Prof. Dr. Necdet Bildik danışmanlığındaki tezler
13 tez · Manisa Celal Bayar University
Farklı tipten diferansiyel denklemlerin yarı analitik çözümleri için optimal perturbasyon iterasyon yöntemi
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. Bu bölümde, lineer olmayan diferansiyel denklemlerin bilim dünyasındaki yeri ve öneminden bahsedilmiştir. Ayrıca bu denklemleri çözmek için önerilen metotlar hakkında genel bilgiler ile bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde, perturbasyon iterasyon metodu yeniden ele alınarak optimal perturbasyon iterasyon algoritmalarının inşası için temel hazırlanmıştır. Üçüncü bölümde, optimal perturbasyon iterasyon metodu tanıtılarak adi ve kısmi diferansiyel denklemler için yeni algoritmalar oluşturulmuştur. Dördüncü bölümde, literatürde sıklıkla karşılaşılan diferansiyel denklemler bir önceki bölümde elde edilen algoritmalarla çözülerek bu denklemlere yeni yaklaşımlar bulunmuştur. Bulunan bu çözümler diğer metotlar ile karşılaştırılarak, optimal perturbasyon iterasyon metodunun etkinliği ve güvenilirliği test edilmiştir. Beşinci bölümde ise yeni oluşturulan optimal perturbasyon iterasyon metodunun diğer metotlara nazaran üstün ve eksik yanları tartışılarak yeni keşfedilebilecek olan yöntemler için bazı öneriler verilmiştir.
Kuvvetli genelleştirilmiş türev tanımı ile birinci mertebeden lineer ve lineer olmayan fuzzy diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde giriş kısmına yer ayrılmıştır. İkinci bölümde gerekli tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde fuzzy sayı değerli fonksiyonlar için tanımlanan Hukuhara türev ve kuvvetli genelleştirilmiş türev tanımları yapılmıştır. Dördüncü bölümde bu türev tanımları uygulanarak aynı fuzzy diferansiyel denklemlerden elde edilen farklı denklem sistemleri ve çözümleri örneklendirilerek verilmiştir.Beşinci bölümde birinci mertebeden lineer ve lineer olmayan fuzzy diferansiyel denklemler için örnekler verilmiş, her biri farklı fuzzy sayı başlangıç şartı altında nümerik metotlar kullanılarak çözümler incelenmiş, elde edilen sonuçlar tablo ve grafiklerle gösterilmiştir. Altıncı bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir.
Jimbo-Miwa denklemine sayısal yaklaşımlar
Bu tez çalışmasında, lineer olmayan (3+1) boyutlu dalgaları tanımlamak için kullanılan, Jimbo-Miwa denklemine üç yöntem uygulanarak en iyi sayısal yaklaşım metotları araştırılmıştır. Bu metotlardan ilki Lagrange çarpan metodudur. Lagrange çarpan metodu ile lineer olmayan Jimbo-Miwa denklemi lineer bir probleme dönüştürülerek yaklaşık ve analitik çözümler elde edilmiştir. İkinci yöntem parametre genişletme yöntemidir. Bu yöntem lineer olmayan diferansiyel denklemleri analiz etmek için kuvvet serilerindeki bağımlı değişkenlerin küçük bir parametre ile genişletilmesi tanımlanarak art arda çözülebilen lineer diferansiyel denklemlerin toplanmasıyla oluşturulmuştur. Son olarak uygulanan Legendre dalgacık metodudur. Bu metot ile başlangıç koşulları altında ele alınan diferansiyel denklem, denklem sistemine dönüştürülmüş ve bu denklem sisteminden elde edilen katsayılar ile fonksiyon yaklaşımı yapılarak sayısal çözüm bulunmuştur. Bunun yanında Jimbo-Miwa denklemine uygulanan metotların sonuçları diğer metotlarla kıyaslanarak en iyi sayısal çözümü veren metot tartışılmıştır.
Birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin lie simetrileri üzerine
Bu tez çalışması üç bölümden oluşmuştur.Bu çalışmanın ilk bölümünde birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin sahip olduğu Lie simetri dönüşümlerinin bulunuşu ve bulunan bu simetri dönüşümlerinin kullanılması ile adi diferansiyel denklemlerin çözülmesi üzerinde durulmuştur. İkinci bölümde ise, birinci mertebeden denklemlerde kullanılan çözüm yolundan farklı olarak ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemler için simetrilerin sistematik bulunuşu için bir yaklaşım verilmiştir. Ayrıca genel çözümün elde edilmesinde kullanılacak olan bu simetrilerin Lie cebirinden kısaca bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde ise birinci bölümde değinilen, simetrilerinin bulunması aşamasında sistematik bir yola sahip olmayan birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerdeki bu eksikliği gidermek için, kendisinin bir kez daha türevlerinin alınmasıyla oluşturulan ikinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerden ve bölüm içerisinde ifade edilen karakteristikler vasıtasıyla elde edilen lineer birinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerden faydalanılmıştır.
Farklı tipteki adi diferensiyel denklem sistemlerinin Sumudu ve Elzaki dönüşümleri ile Adomian ayrışım ve Taylor sıralama metotları kullanılarak çözümlerinin karşılaştırılması
Bu tezde başlangıç koşulları ile verilmiş lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklem sistemlerinin birer integral dönüşüm metodu olan Sumudu ve Elzaki dönüşüm metodu ile Taylor sıralama ve Adomian ayrışım metotlarıyla çözümleri üzerinde durulmuştur. Birinci bölümde mühendislik alanında oldukça yaygın olarak kullanılan Sumudu integral dönüşüm metodu tanıtılarak sabit katsayılı adi diferansiyel denklem sistemlerine uygulanmıştır. Daha sonra yine son zamanlarda ortaya çıkan ve Sumudu döşümü ile benzerlik gösteren Elzaki integral dönüşüm metodunun özellikleri verilerek birinci ve ikinci mertebeden lineer diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü bu metot yardımıyla analitik olarak bulunmuştur. İkinci bölümde lineer ve lineer olmayan değişken katsayılı adi diferansiyel denklem sistemlerinin yaklaşık ve tam çözümleri, bu diferansiyel denklem sistemlerindeki fonksiyonların Taylor seri açılımlarından faydalanılarak Taylor sırama metodu yardımıyla elde edilmiştir. Üçüncü bölümde farklı mertebeden lineer ve lineer olmayan adi diferansiyel denklem ve denklem sistemleri birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemine dönüştürülerek Adomian ayrışım metodu ile nümerik çözümler kolay bir şekilde bulunmuştur. Lineer olmayan terim içeren sistemlerde Adomian ayrışım metodu ile çözümler aranırken her bir lineer olmayan terim Adomian polinomları sayesinde ayrıştırılarak işlemlerin daha kolay bir şekilde yapılabileceği ifade edilmiştir. Dördüncü bölümde yaklaşık olarak elde edilen çözümlerle Taylor sıralama ve Adomian ayrışım metotları için tablolar oluşturulup bu çözüm yöntemlerinden elde edilen sonuçların tam çözümlerle kıyaslaması yapılmıştır.
Sıralama yöntemi ile yüksek mertebede lineer karmaşık diferansiyel denklemlerin euler ve genocchi operasyonel matrisine göre çözümü
Bu tez, başlangıç koşulları altında dikdörtgensel bir bölgede yüksek mertebeden lineer karmaşık diferansiyel denklemlerin çözümünü, Euler ve Genocchi polinomları kullanılarak oluşturulan matrisler yardımıyla bulmaya dayalıdır. Bu yaklaşımda, Euler ve Genocchi polinomlarının ve türevlerinin matris formları oluşturulmuştur. Daha sonra bu matris formlarının içine sıralama noktalarının yerleştirilmesiyle temel matris denklemi ortaya konmuştur. Bu matris denklemi, lineer denklem sistemine karşılık gelmektedir. Bu lineer denklem sistemi çözülerek, bilinmeyen Euler katsayıları ve bilinmeyen Genocchi katsayıları belirlenmiştir. Daha sonra ise yaklaşık çözüm elde edilmiştir. Ayrıca, Euler polinomlarının kullanılmasına dayalı bir hata analizi, bazı koşullar altında yapılmıştır. Yöntemin etkinliğini göstermek için bunu destekleyen bazı sayısal örnekler verilmiştir. Anahtar Kelimeler: Karmaşık Diferansiyel Denklemler, Sıralama Metodu, Euler Polinomu, Genocchi Polinomu
dx/dt=y+z, dy/dt=ax+z, dz/dt=bz+x(y-c) sisteminde hopf bifurkasyonu üzerine
ÖZETBifurkasyon Teorisinin yararlı konularından birisi olan, 1892 yıllarında Poincaré'inçalışmalarından kökenini alan Hopf bifurkasyonu olarak adlandırılan bu konu üç boyutluuzaydaki adi diferansiyel denklem sistemlerinin ve dinamik sistemlerin geniş bir yelpazesineuygulamak için genişletilmiştir. Hopf bifurkasyon teorisinin iki ve üç boyutlu yapısını temel alanbu tez çalışması üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, Bifurkasyon Analizi teorisi ile ilgili teoremler ve kararlılık analizinintemelini teşkil eden Bifurkasyon, Kararlı Durağan Çözüm, Kararsız Durağan Çözüm, DissipativeSistem, Hopf bifurkasyonu tanımları ifade edilmiştir.İkinci bölümde iki boyutlu diferansiyel denklem sisteminde halihazırda literatürdeincelenen Hopf bifurkasyonu ele alınmış olup burada ise sabit nokta civarında iki boyutlu birsistemin davranışları şekiller ile gösterilerek bulunmaya çalışılmıştır.Üçüncü bölümde Hopf bifurkasyonunun meydana geldiği çeşitli kaotik davranışlarasahip olan sistemlerin içerisinden seçilen özel bir sistem üzerinde çalışılmıştır. Bunun içinserbestlik derecesi 3 olan orijinal olarak ortaya konan bir sistem tanımlanmıştır. Buradaöncelikle, Hopf bifurkasyonunun meydana gelmesi için kendi tanım kümesi içerisinde bulunanbir sistem parametresi kendi ekseni boyunca değiştirilmiş, bunun sunucunda sistemindavranışını gösteren kritik nokta civarındaki bazı şekiller çizilmeye çalışılmıştır.Buna ilaveten, iki sistem parametresi değiştirilerek ve diğer parametre ise sabit alınarakgöz önüne alınan sistem incelenmeye devam edilmiştir. Son olarak ise üç boyutlu sistemin ikiboyutlu bir sisteme indirgenmesi için gerekli dönüşümler bulunmuştur.vTeorik olarak yapılan bu çalışmanın ardından tercih edilen bilgisayar programınınkullanışlı olduğu kadar çok yararlı, hassaslık derecesinin istenilen doğruluğa sahip olması vedaha çok zaman kazandırması dolayısıyla, yapılan işlemler ve sonuçları hatanın sonsuz küçükdeğerleri için hesaplanmıştır. Yazılan orijinal algoritmaların iki veya üç boyutlu sistemlerin Hopfbifurkasyonuna ilgi duyan ve bu konuda inceleme yapacak olan araştırmacılara da ışık tutacağıkaçınılmaz bir gerçektir.vi
Diferansiyel denklemlerin B-spline metodu ile çözümleri hakkında
Birinci bölümde, Sonlu Farklar Metodu ve Collocation Metodu hakkında kısaca bilgi verildi. Spline fonksiyonlarının özellikleri ve tanımı verilerek, kübik spline ve kübik B-spline interpolasyonu oluşturuldu.İkinci bölümde, kübik B-spline Collocation Metodu ile bir boyutlu lineer ısı denkleminin çözümü yapıldı. Isı denklemi için verilen başlangıç ve sınır şartları kullanılarak metod test edildi.Üçüncü bölümde başlangıç ve sınır şartları verilen yanal ısı kaybı denkleminin Collocation Metodu ile çözümü, metotta yaklaşım fonksiyonları olarak kübik B-spline fonksiyonları kullanılarak ifade edildi.İkinci ve üçüncü bölümde, sayısal çözümle elde edilen veriler tabloda gösterildi ve metodun kararlılığı Fourier kararlılık yöntemi ile incelendi. Son olarak sayısal çözümlemede kullanılan Fortran Programı verildi.
Fuzzy diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri hakkında
Bu tezde ilk olarak Olasılık Teorisi , Fuzzy Farkları, Fuzzy Fonksiyonları, Aralık Aritmetiği,Genişleme Prensibi ,Fuzzy Aritmetiği , Ayrık Fuzzy Kümeleri , Eşitsizlikler , Alfa Kesimleri,Fuzzy Kavramı gibi genel terimler hakkında bilgi verilir.Bu çalışmanın buluşlarında Fuzzy Lineer Denklem ,Fuzzy Kuadratic Denklem ve Fuzzy LineerDenklem sistem uygulamaları ispatlandı. Ayrıca, bu çalışma (1)Klasik Çözüm (2) GenişlemePrensibi Çözümü (3) -kesimi ve aralık aritmetik çözümü olmak üzere fuzzy denklemleri için 3çözüm kavramı takdim eder. Buna ek olarak elementer fuzzy kısmi diferansiyel denklemlerineait iki klasik ve genişleme prensibi çözümleri göz önüne alındı . Denklemin hem homojenolmayan kısmı hemde sınır şartları fuzileştirildi.Ayrıca kısmi diferansiyel operatördeki bütün sabitler pozitif ise klasik çözümün genişlemeprensibi çözümünden daha genel olduğunu gösterdik.
Sabit nokta teoremlerinin diferensiyel denklemlere uygulanması
Bu tezde, Başlangıç koşullarına sahip adi diferansiyel denklemleri çözmek için Picard Ardışık İterasyon Metodu kullanıldı ve literatürde yeniden tanımlanan Modifiyeli Krasnoselskii İterasyonu, Modifiyeli İshakawa İterasyonu, Yeniden Modifiyeli İshakawa İterasyonu, Ekstra Modifiyeli İshakawa İterasyonu, Yeniden Modifiyeli Krasnoselskii İterasyonu metotları verildi. Buna ek olarak, sabit nokta için diferansiyel denklemlerin çözümü kendi içinde uyum sağlayan değişken adımlar uygulanarak ilerletildiği yeni iterasyon metotlarının doğruluğu gösterildi.Birinci bölümde, temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.İkinci bölümde, birinci mertebeden adi diferansiyel denklemlerin Euler, Runga-Kutta, Dördüncü Mertebe Runga-Kutta ve Adomian Metodu gibi yaklaşık çözüm teknikleri sunulmuştur ve aynı zamanda Picard, Mann, Ishakawa, Krasnoselskii Modifiyeli Krasnoselskii İterasyonu, Modifiyeli İshakawa İterasyonu, Yeniden Modifiyeli İshakawa İterasyonu, Ekstra Modifiyeli İshakawa İterasyonu, Yeniden Modifiyeli Krasnoselskii İterasyonu gibi sabit nokta dönüşüm iterasyonlarının tanımları verilmiştir.Üçüncü bölümde, yukarıda adı geçen metotlar farklı örneklere uygulanıp tablo ve grafikleri verilmiştir.Son bölümde, yeni metotlar kendi aralarında karşılaştırılmış, en iyi metodun hangisi olduğu vurgulanmış ve sabit nokta konusundaki ileri çalışmaların bu yaklaşım metotları ile detaylı bir şekilde ele alarak incelenmesi önerilmiştir.
Gecikmeli diferansiyel denklemlerin farklı tipte nümerik çözümleri
Üç bölümden oluşan bu çalışmada genel olarak gecikmeli diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri üzerinde durulmuştur.Birinci bölümde gecikmeli diferansiyel denklemler tanıtılmaya çalışılmış ve gecikmeli diferansiyel denklemlerin modellenmesine, kullanım alanlarına yer verilmiştir.İkinci bölümde ise gecikmeli diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü için bazı tanım ve teoremler verilerek Lambert Fonksiyonu yardımıyla çözüm yapılmıştır.Üçüncü bölümde Adomian ve Diferansiyel Transform Metodu kullanılarak, bu metotlar yardımıyla gecikmeli diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümleri bulunmuştur. Ayrıca Euler Metodu kullanılarak, Açık Euler Metodu ile de gecikmeli diferansiyel denklemlerin kararlılık analizi yapılmıştır.
Homotopi analiz metodu' nun farklı tipte diferansiyel denklemlere uygulanışı ve adomian decomposıtıon metodu, dıferansıyel transform metodu ile karşılaştırılması
Bu çalışmanın amacı; ?Homotopi Analiz Metodu?, ?Differential Transformed Metot (DTM)? ve ?Adomian Decomposition Metot (ADM)? ile bazı lineer ve nonlineer problemlerin çözümlerini elde etmek ve çözümlerin tam çözümlerle karşılaştırmasını yapmaktır. Bu çalışmada homotopi kavramı kısaca verilmiş, Homotopi Analiz metodu tanıtılmış, bu metotla ilgili bazı teoremler yanında, DTM ve ADM hakkında teorik bilgilere de yer verilmiştir. Daha sonra ise örnek olarak lineer olmayan bazı denklemler ele alınmış, bu denklemlerin Homotopi Analiz metodu, DTM ve ADM ile çözümleri yapılarak bulunan çözümlerin tam çözüme yakınsaklıkları hakkında bilgi verilmiştir.
Kesirli türevlere sahip sürekli ortamların dinamik analizi
Bu tez çalışması yedi bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, titreşim hareketinin tarihsel gelişimi ele alınmış, bu hareketinin tanımı verilmiştir. Ayrıca, serbest ve zorlanmış titreşimler, sönümlü ve sönümsüz titreşimler, lineer ve lineer olmayan titreşimler ile deterministik ve rasgele titreşimler ifade edilmiştir. Buna ek olarak, titreşim hareketinin modellenmesi, rezonans ve viskoelsatisite tanımlarına yer verilmişir. Kesirli türevlere ilişkin olarak, Riemann-Liouville ve Caputo anlamındaki türevler tanımlanmıştır. Son olarak ise pertürbasyon metodu verilmiştir.İkinci bölümde, sürekli ortamların lineer titreşimlerini temsil eden ve birçok uygulamayı ihtiva eden genel bir model ortaya koyulmuş, denklem keyfi lineer operatörlerle ele alınmıştır. Buna ilaveten, çok zaman ölçekli metot kullanılarak, analitik çözümler elde edilmiştir.Üçüncü bölümde verilen çözüm algoritması üç ayrı lineer titreşim problemine uygulanmıştır. Bu problemlerden ilk model, harmonik eksenel yüklü viskoelastik malzemeli bir kiriş, ikincisi Kelvin-voight viscoelastik modellenmiş zeminin üzerine oturan elastik kiriş ve en son model ise eksenel zorlamalı viscoelastik bir kiriş problemidir. Burada, sistemin deplasmanı değişik kiriş parametreleri için bulunmuş, parametrik ve temel rezonans durumları da ayrıca incelenmiştir.Dördüncü bölümde, ilk durumdan elde edilen genel çözümünün yakınsaklığına bakılmıştır. Kesirli türev mertebesinin üç farklı durumu göz önüne alınarak yakınsaklık incelenmiştir.Beşinci bölümde, sürekli ortamlarda birçok uygulamayı kapsayan homojen olmayan genel bir model ele alınmış ve çok zaman ölçekli metot ile analitik çözümler elde edilmiştir. Bunun yanında, parametrik ve zorlamalı titreşimler de analiz edilmiştir.Altıncı bölümde, homojen olmayan genel model için bulunan çözüm algoritması üç ayrı probleme uygulanmıştır. İlk model, harmonik dış zorlamalı kirişin boyuna titreşimini, ikinci model ise harmonik yüklemeli kirişin boyuna titreşimini veren problemdir. Üçüncü uygulama olarak ele alınan model, viskoelastik eksenel yük taşıyan zemine oturmuş bir kiriş problemi olarak göz önüne alınmıştır.Son bölüm olan yedinci bölümde ise, yapılan çalışmaya ait sonuçlar ve öneriler yer almaktadır.