Theses supervised by Doç. Dr. Gürsel Yeşilot
12 theses · Yıldız Technical University
Kuantum uzaylar üzerinde Hopf cebirleri ve diferansiyel hesap
Son yıllarda Lie grup teorisi ve diferansiyel geometrinin değişmeli olmayan genellemelerinde önemli ölçüde başarılar elde edildi ve matematiksel fiziğin birçok önemli yeni dalları, değişmeli olmayan yapıların en somut örnekleri olan kuantum uzaylar ve kuantum grupların çatısı altında şekillendi. Kuantum grup kavramı bir Lie grubuna karşılık gelen Hopf cebirinin deformasyonu olarak bilinmektedir. Diğer taraftan bir cebirin Hopf cebirinden faydalanmak o cebir üzerinde diferansiyel hesap oluşturmanın en etkili yöntemlerinden biridir.Biz bu çalışmada önce polinomların değişmeli cebirleri için verilen Hopf cebirleri yardımıyla deformasyonlu cebirlerin nasıl elde edilebileceğini tartıştık. Elde edilen bulgular yardımıyla Hopf cebirine sahip iki parametreli, homojen değiştirme bağıntılı bir kuantum uzay oluşturduk. Bu kuantum uzayın Hopf cebirini kullanarak bir diferansiyel hesap elde edildi. Bu diferansiyel hesaba karşılık gelen bazı deformasyonlu türev operatörleri ve ilgili Weyl cebiri verildi. Ayrıca bu kuantum uzay üzerinde Cartan-Maurer formlar ve bu formlara karşılık gelen vektör alanları çalışıldı.Bu tez çalışmasında ayrıca, homojen değiştirme bağıntılı bir kuantum uzaydan homojen olmayan değiştirme bağıntılı yeni bir deformasyonlu uzayın nasıl elde edilebileceği çalışıldı. Yapılan değerlendirmeler ışığında elde ettiğimiz iki parametreli, homojen değiştirme bağıntılı kuantum uzaydan homojen olmayan değiştirme bağıntılı yeni bir uzay elde edildi ve elde edilen bu uzay üzerinde diferansiyel hesap ve ilgili sonuçlar verildi.Son olarak da iki parametreli, homojen değiştirme bağıntılı kuantum uzay için bir dual Hopf cebiri elde edildi.Anahtar Kelimeler: Kuantum uzay, Kuantum grup, Hopf cebiri, Diferansiyel Hesap, Weyl cebiri, Dual Hopf cebiri.
Çarpımsal modüller
Çarpımsal modüller, 1974 yılında Mehdi tarafından tanımlanan bir yapıdır. Ancak 1981 yılında, Barnard tarafından farklı bir yol ile tanımlanmıştır. Bundan sonraki çalışmalarda bu tanım dikkate alınmıştır. Bu çalışmada değişmeli halkalarda çarpımsal modülleri incelemek için öncelikle halka ve modül teorisi anlatılmıştır. Sonraki bölümde ilk olarak değişmeli bir halka üzerinde çarpımsal modül tanımı ve genel özellikleri verilmiştir. Ayrıca bir modülün çarpımsal olabilmesi için bazı gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Daha sonra maximal ve asal idealler için verilen bazı sonuçların çarpımsal modüllerin asal alt modülleri ve maximal alt modülleri için de sağlanıp sağlanmadığı araştırılmış ve özel olarak çarpımsal modüllerin sonlu üretilmiş olma durumları incelenmiştir. Son olarak çarpımsal modüllerin alt modüllerinin radikalleri karakterize edilerek bu kısım tamamlanmıştır.
Değişmeli olmayan halkalar üzerindeki çarpımsal modüller
Bu tezin temel konusu modül teorisi ve modül teorisi içersindeki çarpımsal modül kavramlarını ve özelliklerini değişmeli olmayan halkalar üzerinde tanımlamak ve inşa edilmesi için gerekli özellikleri sunmaktır. İlk olarak Bölüm 2'de gerekli temel kavramları hatırlatmak adına ön bilgiler verilmiştir. Böylece Halkalar Teorisine giriş ve halkalar üzerine kurulu olan modüller için bir alt yapı oluşturulmuştur. Üçüncü bölümde halkaların genel yapısı, değişmeli olma ve olmama durumları ve bu durumda sağlanan özelliklerden bahsedilmiştir. Bölüm 4'te ise modül tanımı ve temel özellikleri verilmiştir.Böylelikle özel bir modül olan çarpımsal modüllerin inşası ve incelenmesi için gerekli tüm bilgi ve özellikler sunulmuştur. Bölüm 5'te ilk olarak değişmeli olmayan halka üzerinde kurulu çarpımsal modülün genel özellikleri ve tanımları verilmiştir. Bu tanım ve özellikleri destekleyen örnekler sunulmuştur. Daha sonra çarpımsal modüllerin asli, düzgün, asal, dağılmalı olma gibi özel halleri incelenmiştir. Sonraki kısımlarda çarpımsal modüllerin sonlu üretilmişlik durumları, maksimal alt modüllerinin yapısı ele alınmıştır. Son olarak ise değişmeli olmayan halkaların ideallerinin çarpımı değişmeli olduğu durumda çarpımsal modüllerin nasıl davranışlar izlediği incelenmiş ve sunulmuştur.
Delta asalımsı idealler ve asalımsı alt modüller
Bu çalışmada; öncelikle halka ve modül teorisi kısaca anlatılmıştır. sonraki bölümde değişmeli halkalarda delta asalımsı idealleri incelemek için öncelikle ideal genişlemesi ve buradan yola çıkarak delta asalım sı idealler tanımlanmıştır. bu tanımlar örneklerle açıklandıktan sonra genişlemelere ait bazı ek özellikler verilmiştir. Sonrasında asalımsı alt modüller incelenmiştir. Son olarak asalımsı ayrışım ve asalımsı ayrışımın modülün değişik kuvvetlerindeki durumu incelenmiştir.
Değişmeli olmayan halkalar üzerindeki çarpımsal modüller
Bu tezin temel konusu modül teorisi ve modül teorisi içersindeki çarpımsal modül kavramlarını ve özelliklerini değişmeli olmayan halkalar üzerinde tanımlamak ve inşa edilmesi için gerekli özellikleri sunmaktır. İlk olarak Bölüm 2'de gerekli temel kavramları hatırlatmak adına ön bilgiler verilmiştir. Böylece Halkalar Teorisine giriş ve halkalar üzerine kurulu olan modüller için bir alt yapı oluşturulmuştur. Üçüncü bölümde halkaların genel yapısı, değişmeli olma ve olmama durumları ve bu durumda sağlanan özelliklerden bahsedilmiştir. Bölüm 4'te ise modül tanımı ve temel özellikleri verilmiştir.Böylelikle özel bir modül olan çarpımsal modüllerin inşası ve incelenmesi için gerekli tüm bilgi ve özellikler sunulmuştur. Bölüm 5'te ilk olarak değişmeli olmayan halka üzerinde kurulu çarpımsal modülün genel özellikleri ve tanımları verilmiştir. Bu tanım ve özellikleri destekleyen örnekler sunulmuştur. Daha sonra çarpımsal modüllerin asli, düzgün, asal, dağılmalı olma gibi özel halleri incelenmiştir. Sonraki kısımlarda çarpımsal modüllerin sonlu üretilmişlik durumları, maksimal alt modüllerinin yapısı ele alınmıştır. Son olarak ise değişmeli olmayan halkaların ideallerinin çarpımı değişmeli olduğu durumda çarpımsal modüllerin nasıl davranışlar izlediği incelenmiş ve sunulmuştur.
Çarpımsal modüller
Çarpımsal modüller, 1974 yılında Mehdi tarafından tanımlanan bir yapıdır. Ancak 1981 yılında, Barnard tarafından farklı bir yol ile tanımlanmıştır. Bundan sonraki çalışmalarda bu tanım dikkate alınmıştır. Bu çalışmada değişmeli halkalarda çarpımsal modülleri incelemek için öncelikle halka ve modül teorisi anlatılmıştır. Sonraki bölümde ilk olarak değişmeli bir halka üzerinde çarpımsal modül tanımı ve genel özellikleri verilmiştir. Ayrıca bir modülün çarpımsal olabilmesi için bazı gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Daha sonra maximal ve asal idealler için verilen bazı sonuçların çarpımsal modüllerin asal alt modülleri ve maximal alt modülleri için de sağlanıp sağlanmadığı araştırılmış ve özel olarak çarpımsal modüllerin sonlu üretilmiş olma durumları incelenmiştir. Son olarak çarpımsal modüllerin alt modüllerinin radikalleri karakterize edilerek bu kısım tamamlanmıştır.
Alt modüllerin yarı radikalleri
Bu çalışmada değişmeli halkalarda asal ve yarı asal alt modülleri incelemek için öncelikle halka ve modüllerle ilgili genel bilgiler verilmiştir. 3. bölümde değişmeli bir halka üzerindeki asal alt modül tanımı ve genel özellikleri verilmiştir. Daha sonra asal alt modüllerin noetherian modüllerle, serbest modüllerle ve asalımsı alt modüllerle olan ilişkileri araştırılmıştır. Son olarak yarı asal alt modüller araştırılmış ve yarı asal alt modüllerin genel özellikleri incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Halka teorisi, modül teorisi, asal alt modül, asalımsı alt modül, yarı asal alt modül, radikal, yarı radikal
Rank metriği ve kodlar
Rank metriği, 1985 yılında E. M. Gabidulin tarafından tanımlanan ve hata ? düzeltmedekullanılan yeni bir metriktir. Hata ? düzeltme kapasitesi, kodlar arasındaki uzaklığabağlı olduğu için uygun bir metrik seçmek oldukça önemlidir. Cebirsel kodlamateorisinin büyük kısmı Hamming metriği ile ilgilidir. Ancak bu metrik her zaman kanalkarakteristiği ile uyumlu olmayabiliyor. Özellikle de kod sembolleri büyük boyutluGalois cisimlerinin elemanları ise bu uyumsuzluk daha da çok beliriyor. Hamminguzaklığı kod alfabesinin çeşitli sinyalleri arasında lineer bağımlılığı fark edemediğindençapraz ? hata (criss ? cross) oluşumuna uygunsuz olmaktadır. Rank metrik birçok hataçeşidini etkili bir şekilde düzeltme kapasitesinden dolayı ideal bir metriktir.Bu çalışmada rank metriğinin incelenmesi için öncelikle sonlu cisimler anlatılmıştır.Sonraki kısımda kodlama teorisi ayrıntılı bir şekilde anlatılmıştır. Son bölümde ise rank metriği anlatılmış ve bu metrik üzerindeki kodlar kısaca incelenmiştir.
Rank metriği ve kodlar
Rank metriği, 1985 yılında E. M. Gabidulin tarafından tanımlanan ve hata ? düzeltmedekullanılan yeni bir metriktir. Hata ? düzeltme kapasitesi, kodlar arasındaki uzaklığabağlı olduğu için uygun bir metrik seçmek oldukça önemlidir. Cebirsel kodlamateorisinin büyük kısmı Hamming metriği ile ilgilidir. Ancak bu metrik her zaman kanalkarakteristiği ile uyumlu olmayabiliyor. Özellikle de kod sembolleri büyük boyutluGalois cisimlerinin elemanları ise bu uyumsuzluk daha da çok beliriyor. Hamminguzaklığı kod alfabesinin çeşitli sinyalleri arasında lineer bağımlılığı fark edemediğindençapraz ? hata (criss ? cross) oluşumuna uygunsuz olmaktadır. Rank metrik birçok hataçeşidini etkili bir şekilde düzeltme kapasitesinden dolayı ideal bir metriktir.Bu çalışmada rank metriğinin incelenmesi için öncelikle sonlu cisimler anlatılmıştır.Sonraki kısımda kodlama teorisi ayrıntılı bir şekilde anlatılmıştır. Son bölümde ise rank metriği anlatılmış ve bu metrik üzerindeki kodlar kısaca incelenmiştir.
Rank metriği ve kodlar
Rank metriği, 1985 yılında E. M. Gabidulin tarafından tanımlanan ve hata ? düzeltmedekullanılan yeni bir metriktir. Hata ? düzeltme kapasitesi, kodlar arasındaki uzaklığabağlı olduğu için uygun bir metrik seçmek oldukça önemlidir. Cebirsel kodlamateorisinin büyük kısmı Hamming metriği ile ilgilidir. Ancak bu metrik her zaman kanalkarakteristiği ile uyumlu olmayabiliyor. Özellikle de kod sembolleri büyük boyutluGalois cisimlerinin elemanları ise bu uyumsuzluk daha da çok beliriyor. Hamminguzaklığı kod alfabesinin çeşitli sinyalleri arasında lineer bağımlılığı fark edemediğindençapraz ? hata (criss ? cross) oluşumuna uygunsuz olmaktadır. Rank metrik birçok hataçeşidini etkili bir şekilde düzeltme kapasitesinden dolayı ideal bir metriktir.Bu çalışmada rank metriğinin incelenmesi için öncelikle sonlu cisimler anlatılmıştır.Sonraki kısımda kodlama teorisi ayrıntılı bir şekilde anlatılmıştır. Son bölümde ise rank metriği anlatılmış ve bu metrik üzerindeki kodlar kısaca incelenmiştir.
Çarpımsal hiperhalkalar
Cebirsel hiperyapılar, klasik cebirsel yapılarla benzerlikler gösterir. Bu çalışmanın ikinci bölümünde cebirsel hiperyapılar ile ilgili temel tanım ve kavramlara değinilmiştir. Üçüncü bölümde dağılma ve kuvvetli dağılma özelliğine sahip çarpımsal hiperhalkaların özelliklerinden bahsedilmiştir. Sağdan kuvvetli dağılma özelliğine sahip ideallerin soldan da dağılma özelliğine sahip olma şartları incelenmiştir. Dördüncü bölümde ise 2-yutan ve 2-yutan asalımsı hiperideallerin bazı özellikleri örneklerle açıklanmıştır. Bu hiperideallerin radikalleriyle ilgili teoremler verilmiştir. C-ideallerle ilgili birkaç sonuç verilmiş ve çalışma tamamlanmıştır.
Hiper cebirsel yapılar ve bulanık yapılar
Bu tezde hiper cebirsel yapılar ve bulanık yapılar konu alınmıştır. Çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde literatür özeti ve tezin amacı verilmiştir. İkinci bölümde tezin içerisinde kullanılacak olan temel kavramlar anlatılmıştır. Üçüncü bölümde hiperyapılar ve bulanık yapıların birbirleri ile ilişkileri araştırılmıştır. Dördüncü bölümde ise sonuç ve önerilere yer verilmiştir.