Theses supervised by Prof. Dr. Hayrullah Ayık
12 theses · Çukurova University
Bazı dönüşüm yarıgruplarının doğurayları ve rankı
Doğal sıralı X kümesi üzerindeki tüm tam dönüşümlerin yarıgrubunu Tn ile, ve tüm kısmi dönüşümlerin yarıgrubunu PTn ile gösterelim. Biz bu tez de PTn nin elemanlarını çarpanlara ayıran bir algoritma verdik. Bu algoritmayı kullanarak tüm kısmi dönüşümler yarıgrubu için bazı doğuray kümeleri elde ettik.Tn in tüm sıra koruyan elemanlarının oluşturduğu yarıgrubu On ve PTn 'nin tüm kısmi sıra koruyan elemanlarının oluşturduğu yarıgrubunu POn ile gösterelim. Ayrıca bu algoritmayı kullanarak On ve POn yarıgrupları için bazı doğuray kümeleri elde ettik.
Yerine-yazma sistemleri ve yarıgruplar
Bilgisayar bilimlerinin üzerinde çalışılan temel alanlarından birisi otomoto teorisi ve yerine-yazma sistemleridir (automoto theory and rewriting systems). Yerine-yazma sistemleri, cebirdeki bazı teorilerde kullanılmakla birlikte,cebirde yerine-yazma sistemlerinde oldukça sık kullanılmaktadır.Örneğin, kelime problemlerinin çözülebilirliği gibi bazı sonluluk koşullu cebirsel problemlerin çözümünde vebazı monoidlerin homolojilerinin hesaplanmasında yerine-yazma sistemleri ile ilgili teoriler oldukça sık kullanılmaktadır. Daha da özel olarak, cebirdeki grup ve yarıgrupların takdimleri bilgisayar bilimindeki yerine-yazma sistemleri ile iç içe girmiş durumdadır. Her cebirsel yapının bir takdimi vardır. Özellikle, sonlu takdime sahip olmak sonlu yerine-yazma sistemleri açısından oldukça önemlidir.Biz de bu tezde sonlu takdim edilebilir yarıgruplar ile sonlu tam yerine-yazma sistemleri arasındaki ilişkiyi inceleyen bazı önemli çalışmaları derleyeceğiz.
Bazı dönüşüm yarıgruplarının doğurayları ve rankları
Pn, Tn, POn, On ve SPOn=POn\On sırasıyla Xn={1,...,n} kümesi üzerindeki kısmi dönüşümler, (tam) dönüşümler, kısmi sıra-koruyan dönüşümler, sıra-koruyan dönüşümler ve kesin kısmi sıra-koruyan dönüşümler yarıgrubu olsun. Bu çalışmada, 1
Kısıtlanmış dönüşüm yarıgruplarının doğurayları
X boş olmayan bir küme olmak üzere X üzerindeki tüm kısmi dönüşümlerin kümesini 〖PT〗_X ve tüm (tam) dönüşümlerin kümesini T_X ile gösterelim. O zaman, 〖PT〗_X ve T_X kümeleri dönüşümlerin bileşke işlemi ile birer yarıgrup olup bu yarıgruplara sırasıyla, kısmi dönüşümler yarıgrubu ve (tam) dönüşümler yarıgrubu denir. Y,X in boş olmayan bir alt kümesi ve bir α∈〖PT〗_X için Xα=im(α)={xα∶x∈X} olmak üzere T(X,Y)={α∈T_X ∶Xα⊆Y}, PT(X,Y)={α∈PT_X ∶Xα⊆Y} ve F(X,Y)={α∈T(X,Y) ∶Xα⊆Yα}) kümeleri de dönüşümlerin bileşke işlemi ile birer yarıgruptur. Bu çalışmada, yakın zamanda T(X,Y), PT(X,Y) ve F(X,Y) alt yarıgruplarını inceleyen bazı çalışmalar derlenerek, özellikle bu alt yarıgrupların doğuray kümeleri hakkında elde edilen bazı sonuçlar sunulmuştur.
Değişmeli yarıgrupların sıfır bölen grafiği
S değişmeli ve sıfır bölenli bir yarıgrup olsun. S yarıgrubunun sıfır bölenlerinin grafiği Г(S) ile gösterilir. Grafiğin köşeleri S yarıgrubunun sıfırdan farklı sıfır bölenleridir. x ve y birbirinden farklı iki köşe olmak üzere x.y=0 ise x y ye bir kenar ile bağlıdır. Bu çalışmada Г(S) grafiğinin genel yapısı ve özellikleri incelenmiştir. Ayrıca yakın zamanda değişmeli sıfır bölenli yarıgrupların grafiğini inceleyen bazı çalışmalar derlenmiş ve elde edilen sonuçlar sunulmuştur.
Yarıgrupların sıfır bölen grafiği
S değişmeli ve sıfırlı bir yarıgrup olsun. Eğer a,b S'nin elemanı ve b sıfırdan farklı olmak üzere a.b=0 oluyorsa a elemanına S' nin sıfır böleni denir. S ' nin sıfır bölenlerinin kümesi Z(S) ile gösterilir. Z*(S)=Z(S)\{0} olarak tanımlanır. E={(x,y): x ve y Z*(S) nin elemanı ve x.y=0 } olsun. Z*(S)' nin elemanlarını köşe kümesi olarak tanımlayıp E kümesindeki sıralı ikilileri yönlendirilmemiş kenar olarak tanımlarsak yönlendirilmemiş bir grafik ortaya çıkar bu grafiğe S yarıgrubunun sıfır bölen grafiği denir. X boştan farklı sonlu bir küme ve SLx , X ' in boştan farklı tüm alt kümelerinin kümesi olsun. Kümeler üzerindeki birleşme işlemi ile SLx bir yarılatistir, buna X üzerindeki serbest yarılatis denir. Eğer X ' in eleman sayısı n ise SLx sembolü yerine SLn sembolü kullanılır. Bu çalışmada, SLn yarıgrubuna karşılık gelen sıfır bölen grafiğin temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca bu grafiklerin tensör çarpımları, sırasal çarpımları ve kartezyen çarpımlarının bazı özellikleri incelenmiştir.
Sıra-koruyan dönüşümler yarı grubunun verimli alt yarı grupları
Pn, Tnve On sırasıyla X n n = {1,2,..., } kümesi üzerindeki sonlu kısmi dönüşümler, (tam) dönüşümler ve sıra-koruyan (tekil) dönüşümler yarıgrubu olsun. Ayrıca, Xn nin boş olmayan bir A alt kümesi için On n (A) = {a a ÎO : ("x Î £ A) x x} Xn kümesi üzerindeki tüm sıra-koruyan ve A-azalan (tekil) dönüşümlerinden oluşan alt yarıgrup olsun. Bu çalışmada, ilk olarak sıra-koruyan dönüşümler yarıgrubunun azalan (artan) tekil dönüşümler yarıgrubunu ve ardından da yerel maksimal idempotent doğuraylı alt yarıgruplarını inceleyeceğiz. Ayrıca, ( ) O A n nın *-Green denklik bağıntılarını inceleyerek ( ) O A n nın sıra koruyan dönüşümler yarıgrubunun bir verimli alt yarıgrubu olduğunu göstereceğiz. Son olarak da ( ) O A n nın doğuray kümeleri ve ranklarını inceleyerek idempotent rankının 2n - 2 - \ A n , rankının 1Î A iken n -1 ve diğer durumlarda n olduğunu göstereceğiz. Anahtar Kelimeler: Sıra-koruyan dönüşüm, A-azalan dönüşüm, verimli alt yarıgrup, doğuray kümesi, rank
Yarı grupların ikinci homolojisi ve etkinlik
S ve T iki sonlu monoid olmak üzere S◊T, S ve T monoidlerinin Schützenberger çarpımını göstersin. Biz bu çalışmada S◊T Schützenberger çarpımının ikinci (tamsayı) homolojisinin, iki monoidin direkt çarpımının ikinci (tamsayı) homolojisine eşit olduğunu, yani H_2 (S◊T)=H_2 (S)×H_2 (T)×(H_1 (S) ⊗_Z H_1 (T)) eşitliğini gösterdik. Ayrıca S ve T sol veya sağ tersinir eleman içermeyen monoidler olmak üzere S◊T Schützenberger çarpımının etkin olmadığını gösterdik.
Yarıgrup teorisinde bazı ranklar ve statüler
bir sonlu doğuraylı yarıgrup olsun. Küçük rank, normal ( düşük alt) rank, orta rank, üst rank ve geniş rank, sırasıyla olarak tanımlanır. Bu çalışmada, bazı yarıgrupların bazı özel doğuray kümelerini ve bağımsız kümelerini inceledik. İncelemeler sonucunda ele aldığımız yarıgrupların yukarıda verilen rankları ile ilgili çalışmaları derledik.
Dönüşüm yarıgruplarında çarpanlara ayırma
Bu tezde dönüşüm yarıgruplarında çarpanlara ayırma ile ilgili çalışmalar ve sonuçlar araştırılmış ve derlenmiştir. Permütasyonların ayrık devirlerin çarpımı olarak yazıldığı klasik çarpanlara ayrılış yönteminin, patika-devirler ve verilen çarpanlara ayrılış yöntemi ile daha genel dönüşümlere genişletilebileceği gözlemlenmiştir. Bu algoritma X_n={1,2,…,n} üzerindeki tüm singüler dönüşümlerin yarıgrubu için doğuray kümeler hakkında bilgi edinmek için kullanılır. S_n simetrik grup ve |im(α)|≤r olacak şekilde α∶X_n→X_n dönüşümlerinin kümesi K_(n,r) olmak üzere T_(n,r)=S_n∪K_(n,r) olsun. cont(T_(n,r) )=min{|G|:G⊆K_(n,r) ve 〈G∪S_n 〉=T_(n,r) } ve p_r (n), n pozitif tam sayısının r terimli parçalanışlarının sayısı olmak üzere cont(T_(n,r) )=p_r (n) olduğu gösterildi.
Bazı sıra-koruyan dönüşüm yarıgruplarının rankı ve kombinatorik
Doğal sıralı Xn = {1,2, . . . ,n} üzerinde tüm sıra-koruyan ve azalan dönüşümlerin yarıgrubunu Cn ve bu yarıgrubun tüm nilpotent elemanlarının kümesini N(Cn) ile gösterelim. Herhangi bir α ∈ Cn dönüşümü için fix(α) = {x ∈ Xn : xα = x} ve herhangi bir Y ⊆ Xn için Cn,Y = {α ∈ Cn : fix(α) = Y} olarak tanımlayalım. Bu tezde N(Cn) ve Cn,Y deki m-potentlerin sayısını veren formüller elde ettik. Ayrıca, Cn nin tüm maksimum nilpotent alt yarıgrupları ile onların kardinalitelerini ve ranklarını belirledik. Anahtar Kelimeler: Dönüşüm yarıgrupları, m-potent, doğuray kümesi, rank.
Sıra-azaltan dönüşüm yarıgrupları
Doğal sıralı \left\{1,2,\ldots,n\right\} zinciri X_n ve X_n üzerindeki tüm kısmi dönüşümlerin oluşturduğu yarıgrup P_n olsun. P_n'nin tüm (tam) dönüşümlerinin oluşturduğu altyarıgrup T_n, tüm sıra-azaltan kısmi dönüşümlerinin oluşturduğu altyarıgrup {PD}_n ve tüm sıra-azaltan dönüşümlerinin oluşturduğu altyarıgrup D_n ile gösterilsin. Biz bu çalışmada sıra-azaltan dönüşümler yarıgruplarının başta idempotent ve nilpotent elemanlaının kümeleri olmak üzere bazı önemli alt kümelerini, doğuray kümelerini, ranklarını ve bazı önemli cebirsel özelliklerini inceledik.