Prof. Dr. Mammad Mustafayev danışmanlığındaki tezler
18 tez · Yozgat Bozok University
Pfaff diferansiyel denklemi ve onun çözüm metotları
Bu tezde Pfaff Diferansiyel denklemi ele alınmıştır. Pfaff Diferansiyel denkleminin ve konuyla ilgili diğer anlamlarım tanımı verilmiştir. Pfaff Diferansiyel denkleminin integral yüzeylerin çözümünün varlığı hakkında teorem ispatlanmıştır. Pfaff Diferansiyel denklemimin integral eğrilerinin bulunması metodu gösterilmiştir. Bunlara ait ayrıca örnekler verilmiştir. Pfaff Diferansiyel denkleminin skaler çarpım şeklinde yazılışı gösterilmiştir. Pfaff Diferansiyel denkleminin potansiyelli vektör alanları halinde bir çözüm formülü gösterilmiştir. Potansiyelli vektör alanları için Pfaff denkleminin çözümünün varlığı için gerek ve yeter şart verilerek ispatlanmıştır. Pfaff Diferansiyel denkleminin çözülebilmesi için integral çarpanın olabileceği gösterilmiştir. Pfaff Diferansiyel denkleminin çözümüne ait genel örnekler gösterilmiştir. Pfaff Diferansiyel denkleminde değişkenlerin birinin sabit gibi alınmasıyla Pfaff denkleminin çözülebilmesinin yöntemi verilmiştir ve bu yöntem örnekte gösterilmiştir.
İntegral denklemler üzerine
ÖZET Bu tezde integral denklemler ele alınmıştır. Lineer integral denklemler tanımlanmıştır. Bunun yanında, Fredholm denklemi ele alınmış ve incelenmiştir. Lineer olmayan integral denklemlere örnekler gösterilmiştir. Daha sonra, integral denklemlerin çözümünde Fredholm teorisi verilmiştir. Yozlaşan çekirdekli integral denklemler ele alınmıştır. Ayrıca, yozlaşan çekirdekli integral denklemlerin çözümüne ait örnekler gösterilmiştir. Son olarak, integral denklemin çekirdeğinin approksime edilmesiyle yozlaşan çekirdekli integral denkleme getirilen integral denklemin çözümüne ait örnek verilmiştir. Anahtar Kelimeler: İntegral denklemler, Fredholm integral denklemleri, Yozlaşan çekirdekli integral denklemler, Volterra denklemi, Urıson ve Gammerstain denklemi
Normlu ve skaler çarpımlı uzayların tamlaştırılması hakkında teoremin ifade edilmesi ve ispatlanması ve L(a,b),L_p (G),p≥1 lebesque uzaylarının tanımlanması
Bu çalışmada normlu ve skaler çarpımlı uzayların tanımı ve bu uzayların tamlaştırılması hakkında teorem verilerek ispatlanması gösterildi. Tam olmayan normlu uzaya örnek gösterilerek L(a,b),L_p (G),p≥1 Lebesque uzaylarının tanımlanması gösterildi. Lebesgue integralinin tanımlanmasında kullanılan sıfır olan çokluğun tanımı verilerek equaivalent(eşdeğer) fonksiyonların tanımı verildi. Hemen-hemen her yerde yakınsaklık ve ortalama yakınsaklık tanımlanarak eşdeğer fonksiyonların tanımı verildi. Ek bilgiler kullanılarak Lebesgue integralinin tanımı ve özellikleri gösterildi. Fonksiyonun Riemann integrali ile Lebesgue integrali arasındaki bağlantı gösterildi.
Normlu uzaylar ve normlu uzaylarda analiz üzerine
Bu tezde normlu uzaylar ve normlu uzaylarda analiz ele alınıp incelendi. Normlu uzaylar tanımlandı ve normlu uzaylara örnekler gösterildi. Normlu uzaylarda analizin özellikleri gösterildi. Normlu uzaylarda dizilerin yakınsaklığı tanımlandı. Yakınsak dizilerin özellikleri gösterildi. Ayrı ayrı normlu uzaylarda dizilerin yakınsaklık çeşitleri verildi. Normlu uzaylarda analiz problemleri ele alındı. Normlu uzaylarda açık ve kapalı kümelerin tanımı verildi ve açık ve kapalı kümelere örnekler gösterildi. Sonlu boyutlu uzaylarda normların equvalentliği (eşdeğerliliği) ispatlandı. Riesz lemması yazılıp ispatlandı. Alt uzay elemanları ile yaklaşım problemi ele alındı. En iyi yaklaşım elemanı hakkında teoremler yazılıp ispatlandı. Normlu uzaylarda her yerde yoğun lineer manifoldun tanımı verildi ve örnekler gösterildi. Ortalama ve kesme fonksiyonların tanımı verildi ve onların uygulamaları gösterildi.
Lineer fark denklemleri ve onların çözüm metodları üzerine
Bu tezde, lineer fark denklemlerinin çözüm metodları ele alındı, incelendi ve öğrenildi. Bunun için öncelikle lineer fark denklemlerinin esas anlamları, tanımları ve buradaki işlemlerde kullanılan gerekli temel kavramlar ve teoremler verildi. Tezde genel olarak lineer homojen fark denklemleri, lineer homojen olmayan fark denklemleri, n. mertebeden lineer homojen fark denklemleri ve n. mertebeden lineer homojen olmayan fark denklemleri ele alınıp incelendi. Lineer homojen olmayan fark denklemlerinin çözümünün bulunması için Lagrange'nin sabitlerin varyasyonu metodu uygulandı. Özel olarak sabit katsayılı lineer homojen fark denklemleri ve sabit katsayılı lineer homojen olmayan fark denklemleri ve bu denklemlerin çözümünün bulunması için z- dönüşümü metodunun uygulanması ele alındı.
Lineer diferansiyel operatörler ve onların green fonksiyonunun inşası üzerine
Bu çalışmada, Lineer Diferansiyel Operatörler ve Diferansiyel Operatörün Green Fonksiyonunun İnşaası anlatıldı önce gerekli olan temel tanımlardan Lineer uzay, reel lineer uzay, kompleks lineer uzay, lineer bağımlı eleman, lineer bağımsız eleman, lineer manifold (lineer uzayda alt uzay), lineer operatör, lineer diferansiyel ifade, sınır şartları ve lineer diferansiyel operatörün tanımları yapıldı. Farklı farklı sınır şartlarında l(y) diferansiyel ifadesi farklı farklı L operatörleri doğurduğu anlatıldı. Ters operatörün genel tanımı anlatılarak ters operatörün özellikleri ile ilgili lemmalar ispatlandı. Lineer diferansiyel operatörler için Green fonksiyonunun tanımı yapılarak bir lineer diferansiyel operatörün Green fonksiyonunun inşası yöntemi ve parametre bulunduran sınır değer problemlerinin integral denkleme getirilmesi anlatıldı ve örnekler çözüldü.
Sınırlı ters operatörlü operatör denklemlerin yaklaşık çözüm metodları üzerine
Sürekli dönüştürülebilen operatörler hakkındaki teoremlerin uygulanması ile operatör denklemlerin yaklaşık çözüm metodları ele alındı, incelendi ve öğrenildi. Bunun için öncelikle gerekli olan temel kavramlar ve teoremler incelendi. Parametreye bağlı operatör denklemlerin çözümünde küçük parametreler metodu incelendi. Özel olarak parametreye göre devam metodu ele alındı ve bu metodun uygulanması ile operatör denklemlerin yaklaşık çözüm metodu incelendi.
Kısmi türevli lineer diferansiyel operatörler ve onların green fonksiyonunun inşası üzerine
Bu tezde kısmi türevli lineer diferansiyel operatörlerin Green fonksiyonunun inşası problemi ele alındı incelendi ve öğrenildi. Özellikle ?-fonksiyonun özelliklerinin kullanılmasıyla kısmi türevli lineer diferansiyel denklemler için başlangıç değer , sınır değer-başlangıç değer problemlerinin Green fonksiyonunun inşa yöntemi ele alındı ve incelendi. Bu tezde ?-fonksiyonun tanımı verildi. ?-fonksiyonun Fourier serisine açılımı ve Fourier dönüşümü gösterildi. ?-fonksiyonun Fourier serisine açılımının, Fourier açılımının, Fourier dönüşümünün ve diğer özelliklerinin kullanımı ile ısı iletişimi denklemleri ve dalga denklemleri için başlangıç değer ve sınır değer-başlangıç değer problemlerinin Green fonksiyonları inşa edildi ve ele alınmış problemlerin uygun Green fonksiyonlarının yardımıyla çözümleri yazıldı.
Hiperbolik diferansiyel denklemlerin çözümünde Riemann metodu
Bu tezde verilmiş kaynaklar incelenerek elde edilebilecek yeni sonuçlarla kısmi diferansiyel denklemlerin sınıflandırılıp hiperbolik diferansiyel denklemler için Cauchy ve Goursat problemlerinin çözümü açık integral formüllerle ifade edilmiştir. Buradaki Cauchy ve Goursat problemlerinin çözümünün varlığı ve tekliği, bu problemlerin eşdeğer Volterra integral denklemler sisteminin sürekli çözümünün bulunması problemine getirilip ardışık yaklaşımlar metodu ile çözümü bulunarak ispatlanmıştır. Bu tezde Riemann metodu lineer diferansiyel operatörler için Green formülü kullanılarak verildiğinden burada lineer diferansiyel operatörler için Green formülleri de gereken şekilde verilmiştir. Riemann metodunun açıklanmasında Riemann fonksiyonu önemli bir yer tutar. Tezde Riemann fonksiyonu Cauchy ve Goursat problemleri için gereken şekilde tanımlanmış, Riemann fonksiyonunun özellikleri örneğin simetrikliği ve Riemann fonksiyonunun bulunması yöntemi verilmiş ve ayrı ayrı örneklerde inşa metodu gösterilmiştir.
Birinci mertebeli lineer ve Kuazi-Lineer denklemlerin çözüm metotları
Hazırladığımız bu çalışmada, Birinci Mertebeli Kısmi Türevli Lineer ve Kuazi-Lineer Diferansiyel Denklemlerin çözümü, bu çözümün varlığı, çözüm metotları ve bu denklemlerle bağlı problemler araştırıldı. Birinci Mertebeli Kısmi Türevli Lineer ve Kuazi-Lineer Diferansiyel denklemlerin çözüm metotları incelenerek ayrı ayrı örneklerde çözüm metotlarının uygulaması gösterildi. İki, üç ve n değişkenli Birinci Mertebeli Lineer ve Kuazi-Lineer Diferansiyel Denklemler de ele alındı. Bu denklemlerin genel ve özel çözüm metotlarının bulunması incelendi. Ayrıca bu denklemlerin iki x,y serbest değişkenine bağlı olarak üç boyutlu uzayda oluşturduğu vektör alanlarının, vektör eğrilerinin ve vektör yüzeylerinin bulunması problemlerinin çözüm yöntemi de ele alındı.
Genelleştirilmiş türevler ve Quadratik fonksiyonelin Sobolev uzaylarında minimum problemi üzerine
Bu çalışmada, varyasyon hesabında çok değişkenli fonksiyonlara bağlı ekstremum problemi ele alındığında, bu fonksiyonelin kısmi türevlere bağlı olduğu Euler denklemleri kısmi türevli diferansiyel denklem olur. Böyle kısmi türevli diferansiyel denklemlerin genelleştirilmiş çözümü tanımlanmış ve inşaa yöntemi verilmiştir. Kısmi türevli diferansiyel denklemlerin genelleştirilmiş türev anlamı ele alındı ve tanımı incelendi. Sonra ise Quadratik fonksiyonelin minimum problemi ele alındı. Ele alığımız Quadratik fonksiyonelin minimumunun varlığının ispatında Puankare-Friedrichs eşitsizliği kullanılmıştır. Bu ekstremum probleminin eksremallarının kısmi türevli diferansiyel denklem olan Euler-Ostragnaski denklemi için sınır değer probleminin genelleştirilmiş çözümü olduğu gösterilmiştir.
Galerkin metodu
Bu çalışmada Banach uzaylarında verilmiş operatör denklemlerin Galerkin metodunun uygulanması ile yaklaşık çözümlerinin bulunması gösterildi. Burada önce bazı anlam ve tanımlar verildi. Özellikle Galerkin serilerinin uygulanmasıyla Galerkin approksimasyonunun yakınsaklığı gösterildi. Galerkin approksimasyonunun kararlılık şartı ve Galerkin şemasının yakınsaklığı şartı yazıldı ve incelendi. En küçük kareler metodu Galerkin metodunun uygulanmasıyla ele alındı. Galerkin metodunun varyasyon şekli incelendi. Sonlu elemanlar metodu Galerkin şemasının uygulanması ile ele alındı. Banach uzayında birinci mertebeden diferansiyel denklemler için Cauchy probleminin Galerkin metodunun uygulanması ile yaklaşık çözümü gösterildi. Bu problem Hilbert uzayında ele alındığında ve bu problemdeki operatör lineer öz eşlenik operatör olduğunda Galerkin serilerinin Fourier serilerine dönüştüğü gösterildi ve bu hal için Galerkin metodunun daha sade hal aldığı görüldü.
Hiperbolik ve parabolik denklemlerin çözümünde fourier metodunun uygulanması üzerine
Kısmi türevli diferansiyel denklemler için sınır değer - başlangıç değer problemlerinin çözüm yöntemlerinin öğrenilmesi esas problemlerdendir. Bu çözüm yöntemlerinden en geniş kullanılan yöntemlerden biri de Fourier metodu adlanan değişkenlerine ayırma yöntemidir. Fourier metodunda sınır değer - başlangıç değer probleminin trivial olmayan çözümü her bir değişkene bağlı iki fonksiyonun çarpımı şeklinde aranır. Bu çözüm denklemde yerine yazılmakla bu fonksiyonlar için adi türevli denklemler alınır. Ele alınan problemin sınır ve başlangıç şartlarının dikkate alınmasıyla her bir denklem için uygun şartlar bulunur. Bu tezde hiperbolik ve parabolik tip kısmi türevli diferansiyel denklemler için sınır değer başlangıç değer problemlerinin Fourier metodunun uygulanmasıyla çözümünün bulunması metodu örneklerde öğrenildi ve sınır değer - başlangıç değer probleminin Fourier metodunun ayrı ayrı örnekler üzerinde çözümünün bulunması gösterildi. Hiperbolik ve parabolik tip diferansiyel denklemlerin çözümünde değişkenlere ayırma (Fourier) yöntemini öğrenirken istifade edilmesi gereken kaynaklar kullanıldı.
Varyasyon hesabı problemlerinin çözüm metodları üzerine
Bu tezde normlu uzaylarda tanımlanmış reel değerli fonksiyonellerin şartsız ve şartlı ekstremum problemlerinin (maksimum ve minimum değerlerinin bulunması problemlerinin) çözüm metotları ele alınıp incelendi. Uygulamalarda sık sık rastlanan aşağıdaki fonksiyonellerle bağlı ekstremum problemlerinin çözüm metotları incelendi: F(y)=∫_a^b▒f(x,y,y^' )dx F(y)=∫_a^b▒f(x,y,y^',...,y^((n) ) )dx F(y_1,y_2...,y_n )=∫_a^b▒f(x,y_1,y_2,...,y_n,y_1^',y_2^',...,y_n^' ) dx Bu fonksiyonellerdeki f(...) fonksiyonlar verilmiş fonksiyonlardır. Ama y(x)... ve u(x,y) fonksiyonları uygun fonksiyonellerin argümentleridir. Bu tezde bu tipli fonksiyoneller için şartlı ve şartsız ekstremum problemleri ele alındı ve bu ekstremum problemleri için Euler denklemlerinin bulunması gösterildi. Her bir hal için örnekler gösterildi ve incelendi. Anahtar Kelimeler:Varyasyon Hesabı, Euler Denklemi, Ekstremum Problemi, Fonksiyonel
Olasılık teorisi ve matematiksel istatistiğin elemanları üzerine
Gündelik yaşamımızda, pratik problemlerin çözümünde, ilmi araştırmalarda kesin determinizmin sağlanmadığı hallerle daima karşılaşırız. Doğada karşılaştığımız olaylarda rastlantılığın olgusunu yalnız tespit etmek doğadan istifade etmek için veya bir sıra olayları kontrol etmek için yeterli olmuyor. Olayların miktarca değerlendirilmesi yöntemlerini ve böyle olayların gidişini önceden belirleme metotlarını öğrenmek günceldir. Bu hem pratik hem de teorik problemlerin çözümü için gereklidir. Böyle problemlerin çözümü ve incelenmesi metotları matematiğin iki dalında olasılık teorisi ve matematiksel istatistik dallarında yapılır. Bu tezde olasılık teorisi ve matematiksel istatistiğin esas elemanları ve prensipleri ele alınıp öğrenildi ve birçok örnekte incelenmesi yapıldı. Bu tezde olasılık teorisinin ve matematiksel istatistiğin önemli teoremleri ispatları ile birlikte verildi ve bu esas özellikler örneklerde incelendi. Anahtar Kelimeler: Olasılık Teorisi, İstatistik, Kolerasyon, Tesadüfi Fonksiyonlar
Sıkıştıran operatörler prensibi ve ardışık yaklaşımlar metodu ve onların bazı uygulamaları üzerine
Bu tezde X Banach uzayını X Banach uzayının kendisine dönüştüren lineer ve lineer olmayan A:X→X operatörleri için sıkıştıran operatörler prensibi ele alındı, incelendi ve öğrenildi. Banach uzayında sıkıştıran operatörlü denklemlerin ardışık yaklaşımlar metodu ile çözüm yöntemi ele alındı ve incelendi. Ayrı ayrı örneklerde ardışık yaklaşımlar metodunun uygulanması ile cebirsel lineer denklemlerin, integral denklemlerin, adi türevli diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümünün bulunmaları gösterildi. Anahtar kelimeler: Sıkıştıran operatörler prensibi, Ardışık yaklaşımlar metodu, Operatör denklemler, İntegral denklemler, Diferansiyel denklemler.
Tam analitik fonksiyonlar teorisi üzerine
Bu çalışmada tam analitik fonksiyonların teorisinin esasları verildi.Tam fonksiyonlar ve onların özellikleri kompleks değişkenli fonksiyonlar teorisinde geniş olarak ele alınmamaktadır. Bu tezde tam fonksiyonların özelliklerine bağlı bazı tanım, teorem ve sonuçlar ele alındı. Kompleks düzlemin her bir noktasında yakınsak olan kuvvet serisiyle ifade olunan ve kompleks düzlemin hiçbir sınırlı bölgesinde singüler (tekil) noktası olmayan analitik fonksiyon tam fonksiyon olarak adlandırılır. Tam fonksiyonlar teorisinin metotları lineer sistemlerin birçok problemlerinin incelenmesinde, mesela lineer kontrol sistemlerinin birçok kontrol olunabilirlik problemlerinin incelenmesinde geniş olarak uygulanır. Böylece bu tezde tam analitik fonksiyonlar teorisinin esasları verildi. Anahtar Kelimeler: Analitik Fonksiyonlar, Tam Fonksiyonlar, Wiener-Paley Teoremi, Taylor Serisi.
Normlu uzaylarda ve Banach ve Hilbert uzaylarında elemanların yaklaşım problemleri üzerine
Bu tezde normlu uzaylarda, Banach ve Hilbert uzaylarında elemanların alt uzay elemanları ile yaklaşım problemlerinin açıklanması ele alındı, incelendi ve öğrenildi. Elemanların sonlu boyutlu alt uzay elemanları ile yaklaşımında en iyi yaklaşım elemanının varlığı ele alındı ve incelendi. Güçlü normlu uzaylarda elemanların alt uzay elemanları ile yaklaşımında en iyi yaklaşım elemanının tekliği gösterildi. Normlu uzaylarda her yerde yoğun lineer manifoldlar tanımlandı ve bu tür lineer manifoldlara örnekler gösterildi. Her yerde yoğun lineer manifoldların normlu uzayın elemanlarının bu lineer manifold elemanları ile yaklaşımındaki önemleri gösterildi. Separabel normlu uzaylarda elemanların yaklaşımı ele alınıp incelendi. Hilbert uzaylarında da elemanların alt uzay elemanları ile yaklaşımı ele alınıp incelendi. Özellikle Hilbert uzayında elemanların birçok kabarık (convex) küme elemanları ile yaklaşımında en iyi yaklaşım elemanın varlığı ve tekliği ele anlınıp incelendi. Elemanın Fourier serisine açılımının, Fourier polinomunun verilmiş elemanının en iyi yaklaşım polinomu olduğu gösterildi.