Theses supervised by Prof. Dr. Mehmet Zeki Sarıkaya
18 theses · Düzce University
Beta fonksiyonu içeren hermite-hadamard tipli eşitsizlikler
Bu tezin amacı, Beta fonksiyonu içeren Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler elde ederek, birinci türevlerin mutlak değerleri konveks olan fonksiyonlar kullanarak, literatür de elde edilmiş bazı sonuçları kapsayan Hermite-Hadamard eşitsizliği ve buna bağlı olarak yamuk ve orta nokta tipli eşitsizlikler elde edilir.
İntegral eşitsizlikleri ve uygulamaları
Bu tez iki ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, h-konveks fonksiyonlar için yeni Hermite-Hadamard eşitsizlikleri elde edilmiş ve elde edilen sonuçların bazı özel ortalamalar için uygulaması yapılmıştır. Ayrıca konveks fonksiyonlar için Riemann- Liouville kesirli integralleri içeren yeni Hermite-Hadamard-Mercer tipli eşitsizlikler ispatlanmış ve bu eşitsizliklerin bazı özel ortalamalar için uygulaması yapılmıştır. İkinci bölümde, öncelikle yeni bir konvekslik sınıfı olan (p,φh )-konvekslik tanımlanmış ve özellikleri verilmiştir. Ardından (p,φh)-konveks fonksiyonlar için yeni Hermite Hadamard, Hermite-Hadamard-Fejér, Ostrowski, Jensen ve Jensen-Mercer tipli eşitsizlikler ispatlanmıştır. Son olarak Riemann-Liouville kesirli integralleri aracılığıyla (p,φh)-konveks fonksiyonlar için yeni Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler elde edilmiştir.
Genelleştirilimiş kesirli integraller için integral eşitsizlikleri ve uygulamaları
Bu çalışmanın amacı çeşitli kesirli integraller ile ifade edilen eşitsizlikleri birleştirip genelleştirerek tek forma dönüştürmektir. Tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümü oluşturan giriş kısmında eşitsizlik, konvekslik, konvekslik özelliği olan fonksiyonların sağladığı Hermite-Hadamard eşitsizliği ve kesirli integrallerin ortaya çıkısından günümüze kadar ki gelişimi hakkında bilgiler verilmektedir. İkinci bölümde ise ilk bölümde ortaya çıkışı ve gelişiminden bahsedilen konuların tanımları, aralarındaki ilişkiler ve tezde kullanılan tanım ile teoremler verilmektedir. Orijinal sonuçların başlangıcı olan üçüncü bölümde ise literatürde önemli yere sahip olan Hermite-Hadamard eşitsizliğinin kesirli integraller için genelleştirilmiş ifadesi ve özel fonksiyon seçimleri ile hangi kesirli integralleri genelleştirdiği gösterilmiştir. Bu genelleştirme sınırların değiştirilmesi ile üç farklı formda elde edilmiştir. Her genelleştirmenin farklı sonuçları olmuştur. Dördüncü ve besinci bölümlerde ise Hermite-Hadamard eşitsizliğinin sağ ve sol kısımlarının ifade ettiği Trapezoid ve Midpoint tipli eşitsizliklerinin birinci ve ikinci dereceden diferansiyellenebilir fonksiyonlar için genelleştirilmiş kesirli integraller ile ifadeleri verilmiştir. Altıncı bölümde ise nümerik analizde kullanılan simpson yönteminin cebirsel ifadesi olan Simpson eşitsizliğinin mikroskobik ölçüde daha hassas sonuçlar verebilmeyi sağlatan kesirli integraller ile ifadesinin genelleştirilmiş şekli ve sonuçları verilmiştir.
Opial tipli integral eşitsizlikleri ve uygulamaları
Bu tezin başlıca amacı Opial tipli eşitsizlikler yardımıyla uyumlu kesirli integraller için yeni eşitsizlikler ve genelleştirmelerini oluşturmaktır. Bölüm 2' de tezde kullanılan temel kavramlara yer verilmiştir. İntegraller için bazı temel eşitsizliklerden ve tanımlardan yararlanma yoluna gidilmiştir. Üçüncü bölümde Opial eşitsizliğinin temel ispatının yanı sıra farklı matematikçilerin ispatlarına yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde son 50 yılda literatüre sunulan Opial tipli eşitsizliklerin genelleştirmeleri ve uygulamaları detaylı bir şekilde sunulmuştur. Dördüncü bölümde, uyumlu kesirli integraller için bazı yeni Opial tipli eşitsizlikler ve genelleştirmeleri elde edilmiştir. Bölüm 5' te konvekslikten yararlanılarak uyumlu kesirli integraller için faydalı sonuçlara ulaşılmıştır. Son olarak, altıncı bölümde ise uyumlu kesirli integraller için iki bağımsız değişken içeren Opial tipli eşitsizlikler ve uygulamaları ile ilgili sonuçlara yer verilmiştir. Sonuçlar kısmında ise elde edilen bulgular ile literatüre yapılan katkıya değinilmiştir. Anahtar sözcükler: Konvekslik, Opial eşitsizliği, Uyumlu kesirli integraller, Uyumlu kesirli türev
Konveks fonksiyonlar için olan eşitsizlik kestirimleri
Bu tez çalışması konveks fonksiyonlar ile ilişkili olan bazı önemli eşitsizliklerin kestirimleri üzerine olacaktır. Bu tez beş bölüm olarak hazırlanmış olup bu çalışmanın birinci bölümü giriş niteliğinde olup ikinci bölümde tezin hazırlanmasında kullanılan bazı tanım, teoremler ve önemli eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü bölümde Simpson eşitsizliği ve bunun bir takım uygulamaları incelenmiştir. Dördüncü bölümde ölçülebilir uzayın bölümleri için Jensen eşitsizliği incelenmiştir. Tezin son kısmı olan beşinci bölümde ise bazı sonuçlar ispatlanmış ve sonraki çalışmalar için öneriler verilmiştir.
Euler beta fonksiyonlarını içeren integral eşitsizlikleri ve ortalama eşitsizlikler
Bu tez çalışması Euler beta fonksiyonlarını içeren integral eşitsizlikleri ve ortalama eşitsizlikler üzerine olacaktır. Bu tez beş bölüm olarak hazırlanmış olup bu çalışmanın birinci bölümü giriş niteliğinde olup ikinci bölümde tezin hazırlanmasında kullanılan bazı tanım, teoremler ve önemli eşitsizlikler verilmiştir. Üçüncü bölümde ağırlıklı Jensen eşitsizliği yardımıyla ortalama eşitsizlikler ve bunun bir takım uygulamaları incelenmiştir. Dördüncü bölümde Euler beta fonksiyonlarını içeren integral eşitsizlikleri ve ortalama eşitsizlikler incelenmiştir. Tezin son kısmı olan beşinci bölümde ise bazı sonuçlar ispatlanmış ve sonraki çalışmalar için öneriler verilmiştir.
Koordinatlarda konveks dönüşümler için genişletilmiş hermite-hadamard tipli eşitsizlikler
Bu tez çalışması, koordinatlarda konveks fonksiyonlar için önemli olan bir eşitsizlik elde etmek olup eşitsizliklerin sonucunda Riemann-Liouville kesirli integral ve logaritmik integral için Hermite-Hadamard tipli eşitsizliklerin bir genişlemesi olduğu gösterilecektir. Bu çalışmada ayrıca elde edilen eşitsizliklerin daha önceki çalışmalarda verilen bazı sonuçların genelleştirilmesi olduğu da verilecektir. Anahtar sözcükler: Hermite-Hadamard eşitsizliği, Koordinatlarda konveks fonksiyon, Riemann-Liouville kesirli integral.
Kesirli integraller yardımıyla H-konveks fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler
Bu tez, türevlerinin mutlak değeri H-konveks olan fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipi eşitsizliklerin yardımıyla, bazı diferansiyel dönüşümler için yeni eşitsizlikler elde etmeyi amaçlamaktadır. Bu çalışmanın hedefi, bu yeni eşitsizlikleri kullanarak bu tür fonksiyonlar için daha önce tanımlanmış eşitsizliklerin daha genel bir halini sağlamaktır. Bu tezde elde edilen sonuçlar, önceki çalışmalarda belirtilen sonuçların yanı sıra, bu konuda gelecekte yapılacak araştırmalara da yol gösterici olabilir. Sonuç olarak, bu tez, matematiksel analiz alanında Hermite-Hadamard tipi eşitsizliklerin genişletilmesine katkıda bulunmayı amaçlamaktadır.
Kesirli integralleri içeren yeni integral eşitsizlikleri
Bu tezde, öncelikle iki kez türevlenebilir fonksiyonlar için trapezoid ve orta nokta eşitsizliklerini türetmek amacıyla bir lemma sunulmuştur. Bu lemmadan yararlanarak, ikinci türevlerinin mutlak değeri konveks olan fonksiyonlar için Riemann-Liouville kesirli integralleri kullanarak çeşitli eşitsizlikler kurulmuştur. Bu sonuçlar, önceki çalışmalarda ele alınan Riemann-Liouville kesirli integrallerini içeren orta nokta ve trapezoid eşitsizliklerini genişletmektedir. Ayrıca, ikinci türevlerinin mutlak değerleri konveks olan fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipi eşitsizlikler geliştirilmiştir. Bunu başarmak için, Green fonksiyonunu kullanarak bir özdeşlik türetilmiştir. Bu özdeşliği kullanarak ana sonuçlarımız elde edilmiştir.
Hermıte-hadamard eşitsizlikleri ile ilişkili dönüşümler için sınır hesaplamaları
Bu tezde, ikinci mertebeden diferansiyellenebilen sınırlı fonksiyonlar için orta nokta tipi ve yamuk tipi eşitsizlikleri incelenmiştir. İkinci türevinin alt ve üst sınırları olan fonksiyonlar yardımıyla yeni integral eşitsizlikleri sunulmuştur. Hermite-Hadamard integral eşitsizliğinin iki özel dönüşümle ilişkilendirilmesi ve bu dönüşümlerin sınırlarının hesaplanması üzerine odaklanılmıştır. Ayrıca, Bullen eşitsizliğinin iki ters eşitsizliği, aritmetik ortalama ve logaritmik ortalamaya ilişkin çeşitli uygulamalar sunulmuştur. Anahtar Sözcükler: Hermite-Hadamard Eşitsizliği, Konveks Fonksiyonlar, Ortalamalar
İki katlı integraller için bazı genelleşmiş eşitsizlikler ve uygulamalar
Bu tezin başlıca amacı, iki katlı integralleri kullanarak koordinatlara göre konveks veya farklı tipte sınırlı fonksiyonlar için Hermite-Hadamard tipli ve Ostrowski tipli eşitsizlikler kurmaktır. Bölüm 3'te, ilk olarak ikinci mertebeden kısmi türevli fonksiyonlar için bir özdeşlik kurulmuştur. Daha sonra, bu özdeşliği kullanılarak iki katlı integraller için yeni Ostrowski tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Aynı zamanda, bu Ostrowski tipli eşitsizliklerin Cubature formülü ile bağlantılı bazı uygulamaları verilmiştir. Son olarak, kısmi türevlerinin mutlak değeri koordinatlara göre konveks olan fonksiyonların iki katlı integralleri için Hermite-Hadamard tipli eşitsizlikler incelenmiştir. Bölüm 4'te, dikdörtgensel bir bölgede tanımlı koordinatlar üzerinde konveks olan fonksiyonlar için genelleştirilmiş ağırlıklı integral eşitsizilikleri verilmiştir. Bu sonuçlar kısmi türevlerinin mutlak değerleri konveks olan fonksiyonlar için elde edilen güncel sonuçları genelleştirmektedir. Bölüm 5'te, Lebesgue uzaylarına ait iki boyutlu integraller kullanılarak yüksek mertebeden kısmi türevler içeren ağırlıklı Ostrowski tipli eşitsizlikler kurulmuştur. Daha sonra, bu sonuçlar Cubature formülüne uygulanmıştır. Ek olarak, bu eşitsizlikler yardımıyla rasgele değişkenlerin momentleri üzerine uygulamalar verilmiştir. Son olarak, iki katlı integraller kullanılarak her mertebeden kısmi türevleri koordinatlara göre konveks olan fonksiyonlar için ağırlıklı Hadamard tipli eşitsizlikler elde edilmiştir.
Sınırlı varyasyonlu fonksiyonlar için Ostrowski tipli integral eşitsizlikleri ve uygulamaları
Bu tez çalışması iki ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, öncelikle sınırlı varyasyona sahip tek değişkenli fonksiyonlar için bazı genelleşmiş Ostrowski tipli eşitsizlikler ispatlanmış ve özel durumları incelenmiştir. Bunun yanı sıra, sırasıyla türevi ve türevi sınırlı varyasyonlu fonksiyonlar için bazı genelleşmiş eşitsizlikler elde edilmiştir. Daha sonra kendisi veya türevi sınırlı varyasyona sahip fonksiyonlar için önemli ağırlıklı eşitsizlikler ispatlanmıştır. Ayrıca, nümerik hesaplamaları için bazı formüller verilmiş ve elde edilen eşitsizlikler yardımıyla integrallerin hatalar için üst sınırlar elde edilmiştir. İkinci ana bölümde ise, iki değişkenli sınırlı varyasyonlu fonksiyonlar için bazı Ostrowski tipli eşitsizlikler elde edilmiştir. Ayrıca bu eşitsizliklerin ağırlıklı versiyonları da ispatlanmıştır.
Kesirli integralleri içeren hardy tipli eşitsizlikler
Kesirli türev ve kesirli integral kavramları ilk olarak Liouville tarafından ortaya atılan "türev ve integraller sadece tamsayılar için mi vardır?" sorusuna aranan yanıtla ortaya çıkmıştır. Kesirli türev tanımıyla ilk olarak Euler ilgilenmiştir. Daha sonra sırasıyla Leibniz, Lagrange, Abel, Liouville ve diğer birçok matematikçinin kesirli türev ve integrallerin genelleştirmesine dayalı çalışmaları sayesinde gelişmeye devam etmektedir. Hilbert eşitsizliğinin farklı ve daha kolay bir ispatını yapmak üzere yola çıkan G. H. Hardy, 1920 yılında adıyla bilinen eşitsizliğin integral formunu bulmuştur.1925 yılında da yayınlamış olduğu ünlü makalesinde bu eşitsizliğin diziler için olan formunu ispatlarıyla birlikte sunmuştur. Hardy eşitsizliğinin birçok bilim adamı tarafından farklı koşullar altında çalışılmış olmasının sebebi ise bu eşitsizliğin matematiğin birçok alanında uygulamasının olmasıdır. Hardy eşitsizliği ve genelleştirmesi; adi ve kısmi diferansiyel denklem teorisi, operatör teorisi, fonksiyonel analiz, harmonik analiz, sınır değer problemleri ve matematiksel modelleme vb. matematiğin birçok alanında uygulamalarda önemli bir rol oynar. Ayrıca fizik alanında elektroreolojik akışkanların davranışlarının matematiksel modellemesi gibi farklı bilim dallarında da uygulama imkânı bulmaktadır. Benzer şekilde kesirli türev ve kesirli integrallerin uygulamaları da fizik, kimya, elektrodinamik, aerodinamik ve matematiksel modelleme gibi birçok bilim dalında ortaya çıkmaktadır. İlk bölümde tezimizde kullanacağımız temel kavramlardan, kesirli türev ve integraller ile ilgili genel bilgilerden bahsedilecektir. İkinci bölümde ise tüm bu bilgilerden yararlanarak kesirli integraller içeren Hardy Tipli Eşitsizlikler elde edilecektir. Anahtar sözcükler: Hardy eşitsizliği, k-kesirli integral, Opial eşitsizliği, RiemannLiouville kesirli integral.
New integral inequalities for local fractional integrals and applications
As it is known in mathematics, fractal curves are everywhere continuous but nowhere differentiable. Therefore, classical analysis is inadequate to handle and characterize such curves. Local fractional analysis has become a tool for describing the events on fractals and the behavior of functions that are everywhere continuous but nowhere differentiable. From this point of view, the aim of the thesis is to contribute to the field of local fractional analysis and to solve the deficiencies in the field by obtaining the inequalities which are not existed in the literature related to the theory of local fractional analysis . For this purpose, the thesis consists of four sections. In the first section, the historical process of inequality and local fractional analysis theories is mentioned. In the second section, information is given about the Cantor fractal set studied. In addition, information about the Ra space which is established by Yang and providing a new analysis has been given and the basic theorems and properties for local fractional limit, continuity, derivative, integral defined by using this information have been given. In the third section, by using local fractional integration new inequalities such as Steffensen, Cˇ ebyšev, Grüss are obtained. In the last section, conclusions and recommendations related to this subject are given.
Chebyshev-Grüss tipli eşitsizlikler ve uygulamaları
Chebyshev ve Grüss tipli eşitsizliklerle ilgili olan bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde eşitsizlikler ve eşitsizliklerin tarihi gelişimi kısaca verilmiştir. Ayrıca birinci bölümde literatürde bilinen bazı eşitsizlikler ifade edilmiştir. İkinci bölümde, eşitsizliklerle ilgili genel kavramlar ve Grüss eşitsizliği ifade edilmiştir. Konveks fonksiyon, mutlak süreklilik, integraller için Hölder eşitsizliği, Lebesque integralinin varlık teoremi ve bir çok tanımla birlikte Grüss eşitsizliği tanımlanmıştır. Üçüncü bölümde ise ikinci bölümde verilen tanımlar ve özellikler yardımıyla Ağırlıklı Grüss integral eşitsizliği maddeler halinde ispatı verilmiştir. Dördüncü bölümde ise Chebyshev ve Grüss tipli integral eşitsizliklerinin genelleştirilmesi yapılmıştır.
Quantum integralleri için integral eşitsizlikleri ve uygulamaları
Bu tez çalışması beş ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, quantum integraller için q-Hermite-Hadamard eşitsizlikleri ispatlanmış olup konveks ve quasi-konveks fonksiyonlar için q-orta nokta tipli eşitsizlikler yardımıyla quantum tahminleri elde edilmiştir. Bunun yanında elde edilen sonuçlarda q=1 durumunun klasik sonuçları verdi˘gi gösterilmiştir. İkinci bölümde, q-analizin genelleştirilmesi olan (p,q)-analiz için Hermite-Hadamard eşitsizlikleri ispatlandıktan sonra konveks ve quasi-konveks fonksiyonlar için (p,q)-orta nokta tipli eşitsizlikler kullanılarak quantum tahminleri elde edilmiştir. Buna ek olarak, q=1 ve p = 1 durumunda klasik analizin önceki çalışmaları elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, farklı bir bakış açısı ile quantum integral yeniden tanımlanmıştır. Bu yeni tanım q-integral notasyonu ile temsil edilmiştir. Bununla birlikte, q-integralin özellikleri de ispatlanmıştır. Ayrıca yeni q-integral için q-Hermite-Hadamard integral eşitsizlikleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, q-integral yardımıyla klasik analiz için vazgeçilmez olan Young, Hölder ve Minkowski tipli quantum eşitsizlikler ispatlanmıştır. Bununla birlikte, Ostrowski tipli eşitsizlikler için quantum tahminleri elde edilmiştir. Son bölümde, q-integral kullanılarak q-Gama-Beta fonksiyonlar yeniden tanımlanmıştır. Ayrıca, bu q-Gama-Beta fonksiyonların özellikleriyle birlikte aralarındaki ilişkiye dair sonuçlar elde edilmiştir.
Çok katlı integraller için Ostrowski tipli integral eşitsizlikleri
Bu tezde, iki değişkenli fonksiyonlar için ağırlıklı Montgomery özdeşliğini elde ederek, bu özdeşliğin uygulanması ile elementer analiz kullanılarak iki bağımsız değişkenli fonksiyonları içeren çok katlı integraller için Ostrowski tipli integral eşitsizlikleri vermektir. Anahtar Sözcükler: Hölder eşitsizliği, Montgomery özdeşliği, Ostrowski eşitsizliği.
Genelleştirilmiş Simpson tipli integral eşitsizlikleri
Simpson eşitsizliği Hermite-Hadamard eşitsizliğinden meydana gelen midpoint ile trapeziod ifadelerinden oluşmuş önemli bir eşitsizliktir. Bu tezde amacımız parametreye bağlı Simpson tipli yeni eşitsizlikler elde etmektir. Bunun için ilk olarak çalışmamızda kullanılacak olan bir önemli özdeşlik elde etmek olacaktır. Daha sonrada bu özdeşlik yardımıyla konveks fonksiyonlar kullanılarak genelleştirilmiş Simpson eşitsizlikleri elde edilecektir.