Theses supervised by Prof. Dr. Naime Ekici
15 theses · Çukurova University
Serbest Lie cebirlerinin test elamanları
üOZü Ë ËYUKSEK LISANS TEZIË ËËSERBEST LIE CEBIRLERININ TEST ELEMANLARIDemet PARLAKüË Ë ËCUKUROVA UNIVERSITESIşËË Ë ËüüFEN BILIMLERI ENSTITUSUË ËËMATEMATIK ANABILIM DALIDanısman: Prof.Dr. Naime EKË Ëş ICIYıl: 2005, Sayfa: 44Jü ri: Prof.Dr. Naime EKË Ëu ICIYrd.Doc.Dr. Ela AYDINşYrd.Doc.Dr. Zerrin ESMERLË Ëş IGILYrd.Doc.Dr. Ahmet TEMIZY üË UREKşYrd.Doc.Dr. Perihan ARTUT (DË ş )ş INCüF sonlu bir X kü mesi tarafından uretilen serbest cebir olsun. F nin bir u elemanı veuherhangi bir Φ endomorï¬zmi icin Φ (u) = u olduğ unda Φ bir otomorï¬zm oluyorsa u yaş gF nin test elemanı denir. Buradan hareketle F cebirinin monomorï¬zmleri ve endomor-ï¬zmleri icin test elemanları karakterize edilerek test elemanları ile bu cebirlerin retraktlarışarasındaki iliski gü sterilmistir. Serbest Lie cebirlerinin bir elemanının yü rü ngesini koruyanş o ş ouendomorï¬zmlerin monomorï¬zm olduğ u ve cebirin rankının iki olması durumunda bu endo-gâprimitif,morï¬zmin otomorï¬zm olduğ u ispatlanmıstır. Ayrıca serbest Lie cebirlerining şühemen hemen primitif ve jenerik elemanları tanımlanarak ornekler verilmis ve bu eleman-şların test elemenlarıyla olan iliskileri incelenmistir.ş şAnahtar Kelimeler: Test elemanları, serbest Lie cebirleri, hemen hemen primitif eleman-âprimitif elemanlar.lar, jenerik elemanlar,I
Serbest LIE cebirlerinin primitif elemanları
sonlu bir X kümesi tarafından üretilen serbest cebir olsun. İlk olarak AAnın herhangi bir a elemanının kısmi türevleri kullanılarak bazı temel bilgiler eldeedilmiştir. Daha sonra admissible kümelerin tanımı verilerek bu kümelerle ilgili bazıteoremler ispatlanmıştır. A nın bir a elemanının rankı, a elemanının A nınotomorfizmleri altındaki görüntüsünde görünen ve X kümesine ait olan elemanlarınminumum sayısı olarak tanımlanır. A nın bir a elemanının rankının, a nın kısmitürevleri tarafından üretilen serbest modülün rankına eşit olduğu ispatlanmıştır. Anın elemanlarının herhangi bir sistemi A nın bir serbest üreteç kümesinin alt kümesiise bu sisteme primitiftir denir. Daha sonra A nın primitif elemanlarını primitifelemanlara dönüştüren bir endomorfizminin otomorfizm olduğu ispatlanmıştır.Anahtar Kelimeler: Serbest cebir, kısmi türevler, admissible kümeler.I
Serbest color Lie süpercebirleri
öz DOKTORA TEZİ SERBEST COLOR LIE SUPERCEBIRLERI ERSİN KIRAL ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman: Naime EKİCİ Yıl: 2002, Sayfa: 81 Jüri: Prof. Dr. Naime EKİCİ Prof. Dr. Melih BORAL Doç. Dr. Adnan TERCAN Doç. Dr. Bilal VATANSEVER Yrd. Doç. Dr. Perihan (DİNÇ) ARTUT Bu çalışmada serbest color Lie süpercebirleri için bulduğumuz test elemanları ve özel olarak rankı iki olan serbest color Lie süpercebirleri için test elemanları verilmiştir. Ayrıca çift Jacobian matristen yararlanarak L nin bir endomorfızminin bir otomorfizm olup olmadığına karar veren bir kriter geliştirdik, n < 9 olmak üzere Ln/L"+1 serbest bölüm cebirlerinin baz ve boyutları hesaplanmıştır. Rankı iki olan serbest color Lie süpercebirlerinin otomorfizmleri genelleştirilmiştir. Son olarak serbest color Lie süpercebirlerinde verilen bir w-homojen elemanın rankını bulmamızı sağlayan bir algoritma geliştirdik. Anahtar Kelimeler : Serbest color Lie süpercebiri, Jacobian matris, Test elemanları.
Serbest Lie cebirlerinin endomorfizmlerinin sabit noktaları ve sabit nokta alt cebirleri
Bu çalışmada serbest metabelyen Lie cebiri L nin bir IA-endomorfizminin aşikar olmayan sabit noktalarının olduğunu gösterdik ve aşikar olmayan sabit noktaları belirlemek için bir algoritma geliştirdik. Ayrıca, serbest metabelyen Lie cebirlerinde bir ?, IA-endomorfizminin sabit nokta alt cebiri Fix? nin sonlu üreteçli olmadığını gösterdik. Sonra, rankı 2 olan L serbest metabelyen Lie cebirinin IA-endomorfizminin belirlenen koşul altında aşikar olmayan sabit noktaya sahip olmadığını gösterdik. Ayrıca, rank(L)?3 olması durumunda bir IA-endomorfizm inşaa edip bu endomorfizmin otomorfizm olmadığını ve aşikar olmayan sabit noktaya sahip olmadığını gösterdik. rank(L)=4 ve rank(L)?5 olması durumlarında IA-otomorfizmleri inşaa ederek bu otomorfizmlerin sıfır dışında sabit noktaya sahip olmadığını gösterdik. Daha sonra iki üreteçli serbest Lie cebirinin ve serbest metabelyen Lie cebirinin bazı otomorfizmlerinin sabit nokta alt cebirlerinin sonsuz ranklı olduğunu göstermek için bir teknik geliştirdik. Bu teknikle, belirli serbest Lie cebirlerinin bazı taşınabilir ve taşınamaz otomorfizmlerinin sabit nokta alt cebirlerinin rankının sonlu olup olmadığını belirledik. Daha sonra serbest nilpotent Lie cebirlerinin bazı otomorfizmlerinin aşikar olmayan sabit noktalarının olması için gerekli koşulu belirledik ve bazı otomorfizmler için sabit nokta alt cebirinin rankının sonlu olduğunu gösterdik.
Genetik cebirler
Reel sayılar kümesi üzerinde ,{a1,a2,a3,?,an} bazına ve her i,j,k için 0 ? ? ijk ? 1 ve ? ijk =1 olmak üzere , aiaj = ? ijk ak çarpım tablosuna sahip olan bir A cebiri ,genetik anlam taşıyan bir cebirdir. Genetikle ilişkili bir A cebirinde, eğer a1,a2,?,an baz elemanlarının bir lineer kombinasyonu olarak ; { x=?1a1+?2a2+??nan| i=1,..,n için ; 0 ? ?i ? 1 ve ?i =1 } ifadesi mevcutsa, A daki x elemanı, bir popülasyonu ya da popülasyon için bir gen çiftini temsil eder. Buradaki ?i ?ler; ai allellini taşıyan x popülasyonunun yüzdesidir. Bu tez çalışmasında, genetik cebirlerin yapısı ve çeşitleri; Mendelian genetik cebirler ve Mendelian olmayan genetik cebirler adı altında iki ayrı bölümde incelenmiştir.
F/R formundaki serbest Lie cebirlerinin test rankı
Bu çalışmada serbest Lie cebirleri için Magnus Gömmesini tanımladık ve Fox türevlerinin bazı özelliklerinden kısaca bahsettik. Daha sonra bazı serbest Lie cebirlerinin test rankını hesapladık. F rankı n>=2 olan bir serbest Lie cebiri ve R, F nin bir ideali olmak üzere F/R' nün R/R' üzerinde birim olan her IA-endomorfizminin, R/R' cebirinin bir elemanı tarafından belirlenen bir iç otomorfizm olduğunu gösterdik. Bu sonuçtan hareketle F/gama_k(F)' Lie cebirinin test rankının n-1 olduğunu gösterdik. Daha sonra R, F nin F/R serbest polinilpotent Lie cebiri olacak şekildeki bir ideali olmak üzere, F/R' Lie cebirinin test rankının n-1 olduğunu ve ayrıca rankın 2 olması durumunda F/[R',F] Lie cebirinin test elemanlarına sahip olduğunu gösterdik. Bunlara ek olarak serbest abelyen çarpımın test rankını hesapladık ve son olarak serbest nilpotent Lie cebirlerinin test rankının 1 ya da 2 olduğunu gösterdik.
Grup halkaları ve önemi
Bu çalışmada, grup halkası konusunu ele aldık. Grup halkasının sıfır bölensiz olduğu özel bir kaç durumu inceledik. K[G] grup halkasından K cismine bir tr dönüşümü tanımlayarak, e? K[G] idempotent eleman olmak üzere tre nin K cisminin asal alt cismi tarfından içerildiğini gösterdik. K[G] grup halkasının hangi şartlar altında asal olduğunu söyledik. Her G grubu için C kompleks sayılar cismi olmak üzere C[G] nin yarı basit olduğunu söyledik. G sonlu grup olmak üzere R[G] grup halkasının homomorfizmalarına değindik. Grup halkasında ve serbest grup halkasında türev tanımını vererek Fox türevinin uygulamasında kullanacağımız bir teorem ve bu teoremin uygulaması amacı ile bir kaç örnek verdik. Sonlu üreteçli, değişmeli G grubu için Z(G) integral grup halkasının birim grubunu ve Z(G) nin ? otomorfizmasını hesapladık. Ayrıca grup halkasında ortaya konan hipotezleri verdik
Serbest Lie cebirlerinin otomorfizm gruplarının üreteçleri ve sunumları
K karakteristiği sıfır olan bir cisim ve n,c de pozitif tamsayılar olmak üzere Fn, K üzerinde rankı n olan serbest Lie cebiri, Ln,c, K üzerinde rankı n olan c-inci sınıftan serbest nilpotent Lie cebiri ve Mn,c de K üzerinde rankı n olan c-inci sınıftan serbest, metabelyen, nilpotent Lie cebiri olsun.Bu tezde 5'ten küçük c tamsayıları için Aut(L2,c) nin bir üreteç kümesini bulduk ve bu üreteçleri kullanarak bağıntılarını hesaplayarak bir sunumunu verdik.Aut(M2,5) in bir sunumunu bularak aynı teknikle Aut(M2,c) nin bir sunumunu belirledik.Son olarak, Aut(F2) için bulduğumuz üreteç kümesi ve tanımlayıcı bağıntılarından yararlanarak Fn serbest Lie cebirinin otomorfizm grubunun bir üreteç kümesini ve tanımlayıcı bağıntılarını elde ettik.
Serbest Lie cebirlerinin dış otomorfizmleri
Bu çalışmada karakteristiği 0 olan bir K cismi üzerindeki üreteçli serbest Lie cebirinin, serbest metabelyen Lie cebirinin, serbest metabelyen ve -yinci sınıftan nilpotent Lie cebirinin ve izi sıfır olan iki jenerik matrisle ilişkilendirilmiş Lie cebirinin otomorfizmler grubunu çalıştık.
Lie cebirlerinin temsilleri
Lie cebirlerinin temsilleri teorisi cebirde en çok çalışılan alanlardan birisidir. Basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin temsilleri bu cebirlerin yapılarının anlaşılmasında önemli rol oynarlar. Bu tezde basit ve yarıbasit Lie cebirlerinin sonlu boyutlu temsilleri incelenmiştir. Çalışmada sl2( ) , sl3( ) , sl4( ) ve genel durum olan sln( ) nin temsilleri üzerinde yoğunlaşılmıştır.
Serbest Lie cebirlerinin bazları
Bu çalışmanın amacı Chibrikov'un (2006), serbest Lie cebirlerinin sağ normlu bazları ile ilgili çalışmasını inceleyerek bazların yapısını araştırmaktır. Bu çalışmada bir serbest Lie cebirinin sağ normlu kelimelerden oluşan bir bazı incelenmiş ve 1?p?t için a_(i_p ) ler serbest üreteçler olmak üzere [a_(i_1 )[a_(i_2 )[?[a_(i_(t-1) ) a_(i_t )]?]]] formundaki tüm kelimelerin kümesinin bir baz olduğu gösterilmiştir.
Paraserbest lie cebirleri
P karakteristiği sıfır olan bir k halkası üzerinde tanımlı bir Lie cebiri ve X boştan farklı bir küme olsun. Eğer P rezidülü nilpotent ve X tarafından üretilen bir serbest Lie cebiri ile aynı alt merkezi diziye sahip ise P ye X üzerinde paraserbest Lie cebiri denir. X kümesinin kardinalitesine P nin rankı denir.Bu tezde paraserbest Lie cebirlerinin alt cebirlerini ve ideallerini inceledik. Bununla birlikte iki paraserbest Lie cebirin direkt toplamının yine paraserbest olduğunu gösterdik. Ayrıca bir paraserbest Lie cebirinin serbest çarpanlarının da paraserbest olduğunu ispatladık. Cebirlerin direkt limitini kullanarak iki üreteçli serbest Lie cebirlerin birleşiminin 2 ranklı ve paraserbest olduğunu gösterdik. Sonlu r ranklı paraserbest Lie cebirlerin artan bir serisini ele aldığımızda, bu serinin terimlerinin birleşimlerinin paraserbest olduğunu fakat serbest olmadığını ispatladık ve bu ispatı kullanarak farklı sonuçlar elde ettik. Bunlara ek olarak serbest olmayan paraserbest Lie cebiri örnekleri inceledik ve serbest olan bir paraserbest Lie cebiri örneği verdik.
Serbest metabelyen nilpotent lie cebirlerinin sunumları
F, rankı n olan serbest bir Lie cebiri olsun. m,n≥2 için, M_(n,m)≅F⁄(γ_m (F)+F^'' ) serbest metabelyen nilpotent Lie cebirinin sunumlarını araştırdık. m=2,3,4 için, H_m, m uzunluklu baz monomiallerinin kümesi olmak üzere, 〖 M〗_(n,m) cebirinin, bağıntılar kümesi H_m olan bir sunuma sahip olduğunu gösterdik. Aynı sonucu M_2,5 için elde ettik. m>5 ve n=2 için, M_(2,m)'nin bir sunumunu bulduk. Daha sonra, n≥2 ve m≥5 için, M_(n,m) 'nin bir sunumunu yazarak, bu sunumun bağıntılarını azaltıp daha iyi bir sunum haline getirdik. Son olarak, M_(n,m)'nin daha önce verilen sunumunu iyileştirerek M_(n,5) and M_3,7 için daha da iyi bir sunum elde ettik.
Subalgebras of free Lie algebras
It's a well-known that the subalgebras of free Lie algebras which are defined on a field are also free. In this study it is analyzed when the subalgebras are free in the situations which the free Lie algebras are not defined on a field and it is showed in which form the components of the generators are. Also the subsets which produce a lower class free nilpotent and free polynilpotent Lie algebra of free nilpotent and free polynilpotent Lie algebras are analyzed. Key Words: Lie algebras, free Lie algebras, subalgebras of free Lie algebras
Serbest Lie cebirlerinin çarpımları ve rezidülü-P cebirleri
Bu tezde Lie cebirlerinin çeşitli çarpımları, rezidülü-P Lie cebirleri ve X-by-Y Lie cebirleri araştırılmış ve bazı çarpım Lie cebirlerinin bazları için örnekler verilmiştir.