Logaritmik kaynak terimli evolüsyon denklemlerinin çözümleri

Bu tezin ilk bölümünde fen ve mühendislik gibi uygulamalı bilimlerde ortaya çıkan diferansiyel denklemlerin tanımına ve tarihsel sürecine kısaca değinilmiştir. Diferansiyel denklemlerdeki gelişmelerin matematikte yeni alanların ortaya çıkmasını sağladığı ve matematikteki birçok alanlardaki ilerlemelerin de diferansiyel denklemler için yeni bakış açıları sunduğunada değinilmiştir. İkinci bölümünde, tezin amacı belirtilmiş ve logaritmik kaynak terimli denklemlerin genel olarak kullanıldığı alanlar verilmiştir. Daha sonra logaritmik kaynak terimli problemlerle ilgili temel çalışmalar verilmiştir. Burada ilk olarak Birula ve Mycielski'nin 1976'da çalıştığı problem verilmiş, hemen ardından Cazenave ve Haraux'un 1980 yılındaki çalışmasına yer verilmiştir. Temel problemler verildikten sonra günümüze kadar yapılan birçok çalışma bu bölümde verilmiştir. Üçüncü bölüm, üç kısımdan oluşmaktadır. İlk olarak Lebesgue uzayının tanımına yer verilmiştir. İkinci kısımda Sobolev uzayının tanımı ve Sobolev Gömülme teoremi verilmiştir. Üçüncü kısımda ise tez boyunca gerekli olan eşitsizliklere ve lemmalara yer verilmiştir. Dördüncü bölümde, bir boyutlu logaritmik kaynak terimli Klein-Gordon denklemine çalışılmıştır. Logaritmik lineer olmayan Klein-Gordon probleminin çözümlerinin lokal varlığı ele alınmıştır. Daha sonra problemin zayıf çözümünün ispatı verilmiş olup, ispat: Yaklaşım Çözüm bulma, Önsel Kestirim ve Limite Geçiş olmak üzere üç adımdan oluşmuştur. Burada zayıf çözümün ispatında Galerkin metodu, Logaritmik Sobolev Eşitsizliği ve Kompaktlık teoremleri kullanılmıştır. Ayrıca ispatın üçüncü adımı olan Limite Geçiş adımında Aubin Lions lemmasından faydalanılmıştır. Beşinci bölüm tezin özgün kısmı olup logaritmik kaynak terimli yüksek mertebeden Klein-Gordon denkleminine çalışılmıştır. Problemimizin ilk olarak enerji denklemi bulunup, gerekli lemmalar ve tanımlara yer verilmiştir. Daha sonra problemimizin global varlığı ve üstel azalmasıyla ilgili teoremler verilmiş ve teoremlerin ispatında kullanılacak lemmalar ispatlarıyla birlikte verilmiştir. Son olarak problemimizin çözümün patlamasına çalışılmıştır. Konkavlık metodu kullanılarak problemimizin patlaması gösterilmiştir. Altıncı bölümde ise tezin sonuç ve öneriler kısmına yer verilmiştir.