Prof. Dr. Refik Keskin danışmanlığındaki tezler
10 tez · Sakarya University
Matrisler yardımıyla genelleştirilmiş fibonacci ve lucas sayıları ile ilgili özdeşlikler üzerine
Leonardo Fibonacci, Leonardo Pisano veya Pisa'lı Leonard olarak da bilinir. Avrupa orta çağının en genç ve başarılı matematikçisi olarak tanınır. Babası, Fibonacci'ye aile ticaretini takip etmesi ve hesaplama sanatını öğrenmesi için Cezayir'in Bugia şehrinde ilk eğitimini aldırır. Burada Fibonacci Hint-Arap hesap teknikleriyle tanışır. Hint-Arap sistemindeki matematiksel hesaplamaların nasıl yapıldığını açıklayan Liber Abaci kitabını yazar. Şüphesiz ki Fibonacci'yi tanınır yapan Liber Abaci kitabında bahsettiği 1,1,2,3,5,8,13,21,… sayı dizisidir. Bu sayı dizisi Fibonacci dizisi olarak bilinir. Bu dizi elemanlarına Fibonacci sayıları denir. Başlangıç koşulları farklı seçildiğinde oluşan 2,1,3,4,7,11,18,… sayı dizisine ise Lucas dizisi denir. Literatürde bu iki dizi ile ilgili yapılan çalışmalar sonucunda birçok özdeşlik elde edilmiştir. Bu özdeşliklerin ispatında matrislerden, matematiksel tümevarımdan ve Binet formüllerinden yararlanılmıştır. Birinci bölümde çalışmanın içeriği hakkında bazı bilgiler kısaca verilmiştir. Ayrıca karesel matrisler ile ilgili literatürde bulunan bazı çalışmalar tanıtılmıştır ve alınan matrislerin genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilgili özdeşliklerin türetilmesinde nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarının tanımları verilmiştir. Daha sonra bu sayılarla ilgili bazı özelliklere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak terimleri {0,1,±a,±b,a+b,-ab} olan 2×2 boyutlu matrisler seçilerek bu matrislerin n. kuvveti hesaplanmıştır. Hesaplamalar yapılırken seçilen kare matrislerin özdeğerleri ve özvektörleri kullanılarak köşegenleştirilip n. kuvvetleri hesaplanmıştır. Daha sonra buradan hareketle elde edilen matrislerle genelleştirilmiş Fibonacci sayısı ve genelleştirilmiş Lucas sayısı olan bazı yeni 2×2 boyutlu matrisler elde edilmiştir. Daha sonra terimleri {0,1,±k,t,2t,±kt,k^2+2t} olan bazı 2×2 boyutlu matrisler seçilerek bu matrislerinde n. kuvveti hesaplanmıştır. Elde edilen bu matrisler yardımıyla da yukarıda verilen özdeşliklere benzer yeni özdeşlikler elde edilmiştir. Dördüncü bölümde ise 3×3 boyutlu matrislere yer verilmiştir. Bu bölümde bazı kaynaklardan alınan 3×3 boyutlu matrislerin özdeşlik elde etmede nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir. Daha sonra 3×3 boyutlu bazı matrisler verilip n. kuvvetleri köşegenleştirme yöntemi kullanılarak hesaplanmıştır. Bu matrisler yeni özdeşlikler elde etmek için kullanılmıştır. Bu özdeşliklerden bazıları aşağıda verilmiştir. Beşinci bölümde sonuç ve öneriler yer almaktadır.
Bachet Diyofant denkleminin cebirsel sayılar teorisi ile çözümü
Anahtar kelimeler: Cebirsel sayılar, Cebirsel sayı cisimleri, Dedekind bölgeleri, Cebirsel tamsayılar halkası, Kesir idealleri, Temel birim, Sınıf sayısı, Bachet denklemi Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde halka, ideal, tamlık bölgeleri ve Noetherian bölgeleri ile ilgili bazı tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde cebirsel sayılar, cebirsel sayı cisimleri ve cebirsel cisim genişlemeleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde Dedekind bölgelesi, kesir ideali, temel birim ve sınıf sayısı tanımları yapılmıştır. Dedekind bölgelerinde idealler için en büyük ortak bölen ve en küçük ortak kat tanımları verilmiştir. Daha sonra en büyük ortan bölen ve en küçük ortak kat ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde Bachet denklemlerinin çözümünün olup olmadığı, varsa bu çözümlerin neler olduğu araştırılmıştır. Beşinci bölüm, sonuç ve önerilerden oluşmaktadır.
x^2+Dy^2 biçiminde yazılabilen asal sayılar
Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölüm kuadratik rezidülere ayrılmıştır. Kuadratik rezidü tanımı yapılarak konuyla ilgili teoremler ifade edilmiştir. Üçüncü bölüm çalışmanın ana bölümünü oluşturmaktadır. Bu bölümde bazı D doğal sayıları için x^2+Dy^2 biçiminde yazılabilen asal sayılar karakterize edilmiştir. Ayrıca uygun sayı tanımı verilerek uygun sayılarla ilgili bazı teoremler verilmiştir. Dördüncü bölüm sonuç ve önerilerden oluşmaktadır.
Heron üçgenleri
Bu tez sekiz bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; Heron üçgenleri ile ilgili geçmişte yapılan araştırmalar, temel tanım ve teoremler verildi. İkinci bölümde; Heron alan formülünün cebirsel, trigonometrik, geometrik açıdan ispatları derlendi. Üçüncü bölümde; Heron üçgenleri ile ilgili en temel özellikler tanım ve teoremlerle ifade edildi. Dördüncü bölümde; Heron üçgenlerinin alan ve çevre özellikleri ile ilgili teoremler verildi. Beşinci bölümde; ardışık kenarlı Heron üçgenleri ile kenarları aritmetik dizi olan Heron üçgenleri araştırıldı. Altıncı bölümde; Heron üçgenlerinin iç teğet çemberinin yarı çapı ve çevrel çemberinin yarıçapı ile ilgili teoremler verildi. Ayrıca, Heron üçgenlerinin iç teğet çemberinin yarıçapının, çevrel çemberinin yarıçapının, dış teğet çemberlerinin yarıçaplarının ve yüksekliklerin tamsayı olma durumları incelendi. Yedinci bölümde; "(a,b,c) üçgeni Heron ise (s-a,s-b,s-c) üçgeni de Heron mudur?" sorusunun cevabı araştırıldı. Sekizinci bölümde; Heron üçgenlerinin ailesi verildi.
Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri ve bazı uygulamaları
Bu çalışmanın amacı, Fibonacci ve Lucas dizilerinin genelleştirmeleri olan U_n , V_n ve u_n , v_n dizilerini incelemek ve bu dizilerin özelliklerini kullanarak bazı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümlerini araştırmaktır.İlk bölümde, Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Ayrıca bu sayı dizilerinin elemanlarının bölünebilme özellikleri ispatlandı.İkinci bölümde genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizilerinin tanımları verildi. Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileriyle ilgili bilinen özdeşliklerin yanında, bazı yeni özdeşliklerin de verildiği teoremler ispatlandı. Daha sonra genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları ile bazı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümleri arasındaki bağlantılar karakterize edildi.Üçüncü bölümde U_n , V_n ve u_n , v_n dizilerinin elemanlarının bölünebilme özellikleri ispatlandı.Dördüncü bölümde ise, elemanları genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayıları olan matrisler kullanılarak bazı özdeşlikler elde edildi. Bu özdeşliklerden hareketle, farklı Diophantine denklemlerinin tüm tamsayı çözümlerinin elde edildiği teoremler verildi.
Üçgensel sayılar
Bu tez temel olarak iki bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; üçgensel sayılar tanıtılarak bunların nasıl ortaya çıktığına ve önemli bir takım özelliklerine yer verilmiştir. Ayrıca üçgensel sayıların özelliklerinden elde edilen bazı denklemlerin çözümlerinin karakterizasyonu yapılmıştır.İkinci bölümde kare-üçgensel sayılar tanıtılarak bu sayıların Pell, Pell-Lucas sayı dizileri ile, {un}, {vn}, {yn},dizileri arasındaki yakın ilişkiden bahsedilmiştir. Kare-üçgensel sayıları elde etmede kullanılan formül daha basit olarak bazı Diophantine denklemlerinin çözümleri yoluyla ispatlanmıştır. Pell, Pell-Lucas dizileri ile {un}, {vn} dizilerinin monoton artanlıkları, kongrüans özellikleri ve bölünebilme özellikleri verilmiş ve bu özellikler yardımıyla yeni teoremler ispatlanmıştır. Bazı Diophantine denklemleri daha basit hale getirilerek çözümleri karakterize edilmiş ve bu çözümlerin {un} ve {yn} dizilerinden oluştuğu ispat edilmiştir. Ayrıca, n>1 ve m>1 için ynym=yr olacak biçimde r doğal sayısının mevcut olmadığı gösterilmiştir.
Fibonacci ve lucas serileri
Anahtar kelimeler: Fibonacci sayıları, Lucas sayıları, Binet formülü, Fibonacci serileri, Lucas serileri, Fibonacci toplamları, Lucas toplamları.Bu çalışmada Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren seriler ile Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren toplamlar ele alındı. 1. bölümde Fibonacci ve Lucas sayılarıyla ilgili temel tanım ve teoremler verildi. 2. bölümde Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren seriler ele alındı. Son bölümde ise Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren toplamlar ele alındı. Buradaki toplamlar genellikle ve bunlara benzer olan toplamlardır.
Reel kuadratik cisimlerde birimler
Anahtar kelimeler: Temel Birim, Sürekli Kesirler, Sonsuz Sürekli Kesirler, Periyodik Sonsuz Sürekli Kesirler, Tamamıyla Periyodik Sürekli Kesirler, Fibonacci Sayıları, Lucas Sayıları, Pell ve Pell-Lucas Sayıları, Diophantine DenklemleriBu çalışma 5 bölümden ibaret olup,Birinci bölümde ileriki bölümlerde kullanılacak bazı temel tanım ve teoremler verildi.İkinci bölümde real kuadratik cisimlerde birimler incelendi.Üçüncü bölümde sonlu sürekli kesirler, sonsuz sürekli kesirler, periyodik sonsuz sürekli kesirler, tamamıyla periyodik sürekli kesirler ve ?d' nin sürekli kesirlere açılımı incelenmiştir.Dördüncü bölümde temel birim hesaplandı.Beşinci bölümde bazı Diophantine denklemlerinin çözümleri verildi.
Pell Denklemleri
Bu tez temel olarak dört bölümden ve bu bölümler de kendi içerisinde alt bölümlerden oluşmuştur. Birinci bölümde; öncelikle sayılar teorisi ile ilgili temel tanımlar ve teoremler verildi. Bu bölümün ikinci kısımında da sürekli kesirler hakkında bilgi verildi. ?d' nin sürekli kesir açılımının nasıl elde edileceği gösterildi.İkinci bölümde; Pell denklemleri hakkında öncelikle kısa bir bilgi verildikten sonra genel olarak x^2-dy^2=±1 ve x^2-dy^2=±N Pell denklemlerinin pozitif tamsayı çözümleri üzerinde duruldu. Pell denklemlerinin temel çözümünün tanımı verilerek sürekli kesir yaklaşımları yardımıyla nasıl hesaplanabileciği üzerinde duruldu. Bulunan temel çözümler ile de Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerinin nasıl elde edileceği gösterildi. x^2-dy^2=1 Pell denkleminin çözümlerini sürekli kesir yaklaşımları yardımıyla hesaplamak için alternatif olarak Bhaskara'nın methodundan bahsedildi.Üçüncü bölümde; x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin temel çözümlerinin nasıl elde edilebileceği hakkında bilgi verildi. Ayrıca, elde edilen temel çözümler yardımıyla x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerini elde etmek için gerekli olan formüller verildi.Son olarak dördüncü bölümde; k pozitif tamsayı ve d?{k^2±4,k^2±1} olmak üzere x^2-dy^2=±1 ve x^2-dy^2=±4 Pell denklemlerinin bir çözümü varsa denklemlerin tüm pozitif tamsayı çözümleri genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas dizileri ile verildi. Özel olarak x^2-5y^2=±1 ve x^2-5y^2=±4 Pell denklemlerinin tüm pozitif tamsayı çözümlerinin Fibonacci ve Lucas sayılarına karşılık geldiği gösterildi.
Genelleştirilmiş Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren bazı özdeşlikler ve diofant denklemleri
In the first chapter, firstly, Fibonacci and Lucas numbers are mentioned briefly. Also the definitions of the generalized Fibonacci and Lucas sequences are given. Then, the review of the literature concerning generalized Fibonacci and Lucas sequences are given.In the second chapter, some identities and summation formulas containing generalized Fibonacci and Lucas numbers are obtained. Some of them are well known while the remaining ones new. Using some of these identities and summation formulas, it is given some congruences concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers such as,and.Fibonacci and Lucas numbers of the form are determined after some fundamental theorems and identities concerning Fibonacci and Lucas numbers are given in the third chapter.In the fourth chapter, generalized Fibonacci and Lucas numbers of the form are determined under some assumptions using congruences concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers given in the second chapter.Key Words: Fibonacci and Lucas Numbers, Generalized Fibonacci and Lucas Numbers, Congruences, Diophantine Equations.