Longitudinal dispersion of heavy particles in a free surface flow over rough bed

Türbülanslı akım, tarihten bu yana insanlar tarafından gözlenmiş, ve en azından Leonardo Da Vinci döneminden beri bilimsel olarak incelenmiştir. Tam manasıyla açıklanmış olmasa bile, nedenleri ve sonuçları üzerinde hatırı sayılır sonuçlar elde edilmiştir. Öyle ki; bugün analitik ve numerik çalışma ve modellemelerle tutarlı ve uygulanabilir veriler elde edebilmekteyiz. Modern türbülans araştırmalarının, Osborne Reynolds (1983) tarafından yapılan deneysel çalışmalarla başladığı söylenebilir. Reynolds, akımın karakteristik özelliklerini ifade eden boyutsuz bir sayıya bağlı olarak, akım rejiminin laminer ve türbülanslı olarak değiştiğini gözlemlemiştir. Bu sayıya Reynolds Sayısı denir. Bir sonraki kilometre taşı, Ludwig Prandtl (1904) tarafından, sınır tabaka teorisi ile konmuştur. Sınır tabaka akışın, akışkanın vizkoz kayma gerilmelerinden önemli ölçüde etkilendiği bölgedir. Akışkanlar mekaniğinin gelişimi açısından büyük önem taşıyan bu teori, o dönemde hidrodinamik çalışmalar için sınırlı ölçüde kullanılmıştır. Bunun sebebi gelişen uçak teknolojisi ve bu endüstrinin yüksek ölçüdeki ihtiyacıdır. Bu ihtiyaç, akışkanlar mekaniği çalışmalarını aerodinamik alana yoğunlaştırmıştır. Daha sonra Taylor (1935), gelişen ölçüm tekniklerinin de yardımıyla, bir "ideal türbülans" modeli olan izotropik türbülans kabulünü ortaya atmıştır. Bundan yola çıkan Kolmogorov (1941) iyi bilinen "-5/3" kanununu ortaya atmıştır. Türbülans, Kline (1967) tarafından bulunan türbülans patlama olgusuna kadar, rastgele ve kaotik bir doğal fenomen olarak görülüyordu. Ancak bu olgunun öngörülebilir periyotlarla meydana gelmesi bu görüşü sorgulamıştır. Türbülanslı akışın önemli bir sonucu olan boyuna dispersiyon, çevre kirliliği ile olan yakın ilişkisi sebebiyle özel bir pratik önem arz etmekte olup, birçok çalışmaya konu olagelmiştir. En önemli ve öncü çalışmalardan birisi Elder (1959) tarafından yapılmıştır. Elder, parçacıkların düşey pozisyonlarının olasılık yoğunluğu ve kanal kesiti boyunca parabolik bir hız dağılımı kullanarak parçacıkların ortalama hızını ve dispersiyon katsayısını hesaplamıştır. Bu çalışmada da Elder'ın (1959) sonuçlarına yer verilecektir. Bunun yanında Sayre (1968), Sumer (1974) ve Bayazıt (1972) önemli numerik çalışmalar yapmışlardır. Ayrıca Deng ve Jung (2008) ve Riahi-Madvar ve diğ. (2008) daha yeni çalışmalar yapmışlardır. Ancak geçmişte yapılan çalışmalarda taban pürüzlülüğünün etkisine yer verilmemiştir. Bu çalışma, pürüzlü tabanlı açık kanal akımlarında, ağır parçacıkların boyuna dispersiyonunu sayısal bir model ile belirlemeyi amaçlamaktadır. Daha önce sayısal bir modelde kullanılmamış olan taban pürüzlülüğünün etkisi de bu tezin konusu olan yazılımla incelenecektir. Model, türbülanslı akış parametrelerini ve parçacık hareketlerini belirlemek üzere, daha önce verilmiş ve analitik çözümlerde kullanılmış olan metodları rafine edilmiş ve yer yer geliştirilmş bir şekilde kullanacaktır. Bu çalışmanın arka planında temel olarak Von Karman cidar kanunu ve Van Driest hız profili ile birlikte türbülanslı difüzyon ve dispersiyon fiziği bulunmaktadır. Farklı çökelme hızı, taban pürüzlülüğü ve akım koşullarında dispersiyon katsayısını hesaplamak için, bu sayısal modelde rastlantısal yürüyüş metodu ile tekil parçacık analizi yapılacaktır. Bunun için gerekli olan; iki boyutlu akım düşey kesiti boyunca ortalama hız profili, cidara dik türbülans hızları ve cidar ve serbest yüzeyde parçacıkların davranışının modellenmesidir. Ortalama hız profili için; Von Karman cidar kuralında belirtilen akışmaz alt tabaka, geçiş tabakası ve logaritmik tabakayı tek bir ifadede kapsayan Van Driest hız profilinden yola çıkılmıştır, ancak Van Driest Profili'nin logaritmik tabakadan sonra, tüm akım kesiti için geçerli olabilmesi için bir iz (wake) fonksiyonu ile düzeltilmesi gerekmektedir. Ayrıca, modelde incelenecek olan taban pürüzlülüğü için, Nikuradse eşdeğer kum pürüzlülüğü ifadesinin bir fonksiyonu olan Cebeci ve Chang (1978) koordinat kayması da bu ifade içerisine alınmıştır. Cidara dik türbülans hızları için Nezu ve Nakagawa (1993) yarı teorik eğrileri, sınır tabakası iç bölgesini kapsaması için geliştirilerek kullanılmıştır. Ağır parçacıklar için ise çökelme hızını ifade eden karakteristik bir parametre olan Rouse Parametresi kullanılmıştır. Parçacıkların cidara dik hızlarının bulunması için, türbülans hızı, ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan bir gauss rastgele sayısıyla çarpılmış ve Rouse parametresinden çekilen çökelme hızı eklenmiştir. Parçacıklar rastlantısal olarak akım kesitinde yukarı ya da aşağı hareket edeceklerdir. Parçacıkların dikey yönde hareket uzunluğu; türbülans çevrintilerinin genişliği ile aynı olacaktır. Bu uzunluğun belirlenmesi için de Sayre (1968) ve Sümer (1973) tarafından yaklaşık olarak verilmiş değerler, bir tanjant hiperbolik eğri ile kullanılmıştır. Bu hareket uzunluğu ve parçacıkların dikey hızından yararlanılarak, rastlantısal yürüyüş adımının süresi hesaplanmıştır. Her parçacık, her rastlantısal yürüyüş adımında, dikey hareketi boyunca geçtiği hız profili bölgesine uygun yatay hız kazanır. Bu ortalama yatay hız ile rastlantısal yürüyüş adımının süresi çarpıldığında parçacığın o adımda katettiği yatay mesafe bulunur. Önceden belirlenmiş bir süre sonunda, her parçacığın katettiği yatay mesafe farklıdır. Bu mesafelerin varyansından yola çıkarak dispersiyon katsayısına ulaşılır. Düşey hareketi esnasında cidar ya da serbest yüzeyle temas eden parçacıklar, bu yüzeylerden sektiği düşünülerek modellenmiştir. Parçacığın herhangi bir enerji kaynına uğramadan akım sınırından sektiği varsayılmıştır. Bu durumda normalde meydana gelebilecek enerji kayıplarını kapsayabilmek için bir ayar parametresi kullanılmıştır. Ayar parametresi, parçacığın düşey hızının belirlendiği, rastgeleliğin uygulandığı ifadeye eklenmiştir. Parçacıkların, akımın laminer olduğu, dolayısı ile yukarı yönde bir hızın oluşmadığı viskoz alt tabakada kalması engellenmiştir. Pratiklik açısından Matlab, erişilebilirlik açısından da PHP, modelin oluşturulmasında kullanılmıştır. Performans açısından Matlab'ın üstün olduğu gözlenmiştir. Model her noktayı tekil olarak ve sırayla incelediğinden, incelenen nokta sayısı modelin performansı ve sonuca ulaşma süresi ile ters orantılıdır. Ancak nokta sayısı arttıkça daha sağlıklı ve tutarlı sonuçlar elde edilebilir. Bu sebeple bir optimum nokta sayısı belirlenmiş ve model bu nokta sayısıyla çalıştırılmıştır. Çalışmada verilen, kullanılan ifadeler ve akım şemasından yararlanarak, başka programlama dillerinde de modeli oluşturmak elbette mümkündür. Ayrıca daha güçlü bilgisayarlarda daha çok noktayla ve daha hızlı olarak sonuç alınabilir. Model, 500 ile 50000 arasında değişen Reynolds sayıları için, pürüzsüz cidar üzerinde, askıdaki parçacıklar ile test edilmiştir. Daha sonra pürüzsüz yüzey üzerinde ağır parçacıklar ve son olarak da çeşitli pürüzlülüklerde, çeşitli ağırlıktaki parçacıklar ile test edilmiştir. Pürüzsüz cidar ve askıdaki parçacıklar ile test edildiğinde, modelin Elder (1959) ve Sümer (1974) ile benzer sonuçlar verdiği görülmüştür. Aynı şekilde, pürüzsüz cidar üzerinde, çökelme hızına sahip parçacıklar için modelden alınan sonuçların Sümer (1974) analitik çözümü ve Sayre (1968) sayısal çözümüyle paralellik arz ettiği görülmüştür. Model, dispersiyon katsayısı üzerinde, cidar pürüzlülüğünün etkisini inceleyebilecek şekilde kodlanmıştır. Bu yönde daha önce yapılmış bir çalışma bulunmadığından herhangi bir karşılaştırma yapılamamaktadır. Model sonuçlarına göre; pürüzlülüğün genel olarak dispersiyon katsayısına etkisinin çok az olduğu söylenebilir. Ancak aynı Reynolds sayısında cidar pürüzlülüğü arttıkça dispersiyon katsayısının düşme eğilimi gösterdiği görülmüştür. Parçalar çökelme hızı kazandıkça cidar pürüzlülüğünün etkisinin ortadan kalktığı gözlenmiştir. Bunun sebebinin, parçacıkların daha hızlı çökelmesi, ve tabanda taşınması olduğu düşünülmektedir.