Nanoteknolojide yerel olmayan çubuk teorisinin statik ve dinamik problemleri

Modern teknolojide, cihaz özellikleri büyük bir hızla artmakta, boyutlar ise aynı hızla küçülmektedir. Malzeme boyutları küçülmeye başladıkça, özellikle, nanometre mertebelerine inildiğinde, malzemelerin yeni ve mükemmel fiziksel özellikleri ortaya çıkmaktadır. Atomların ve moleküllerin dizilişi tasarlanarak olağanüstü özelliklere sahip yeni yapay malzemeler ortaya çıkarılmaktadır. Bu malzemelerle, nano boyutlarda cihazlar ve sistemler tasarlanmaktadır. Bu yeni teknolojiye nanoteknoloji denmektedir. Nanoteknolojinin en önemli temel alanlarından biri nanomekaniktir. Nanomekaniğin çalışma konusu, nano boyuttaki sistemlerin kuvvet ve yer değiştirme ilişkilerinin ve titreşim özelliklerinin analizi ile fonksiyonel ve elastik karakteristiklerinin incelenmesidir. Özellikle, karbon nanotüplerin keşfinden sonra, nanomekanik konusundaki çalışmalar yoğunlaşmıştır. Son zamanlarda, nano elektromekanik sistemlerin (NEMS) ortaya çıkması, bunlara olan ilgiyi oldukça arttırmıştır. Literatürde yapılan ve nanotüplerin ve nanoçubukların statik ve dinamik davranışları inceleyen çalışmalar, analizlerinde üç temel yöntem kullanmışlardır: Atom seviyesinde modelleme. Hibrid: Atom seviyesinde-sürekli ortamlar mekaniği ve Sürekli ortamlar mekaniği. Atom seviyesinde modelleme yönteminde, genel olarak, klasik moleküler dinamik ve yoğunluk fonksiyonu teorisi kullanılmaktadır. Hibrid yöntemde ise, atomlar arası potansiyel enerji, sürekli ortam analizine doğrudan uygulanmaktadır. Sürekli ortamlar mekaniği teorisi, karbon nanotüpleri ve nano çubukları, sürekli ve homojen makro yapılar olarak ele almaktadır. Atomlar arasındaki kafes boşlukları gibi, malzeme mikro yapılarına ait özellikler ihmal edilmektedir. Klasik veya yerel sürekli ortamlar teorisinin, nano boyuttaki sistemlere uygulanabilirliğinin kısıtlı olmasının esas nedeni, atomlar arası kafes boşluklarından dolayı oluşan malzemedeki ayrık yapının, sürekli ortam kabülü ile modellemeye uygun olmamasıdır. Diğer bir deyişle, nano ölçekte, malzeme özellikleri boyuta bağlı olarak değiştiği için, nano-malzemelerin mekanik davranışının belirlenmesinde, küçük ölçek etkisinin göz önünde bulundurulması gerekmektedir. Nanometre mertebesindeki sistemlerde, küçük ölçek etkisi oldukça önemli hale gelmektedir. Böylece, nano yapılarla ilgili çalışmalarda, boyut etkisinin hesaba katıldığı yerel olmayan sürekli ortam mekaniğinin uygulanmasına başlanmıştır. Yapılan literatür araştırmasında, çoğunlukla, doğru eksenli nano çubukların statik ve dinamik analizinin ele alındığı görülmektedir. Eğri eksenli nano çubuklarla ilgili sınırlı sayıda çalışma bulunmaktadır. Bunların bir çoğu, atom seviyesinde modelleme veya hibrid yöntemleri kullanmaktadır. Yerel olmayan elastisite teorisinin kullanıldığı az sayıdaki çalışmada ise, yerel olmayan etki olarak, sadece eğilme momenti göz önünde bulundurulmaktadır. Statik problemleri ele alan çalışmalar, sadece eğilme etkisini gözönüne almakta, kayma deformasyonu etkisini ihmal etmekte, kesme kuvvetinin yerel olmayan etkisini göz önüne almamaktadır. Titreşim problemlerini inceleyen çalışmalarda ise, hem kayma deformasyonu hem de dönme eylemsizliği etkileri genellikle ihmal edilmektedir. Ayrıca, çözümler, çeşitli sayısal ve yaklaşık yöntemlerle elde edilmektedir. Bu çalışmada, düzlemsel eğri eksenli nano çubukların statik ve dinamik davranışları, yerel olmayan elastisite teorisinin genel denklemleri kullanılarak incelenmiştir. Eringen tarafından verilen yerel olmayan elastisite teorisinin genel denklemleri, silindirik koordinatlarda yazılarak, çubuk teorisine uygulanmıştır. Böylece, yerel olmayan çubuk teorisi denklemleri, değişken yayılı yükleri taşıyan değişken eğrilikli ve değişken kesitli çubuklar için elde edilmiştir. Bu denklemler kullanılarak, düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem içi statik ve dinamik problemleri incelenebilmektedir. Denklemlerde, hem momentlerin ve hem de kuvvetlerin yerel olmayan etkileri gözönüne alınmaktadır. Eksenel uzama ve kayma etkilerinin yanında eksenel ve kayma kuvvetlerinin yerel olmayan etkilerinin de gözönüne alındığı literatürdeki ilk çalışma bu olmuştur. Eğri eksenli çubğun statik davranışını ifade eden denklemlerin analitik kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle elde edilmiştir. Başlangıç değerleri yönteminin üstünlüğü; yüksek mertebe statik belirsizliklerin, problemin çözümüne ilave bir zorluk katmamasıdır. Herhangi bir bilinen sınır şartı ile kesin analitik çözüm elde etmek mümkündür. Farklı geometri ve kesite sahip çubukların asal matrislerinin analitik ifadeleri elde edilmiştir. Böylece, çubuk eksen eğrisi ve kesiti ne olursa olsun, yer değiştirme, kesit dönmesi ve kesit tesirleri değerleri eksen eğrisi boyunca analitik olarak belirlenebilmektedir. Ayrıca, teoride ortaya çıkan parametreler belirlenerek, bunların statik davranışa etkileri incelenmiştir. Boyut parametresi, çubuk açıklığı, narinlik oranı gibi bazı parametrelerin değişiminin çubuğun statik davranışına etkisini göstermek amacıyla çeşitli çubuk geometrileri, yükleme ve sınır şartları ile ilgili problemler çözülmüştür. Sonuçlar, eksenel uzama ve kayma deformasyonu etkilerini göz önüne alan ve almayan farklı durumlar için hesaplanmıştır. Çeşitli problemler çözülmüş ve yer değiştirme, dönme açısı ve gerilme bileşenlerinin kesin analitik denklemleri elde edilmiştir. Bu çalışmada önerilen yöntemle boyut parametresi ve çeşitli geometrik parametrelerin eğri eksenli nano çubukların statik davranışına etkileri incelenmiştir. Narinlik oranı λ=(R θ_t)⁄√(I⁄A) , 20 ile 150 arasında ve çubuk açıklığı (θ_t) 10° ve 180° arasında alınmıştır. Boyut parametresi (R⁄γ)' nin 1 ile 10 arasında değiştiği kabul edilerek yerel olmayan boyut faktörü γ 1,56 nm olarak alınmıştır. Poisson oranı ve Young modülü sırasıyla υ=0.3 ve E=1 TPa, alınmıştır. Ancak bu çalışmada, yerel ve yerel olmayan teorilerle elde edilen sonuçların oranları verildiğinden sonuçlar bu değerlere bağlı değildir. Çubuk statik davranışını ifade eden denklemlerden hareketle, D'Alembert prensibi yardımıyla, dinamik davranışları ifade eden denklemlere ulaşılabilmektedir. Eksenel uzama, kayma deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerini göz önüne alan dinamik denklemlerin kesin çözümü, başlangıç değerleri yöntemiyle, düzlem içi titreşimler için elde edilmiştir. Kesin çözüm, sadece, sabit kesitli, çember eksenli çubuklar için söz konusu olmaktadır. Titreşim ile ilgili çeşitli problemler çözülerek, doğal frekanslar elde edilmiştir. Ayrıca, elde edilen frekanslar yardımıyla mod şekilleri de çizilmiştir. Boyut parametresi, çubuk açıklığı, narinlik oranı gibi bazı parametrelerin değişiminin çubuğun dinamik davranışına etkisini göstermek amacıyla çeşitli örnekler verilmiştir. Ayrıca, değişken eğrilikli ve kesitli çubuklar da, birçok sabit eğrilikli ve kesitli çubuk elemandan oluşuyormuş gibi modellenmiş ve aynı çözüm yöntemi kullanılarak sonuç elde edilmiştir. Sonuçlar, etkilerin göz önüne alındığı ve alınmadığı farklı durumlar için hesaplanmıştır. Bu çalışmanın temel amacı, nano boyutlardaki çubukların statik ve dinamik problemlerinde, yerel olmayan elastisitenin kullanılmasının klasik elastisiteye göre çok daha üstün olduğunu ve nanoyapıların mekanik davranışlarını anlamada yerel olmayan etkilerin önemli olduğunu göstermektir. Çalışmada, eğri eksenli nano çubukların statik davranışları için temeli Eringen'in yerel olmayan elastisite teorisine dayanan boyuta bağlı yeni bir çubuk teorisi sunulmuştur. Yerel olmayan bünye denklemleri klasik çubuk denklemlerine uygulanmıştır. Eksenel uzama ve kayma deformasyonu etkileri ve bunlar ile eğilme momentinin boyuta bağlı etkileri analitik modelde ele alınmıştır. Kesin çözüm için başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak sonuçlar analitik olarak elde edilmiştir. Diğer modelleme yöntemleri bazı kusurlarından dolayı yetersiz kalmaktadır. Atomistik yaklaşımın karmaşık atomik yapıları modelleme kapasitesi yoktur ve hesaplama yönünden pahalı olmaktadır. Öte yandan, klasik sürekli ortam yaklaşımları daha basit formülasyonlar vermekte fakat boyuttan bağımsız olmaları nedeniyle yetersiz kalmaktadırlar. Çalışmaların çoğunda, nano çubuklar kusursuz şekilde düz kabul edilmektedir, fakat sensörler gibi nano teknoloji uygulamalarında kullanılmaları için eğri eksenli üretilebilmektedirler. Bu gerçekten hareketle, nano çubuk denklemleri elde edilerek kesin çözümler geliştirilmiştir. Ayrıca, mühendislik uygulamaları için yerel olmayan bir sonlu eleman geliştirmek bu çalışmayla mümkün olabilecektir. Nano bilim ve nano teknolojideki ilerlemeler son on yılda modern dünyayı şekillendirmiştir. Teori, modelleme ve simülasyon bu ilerlemelerde kritik bir rol oynamıştır. Burada önerilen çözüm yöntemi, MEMS ve NEMS uygulamalarındaki eğri eksenli çubuk komponentlerin tasarım ve üretimine yardımcı olacaktır. Bu çalışmadan elde edilen sonuçların nano aygıtların mühendislik tasarımına yol göstereceği ümit edilmektedir.