Theses supervised by Prof. Dr. Mahmut Ergüt
12 theses · Fırat University
Afin öteleme yüzeyleri
Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlendi. Birinci bölümde; çalışmanın tarihsel gelişimi ve öteleme yüzeyleriyle ilgili yapılan çalışmalara yer verildi. İkinci bölümde; Öklid, Hiperbolik, Galilean ve pseudo-Galilean uzaylarında sık sık kullanılan bazı temel tanımlar ve teoremler ifade edildi. Üçüncü bölümde ise; 3-boyutlu Öklid uzayı de, sabit eğrilikli afin öteleme yüzeyleri incelendi ve bu yüzeylerle ilgili bazı yokluk teoremleri elde edildi. de afin öteleme yüzeylerinin paralel yüzeyleri incelendi. 3-boyutlu hiperbolik uzay de ele alınan bir afin öteleme yüzeyinin Gauss ve ortalama eğrilikleri elde edildi ve bu yüzeyin minimal olma durumu incelendi. 3-küre de afin öteleme yüzeyleri için ortalama eğrilik incelendi. 4-boyutlu Öklid uzayı de afin öteleme yüzeyleri tanımlandı ve tanımlanan bu afin öteleme yüzeyleri için eğrilikler hesaplandı. Ayrıca 3-boyutlu pseudo-Galilean uzayı de afin öteleme yüzeyleri ele alınarak bu yüzeyler için Gauss eğriliği ve ortalama eğrilik hesaplandı. Anahtar Kelimeler: Öteleme yüzeyi, afin öteleme yüzeyi, Öklid uzay, Hiperbolik uzay, Galilean ve pseudo-Galilean uzay.
Slant submersiyonların geometrisi
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm; konunun tarihsel gelişimi ve bu çalışmada ele alınan problemlerin tanıtımına ayrıldı. İkinci bölümde, ön bilgiler ve diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar, lemmalar ve teoremler verildi. Üçüncü bölümde, hemen hemen çarpım Riemann manifoldlardan Riemann manifoldlara pointwise slant submersiyon (noktasal eğik submersiyon) tanımlanıp bir örnek üzerinde incelendi. Ayrıca, yerel çarpım Riemann manifoldlardan Riemann manifoldlarına tanımlı pointwise slant submersiyonların harmonik ve tamamen geodezik olma durumları incelenip liflerin total geodezikliği için gerek ve yeter şart elde edildi. Daha sonra yerel çarpım Riemann manifoldlardan Riemann manifoldlara pointwise slant submersiyonların total uzay, baz uzay ve liflerinin kesit eğrilikleri arasındaki ilişki araştırıldı. Dördüncü bölümde ise hemen hemen kontakt metrik manifoldlardan Riemann manifoldlara pointwise slant submersiyon tanımlandı ve örnekler verildi. Ayrıca karakteristik vektör alanının durumuna göre kosimplektik manifoldlardan Riemann manifoldlara tanımlı pointwise slant submersiyonun harmonik ve tamamen geodezik olma durumları incelendi. Daha sonra karakteristik vektör alanının durumuna göre bu submersiyonların total uzay, baz uzay ve liflerinin kesit eğrilikleri arasındaki bağıntılar elde edildi. Anahtar Kelimeler: Riemann Submersiyon, Hemen Hemen Çarpım Riemann Manifold, Hemen Hemen Kontakt Metrik Manifold, Kosimplektik Manifold, Pointwise Slant Submersiyon.
Küresel çarpım immersiyonları
Bu çalışma dört bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci bölümde 3-boyutlu Öklid uzayında iki düzlemsel eğrinin küresel çarpım yüzeyi olan X=α⊗β ve bu küresel çarpım yüzeyinin geometrik özellikleri üzerine yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. Tezde kullanılacak olan çeşitli tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde 3-boyutlu ve 4-boyutlu Öklid uzayında küresel çarpım yüzeyleri ifade edilmiştir. Bu yüzeylerle ilgili eğrilikleri sıfır olacak şekilde elde edilen teoremler verilmiştir. Üçüncü bölüm ise tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde öncelikle küresel çarpım yüzeyleriyle ilgili önceden elde edilen sonuçlardan bahsedilmiştir. Daha sonra G_3^1 de izotropik düzlemler dışında sabit ortalama eğrilikli bir küresel çarpım yüzeyinin bulunup bulunmayacağı araştırılmıştır. G_3^1 de ele alınan iki üreteç eğrinin küresel çarpım yüzeyin flat olması için gerekli şartlar elde edilmiştir. Son olarak dördüncü bölümde G_3^1 de küresel çarpım yüzeylerinde eğriler incelenip ilgili eğrilerle ilgili sınıflandırma yapılmıştır.
Cobb-Douglas ve ACMS üretim hiperyüzeyleri
Bu çalışma üç bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci bölümde; üretim fonksiyonlarının tarihçesi ve bu fonksiyonların geometrik özellikleri üzerine yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. Tezde kullanılacak olan çeşitli temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde; üretim teorisi ve üretim fonksiyonlarının özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölüm tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Üçüncü bölümde; Cobb-Douglas ve ACMS üretim fonksiyonları ve bu fonksiyonlara karşılık gelen yüzeyler tanımlanıp, bu yüzeyler alt bölümler halinde incelenmiştir. Öncelikle Cobb-Douglas üretim fonksiyonun sahip olduğu ölçek getirisi ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin Gauss eğriliği arasındaki ilişkiye bağlı olarak sonuçlar ede edilmiştir. Cobb-Douglas üretim fonksiyonun üretim esnekliği ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin ortalama eğriliği arasındaki ilişkiye bağlı bağlantılar kurulmuştur. Daha sonra ACMS üretim fonksiyonun sahip olduğu ölçek getirisi ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin Gauss eğriliği arasındaki ilişkiye bağlı olarak sonuçlar bulunmuştur. Benzer şekilde ACMS üretim fonksiyonun üretim esnekliği ile bu üretim fonksiyonuna karşılık gelen yüzeylerin ortalama eğriliği arasındaki ilişkiler ifade edilmiştir.
Bir eğri üzerindeki umbilik nokta çiftleri
Bu çalışma altı bölümden oluşmaktadır: Birinci bölüm tezin giriş kısmıdır. İkinci bölümde; bazı temel tanım ve teoremler verildi. Üçüncü bölümde; yüzeylerin kapsamlı bir incelemesi yapıldı ve yüzeyler üzerinde umbilik noktaların varlığı incelendi. Dördüncü bölümde; umbilik noktalardan oluşan eğri ile oluşturulan yüzey tanımlandı, yüzeyin temel formları bulundu, Gauss ve ortalama eğrilikleri verildi, asli eğrilik çizgileri gösterildi.Ayrıca tüb yüzeyler tanımlandı ve Darboux çatısıyla verilen tüb yüzeyler incelendi. Beşinci bölüm ise; çalışmanın orijinal kısmı olup; bu bölümde, Darboux çatısıyla verilen tüb yüzeylerin merkez eğrisi, özel olarak umbilik noktalardan oluşan bir eğri olarak seçildi; buna bağlı olarak, Gauss ve ortalama eğrilikler hesaplandı ve Weingarten yüzey olup olmadığı incelendi. Son bölümde ise; sonuçlar verildi.
Minkowski 3-uzayında self-similar dönel yüzeyler
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrıldı. İkinci bölümde; temel tanım ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölümde; E₁³, Minkowski 3-uzayında yüzeylerin genel özellikleri incelendi. Daha sonra, özel olarak dönel yüzeylerin genel özellikleri incelendi. İlk olarak, E₁³, Minkowski 3-uzayında timelike dönel yüzeyler incelendi. Ayrıca, E₁³ de verilen timelike minimal dönel yüzeylerin Lorentz konformal şartı; sırasıyla, spacelike, timelike ve lightlike dönme eksenleri için ayrı ayrı ifade edildi. Bu alt bölümde orijinal olarak; E₁³ de verilen timelike dönel yüzeylerin genel parametrizasyonları için ortalama eğrilikleri ve konum vektörlerinin normal bileşenleri hesaplandı. Ek olarak, timelike dönel yüzeyler için, [2] de verilen karakterizasyonları tamamladık. İkinci olarak da, E₁³, Minkowski 3-uzayında spacelike dönel yüzeyler incelendi. E₁³ de verilen spacelike maksimal dönel yüzeylerin konformal şartı; sırasıyla, spacelike, timelike ve lightlike dönme eksenleri için ayrı ayrı hesaplandı. Bu bölümde orijinal olarak; E₁³ de verilen spacelike dönel yüzeyler için, [3] de verilen karakterizasyonlar tamamlandı. Dördüncü bölümde; E³, Öklid 3-uzayında self-similar yüzeyler verildi. Son bölüm de ise; E₁³, Minkowski 3-uzayında timelike minimal dönel yüzeylerin self-similar şartı, sırasıyla, spacelike, timelike, lightlike dönme eksenleri için ayrı ayrı incelendi. Orijinal olarak bu yüzeyler için karakterizasyonlar ve bunlara ilişkin örnekler verildi.
Ekonomik alanlarda diferensiyel geometrinin uygulamaları
Bu çalışma altı bölüm halinde düzenlenmiştir. Birinci bölümde; üretim fonksiyonlarının tarihçesi ve bu fonksiyonların geometrik özellikleri üzerine yapılan çalışmalar özet halinde ifade edilmiştir. Tezde kullanılacak olan çeşitli temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde; üretim teorisi ve üretim fonksiyonlarının özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde; quasi-toplam üretim fonksiyonları tanıtılmış, sabit ikame esnekliğini sağlayan quasi-toplam üretim fonksiyonları için bulunan sonuçlar ifade edilmiştir. Dördüncü ve beşinci bölümler tezin orijinal kısımlarını oluşturmaktadır. Dördüncü bölümde; homotetik üretim fonksiyonları, Allen determinantları kullanılarak sınıflandırılmıştır. Bu sınıflandırmaların üretim modellerine uygulamaları verilerek, Cobb-Douglas ve ACMS üretim fonksiyonlarının Allen matrislerinin singüler olamayacağı ispatlanmıştır. Üstelik homotetik üretim fonksiyonlarına karşılık gelen üretim hiperyüzeylerine dair bazı sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde; f(x)=F(h_1(x_1 )×…×h_n(x_n)) şeklindeki bileşke fonksiyonlar için bir Allen determinant formülü verilmiş ve bu tür bileşke fonksiyonların tümü sınıflandırılmıştır. Bileşke fonksiyonların grafiklerine dair çeşitli geometrik sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca genelleştirilmiş bileşke fonksiyonları tanımlanmış ve bu tür fonksiyonlar için bir sınıflandırma teoremi elde edilmiştir. Altıncı bölümde ise elde edilen sonuçlar değerlendirilmiş ve bu konuda ön görülen bazı açık problemler ortaya konulmuştur.
3-boyutlu kürede helisel geodezikli yüzeyler
Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir.Ikinci bölümde; Riemann uzay formları ve helisel eğriler incelenmiştir. Ayrıca, heliselgeodezikler için bazı karakterizasyonlar elde edilip bunlarla ilgili yüzey örnekleriverilmiştir.
Inversive geometride eğri ve yüzeyler
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; bazı temel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde; İnversiyon kavramı, inversive eğri ve inversive yüzey tanımları verilerek, inversive yüzeyler arasındaki bazı ilişkiler ve karakterizasyonlar incelendi.Üçüncü bölüm; çalışmanın orijinal kısmıdır. Bu bölümde inversive yüzeylere ait tanjant uzayların bazları, şekil operatörleri ve Christoffel sembolleri arasındaki ilişkiler hesaplandı. Ayrıca Inversive yüzeylerin inversiyon dönüşümü altında invaryant kalan bazı özellikleri elde edildi.Dördüncü bölümde ise konuya ilişkin uygulamalar yapıldı.
Slant yüzeyler üzerine
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; Riemann ve kompleks manifoldlara dayalı bazı temel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde; Slant alt manifold ve slant yüzey kavramları verilerek bazı slant yüzey örnekleri incelendi.Üçüncü bölümde slant manifoldlarda Gauss ve Codazzi denklemleri ele alınarak Varlık ve Teklik Teoremi verildi.Dördüncü bölümde ise H-Umbilik slant alt manifoldun tanımı ve Kaehlerian slant alt manifoldlarda skalar ikinci eğrilik ve ortalama eğrilik arasında teorem ve sonuç verildi.Anahtar Kelimeler: Hemen Hemen Kompleks Manifold, Kompleks Manifold, Slant Yüzey, H-Umbilik Slant Alt Manifold.
Galilean uzayında regle yüzeyler
Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde; Öklid ve Galilean uzayı ile ilgili temel kavramlar, Öklid uzayında regle yüzeyler ve Galilean uzayında regle yüzeyler verildi.İkinci bölüm; çalışmanın orijinal kısmı olup bu bölümde Galilean uzayında tanımlanan üç tip regle yüzeyin teğet, aslinormal ve binormal doğrultusundaki dağılma parametreleri hesaplanarak bunların aralarındaki ilişkiler incelendi.Üçüncü bölümde; örnekler verildi ve verilen örneklerin teğet, aslinormal ve binormal doğrultusundaki dağılma parametreleri hesaplandı.Anahtar Kelimeler: Galilean Geometri, Regle Yüzey, Dağılma parametresi.
3-boyutlu Öklid uzayında Bertrand eğrileri
Bu çalısma 6 bölümden olusmaktadır. Birinci bölüm, temel tanım ve teoremlere ayrıldı. kinci bölümde, Öklid uzayında egriler ve frenet formülleri ile ilgili tanımlar ve teoremler incelendi. Üçüncü bölümde, involüt(basıt) ve evolüt(mebsut) egriler tanımlandı ve bunlarla ilgili özellikler verildi. Dördüncü bölümde, Bertrand egriler ile ilgili tanımlar ve teoremler incelendi. Besinci bölümde, Zayıf Bertrand egriler ile bunlarla ilgili bir karakterizasyon verildi. Altıncı bölümde ise konuyla ilgili uygulamalar yapıldı. Anahtar Kelimeler: 3-Boyutlu Öklid Uzayı, Frenet Formülleri, Egrilerin 1. ve 2. Egrilikleri, nvolüt- Evolüt, Frenet Bertrand Egriler, Zayıf Bertrand Egriler.