmayan denklemler için ele alındı. İkinci mertebe self-adjoint olmayan periyodik bir problem için de Maksimum Prensibi incelendikten sonra 3.tip sınır-değer problemlerinde prensip ve uygulamaları ifade ve ispat edildi. Son olarak da prensip ve uygulamaları fark sınır-değer problemlerinde incelendi.
Singüler pertürbe olmuş başlangıç-değer problemleri için düzgün yakınsak fark şemaları
Bu çalışmada singüler pertürbe özellikli birinci ve ikinci mertebeden lineer başlangıç-değer problemlerinin, sonlu farklar metodu ile nümerik çözümleri incelenmiştir. Bu problemler için öncelikle gerekli asimptotik değerlendirmeler yapıldı. Daha sonra düzgün şebeke üzerinde üstel baz fonksiyonları ile kalan terimleri integral biçiminde olan ve ağırlık fonksiyonu içeren interpolasyon kuadratur formülleri kullanılarak uygulanan integral özdeşlikleri metodu ile pertürbasyon parametresine göre düzgün yakınsak üstel katsayılı fark şemaları kuruldu. Önerilen fark problemleri için yakınsama hızları incelendi ve somut örnekler üzerinde nümerik sonuçların teorik sonuçlarla uyumlu olduğu gösterildi.
II. Mertebeden periyodik sınır değer problemleri için sonlu fark şemaları
Bu çalışmada, II. mertebeden periyodik sınır değer problemlerinin nümerik çözümleri incelendi. Sonlu farklar metodu kullanılarak düzgün şebeke üzerinde fark şemaları kuruldu. Söz konusu algoritmalar klasik fark şemalarından, singüler perturbe olmuş problemde ise ağırlık fonksiyonu içeren ve kalan terimleri integral formda olan interpolasyon kuadratur formüllerinin ve üstel baz fonksiyonlarının kullanılmasıyla oluşan integral özdeşlikler yardımıyla uyarlanmış şemalardan oluşmaktadır. Daha sonra oluşturulan fark şemalarının diferansiyel denklemlerin çözümlerine düzgün yakınsak olduğu gösterildi. Singüler perturbe problem için sonuçları destekler nitelikte örnek çözüldü.
İkinci mertebeden iki noktalı sınır değer problemlerinde diferensiyel ve fark Green fonksiyonları
Bu çalışmada, ikinci mertebeden sınır değer problemlerinde diferansiyel ve fark Green fonksiyonları ve bu fonksiyonların özellikleri incelendi. İlk olarak, self adjoint ve self adjoint olmayan diferansiyel sınır değer problemlerinde Green fonksiyonu ve özellikleri incelendi. Ardından bunlara uygun bazı uygulamalar verildi. Daha sonraki kısımda düzgün ve düzgün olmayan şebekelerde fark Green fonksiyonu ve özellikleri incelendi ve bu fonksiyona uygun değerlendirmeler verildi. Sonlu fark sınır değer problemin çözümü için bazı değerlendirmeler fark Green fonksiyonu kullanılarak elde edildi. Son olarak, özel düzgün olmayan şebekede singüler pertürbe olmuş sonlu fark problemi için hata değerlendirmesi fark Green fonksiyonu kullanılarak elde edildi ve yakınsama hızı değerlendirildi. Anahtar Kelimeler: Green Fonksiyonu, Sınır Değer Problemi, Fark Şeması, Konveksiyon-Difüzyon Problemleri, Singüler Pertürbasyon
Adi diferansiyel denklemlerde ateşleme metodu
Bu çalışma, ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler için sınır değer problemlerinin (lineer ve lineer olmayan) çözümü için uygulanan ateşleme metodudur. Lineer problemlerde bu yöntem iki başlangıç-değer problemine indirgenmektedir. Lineer olmayan problemlerde ise oluşan başlangıç değer probleminin yanı sıra tek adımlı fark yöntemleri ve iterasyon yöntemleri kullanılmaktadır. Ayrıca ele alınan yöntemler sayısal örneklerle desteklenmiştir.
Sınır değer problemlerinin integral denklemler metodu ile çözümü
Bu çalışmada, sınır-değer problemlerinin çözüm metotlarından birisi olan, sınır-değer probleminin integral denkleme dönüştürülmesi ve çözümü üzerinde duruldu. Bu tür problemler için öncelikle Green fonksiyonu oluşturuldu. Daha sonra sınır-değer problemi, Green fonksiyonu yardımıyla integral denkleme dönüştürülerek çözüldü. Son olarak kullanılan metot örnekler üzerinde uygulanarak test edildi.
Özdeğer-özvektör problemleri için iterasyon yöntemleri ve dejenere olmuş fredholm integral denklemleri
Bu çalışmada, Özdeğer-Özvektör problemleri için bazı iterasyon metodlarının yakınsaklık özellikleri ve Dejenere Çekirdekli Fredholm İntegral Denklemleri için çözüm yöntemlerinin incelenmesi ele alınmıştır. Öncelikle Özdeğer-Özvektör problemleri için hata payı sıfıra yakın olan uygun yaklaşık (iterasyon) çözüm metotları belirlenerek, uygulanabilirliği gösterilmiştir. Daha sonra Dejenere Çekirdekli Fredholm İntegral Denklemleri için çözüm yöntemleri incelenerek örnekler üzerinde nümerik sonuçların teorik sonuçlarla uyumlu olduğu gösterilmiştir.
Singüler pertürbe olmuş problemlerin nümerik çözümleri için kesin fark şemaları yöntemi
Bu çalışmada singüler pertürbe olmuş integral sınır şartı ve periyodik sınır şartı içeren ikinci mertebeden diferansiyel problemler için sonlu fark yöntemleri ve bu nümerik metodların yakınsaklığının incelenmesi ele alınmıştır. Bu tür problemler için öncelikle fark şemaları kuruldu, düzgün hata değerlendirmeleri yapıldı. Daha sonra yakınsama hızları incelendi ve örnekler üzerinde nümerik sonuçların teorik sonuçlarla uyumlu olduğu gösterildi.
Birinci ve ikinci mertebeden singüler pertürbe özellikli integro-diferansiyel denklemler için düzgün nümerik metotlar
Bu tez çalışmasında, ilk önce birinci mertebeden singüler pertürbe özellikli Fredholm integro-diferansiyel denklem için bir başlangıç değer problemi ele alınmıştır. Sürekli problemin özellikleri verilmiş, kalan terimi integral formunda olan ve baz fonksiyonu içeren kuadratür formülleri kullanılarak düzgün ve Shishkin şebekelerde fark şeması oluşturulmuştur. Yaklaşık çözümün kesin çözüme parametresine göre düzgün yakınsak ve yakınsama hızının düzgün şebekede birinci mertebeden, Shishkin şebekede ise ikinci mertebeden olduğu gösterilmiştir. Ardından, ikinci mertebeden singüler pertürbe özellikli Fredholm integro-diferansiyel denklem için sınır değer problemi ele alınmıştır. Sürekli problemin özellikleri verilmiş, kuadratür formülleri kullanarak düzgün ve Shishkin şebekelerde fark şeması oluşturulmuştur. Yaklaşık çözümün kesin çözüme parametresine göre düzgün yakınsak ve yakınsama hızının düzgün şebekede birinci ve ikinci mertebeden, Shishkin şebekede ise ikinci mertebeden olduğu gösterilmiştir. Son olarak, self adjoint olmayan ve sıfırıncı mertebeden indirgenmiş denklemli ikinci mertebeden singüler pertürbe özellikli Fredholm integro-diferansiyel denklem için sınır değer problemi ele alınmıştır. Sürekli problemin özellikleri verilmiş, kuadratür formülleri kullanarak Shishkin şebekede fark şeması oluşturulmuştur. Yaklaşık çözümün kesin çözüme parametresine göre düzgün yakınsak ve yakınsama hızının ikinci mertebeden olduğu gösterilmiştir. Sunulan yöntemler ayrı ayrı nümerik örnekler ile desteklenmiştir.
Singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemler için düzgün yakınsak fark şemaları
Bu tez çalışmasında, birinci mertebeden singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri ele alınmıştır. Tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde singüler pertürbasyon teorisi, integro-diferansiyel denklemlerin tarihçesi ve uygulama alanlarından bahsedilmiştir. İkinci bölümde, literatür araştırmasına yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, tezde kullanılacak temel tanım ve formüllere yer verilmiştir. Dördüncü bölümde ilk olarak, lineer ve lineer olmayan singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemler için başlangıç değer problemleri ele alınmıştır. Düzgün şebekede üstel katsayılı fark şemaları ayrı ayrı kurulmuştur. İkinci olarak, lineer singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemin nümerik çözümü için parçalı düzgün şebeke olan Shishkin şebekede üstel katsayılı sonlu fark şeması kurulmuştur. Üçüncü olarak, ilk önce lineer singüler pertürbe özellikli Volterra integro-diferansiyel denklemin nümerik çözümü için parçalı düzgün şebekede üstel katsayılı sonlu fark şeması kurulmuştur. Son olarak, lineer singüler pertürbe özellikli gecikmeli Volterra integro-diferansiyel denklemin nümerik çözümü için parçalı düzgün şebekede homojen tipli sonlu fark şeması kurulmuştur. Ele alınan sürekli problemlerin özellikleri verilmiş, kalan terimi integral şeklinde olan ve üstel katsayılı baz fonksiyonları içeren interpolasyon kuadratür formüllerinden yararlanılmıştır. Her bir problemin yaklaşık çözümünün kesin çözüme ayrık maksimum normda epsilon-pertürbasyon parametresine göre düzgün yakınsak olduğu gösterilmiş ve yakınsama hızları belirlenmiştir. Elde edilen sonuçlar nümerik örneklerle desteklenmiştir.