Serbest süreklilik

Sürekli fonksiyonlar tanımlanırken sonsuz küçük kavramının epsilon-delta (𝜀−𝛿) tanımı ile hemen hemen kesin bir temele oturtulmasının ardından, sürekli fonksiyonların karakterizasyonu Weierstraß ile tam anlamı ile bir netlik kazanmıştır. Yakınsaklık kavramı ile ilişkisi kaçınılmaz olan süreklilik kavramının bir diğer karakterizasyonu da dizisel süreklilik olarak bilinen, metrik uzaylarda klasik sürekliliğe denk fakat rastgele topolojik uzaylarda klasik süreklilikten daha zayıf olan bir tanımdır. Bu kavram (Schoenberg, 1959; Srinivasan 1980; Antoni, Salat, 1980) makalelerinde daha da geliştirilip metot adı altında incelenmiş, dizisel süreklilikte kullanılan yakınsaklık kavramının değişik şekillerde zayıflatılması ile farklı uzaylar elde edilmiştir. Fakat çoğunun ortak problemi, yeni tanımlanan uzayların ya zaten klasik anlamda sürekli olan fonksiyonlar uzayı ile çakışmaları ya da lineer fonksiyonlar (ki ℝ'de tüm lineer fonksiyonlar süreklidir) uzayı ile çakışmalarıdır. Bu ikilemin hangi şartlar altında kırılabileceği (Connor, Grosse-Erdman, 2003)'te detaylıca tartışılmış olup gerekli aksi örnekler oluşturulmuştur. Bu tezde, yakınsaklık kavramı ile ilgilenmek yerine, dizisel süreklilikte kullanılan evrensel niceleyicinin (∀) zayıflatılmasına odaklanılmıştır. Yani, dizisel sürekliliğin aksine, verilen bir 𝓍 noktasına yakınsak (herhangi bir metot ile) her dizinin incelenmesi koşulu yerine, bu dizilerin belirli şartı sağlayan bir kısmı incelenmiştir. Önce verilen bir 𝐾⊂ℕ için bu 𝐾 kümesi üzerinde serbest olan reel sayılar tanımlanmış ve daha sonra serbest diziler tanımlanarak, evrensel niceleyicinin kapsam alanı sadece serbest ve serbest olmayan dizilere kısıtlanmıştır. Bu yaklaşım ile, doğal sayıların her bir alt kümesi için yeni bir fonksiyon sınıfı elde edilmiştir. Elde edilen bu fonksiyon sınıfları, klasik sürekli fonksiyonlar sınıfından daha geniştir ve bazı ölçülemeyen fonksiyonlara da ev sahipliği yapar. Tanımlanan bu sınıfların bir vektör uzayı yapısına sahip olduğu gösterilmiş ve kendi aralarında nasıl bir hiyerarşiye sahip oldukları incelenmiştir.