Theses supervised by Prof. Dr. Salim Yüce
19 theses · Yıldız Technical University
Fibonacci vektörlerin öklid, kompleks ve lorentz geometrisi
Bu tezde Fibonacci vektörler, genelleştirilmiş Fibonacci vektörler, özellikleri, Fibonacci vektörler için Öklid anlamında iç çarpım, vektörel çarpım ve karma çarpım ele alınmıştır. Çalışma altı temel bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde literatür özeti ve tezin amacı verilmiştir. İkinci bölümde tezin içinde kullanılacak olan temel kavramlar anlatılmıştır. Tezin orijinal kısımlarından biri olan üçüncü bölümde ise anti-simetrik matris yardımıyla Fibonacci 3-vektörler için Öklid anlamında vektörel çarpım yeniden ele alınmış, Fibonacci 4-vektörler ve Fibonacci 7-vektörler için Öklid anlamında vektörel çarpım ve karma çarpım tanımlanmıştır. Ayrıca Fibonacci 7-vektörler için vektörel çarpım anti-simetrik matris yardımıyla tekrar elde edilmiştir. Dördüncü bölüm tezin bir diğer orijinal kısmı olup kompleks Fibonacci 3-vektörler incelenmiş ve vektörel çarpım tanımlanmıştır. Tezin yine orijinal kısımlarından biri olan beşinci bölümde ise Fibonacci 3-vektörlerin, Fibonacci 4-vektörlerin ve Fibonacci 7-vektörlerin Lorentz geometrisi incelenmiştir. Son olarak altıncı bölümde ise sonuç ve öneriler verilmiştir.
Dual kuaterniyon katsayılı matrisler
Bu çalışmada, ilk olarak, D dual sayılar kümesi olmak üzere, Mn(HD) dual kuaterniyon matrislerin kümesinin, HD dual kuaterniyon halkası üzerinde n2 boyutlu bir modül olduğu ve ikinci olarak, Mn(R) reel matris halkası üzerinde 4 boyutlu bir modül olduğu gösterilmiştir. Ayrıca dual kuaterniyon matrisleri kümesi üzerinde, toplama, çarpma, eşlenik, transpoz, eşlenik transpoz, ters, kuvvet ve iz gibi özellikler incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar, dual kuaterniyonların sahip olduğu özelliklerle karşılaştırılmıştır. İlaveten, dual kuaterniyon matrislerin reel matris temsilleri ve bu temsillerin özellikleri incelenmiştir. Bu temsiller dual kuaterniyon matrislerin determinantını ve tersini bulmada uygulanmıştır. Ayrıca, bu matrislerin determinantını ve tersini bulmada farklı tipte yöntemler tanımlanmıştır. Son olarak, elde edilen sonuçlarla ilgili örnekler Matlab kullanılarak da çözülmüştür.
3-boyutlu Galile uzayında kinematik
Literatürde, Holditch teoremi, periyodik dönme ile öteleme veya periyodik kayma (shear) ile öteleme hareketleri altında incelenmiştir. Bu tezde, ilk olarak, G^3 Galile Uzayında Galile uzay hareketleri tanımlanmıştır. Sonra, G^3 Galile Uzayında Galile uzay hareketleri altında bir noktanın hız formülleri elde edilmiştir. İkinci olarak, G^3 Galile Uzayında Galile uzay hareketleri altında (yani dönme, öteleme ve kayma hareketleri altında) hacimler için Holditch tipi-teoremler incelenmiştir. Son olarak, G^3 Galile Uzayında Galile uzay hareketleri altında (yani dönme, öteleme ve kayma hareketleri altında) alanlar için Holditch tipi-teoremler çalışılmıştır.
Galilean düzleminde hareketli koordinat sistemi ve Euler Savary formülü
Bu tezde Yaglom, [6] tarafından verilen Galilean geometrinin temel bilgileri açık ve anlaşılır bir şekilde anlatıldı. Sonra bu geometride bir parametreli düzlemsel Galilean Hareket konusu incelendi, [7]. Daha sonra ise birbirleri üzerinde hareket eden üç Galilean düzlem göz önüne alınarak bu hareketlerin mutlak, relatif ve sürüklenme hızları elde edildi. Ayrıca bir parametreli düzlemsel Galilean hareketler için kanonik izafe sistemi tanımlandı. Buna ek olarak bu izafe sistemi yardımı ile elde edilen yörünge eğrilerinin eğrilikleri arasındaki ilişkiyi veren Euler-Savary Formülü hesaplandı.
Lorentz matris çarpımı ve dual matrislerin özellikleri
Bu çalışma sekiz bölüm ve üç ek bölümden oluşmaktadır:Birinci bölümde literatür özeti ve tezin amacı belirtilmiştir. İkinci bölümde, matris uzayında Lorentz matris çarpımı, üçüncü bölümde Dual uzaylar, dördüncü bölümde ise Dual Matris Uzayı incelenmiştir.Tezin orijinal kısımları olan beşinci, altıncı ve yedinci bölümlerinde ise sırasıyla; matris uzayında Lorentz matris çarpımının özellikleri, dual Lorentz uzayı, matris uzayında Lorentz Matris çarpımı incelenmiştir.Bununla birlikte, Ek-A, Ek-B, Ek-C ile verilen kısımlarda ise Genelleştirilmiş kompleks sayılar, Lorentz Uzayı ve Üstel Matrisler ile ilgili temel bilgiler ayrıntılı olarak verilmiştir.
Dual kuaterniyon uzayının fonksiyonel analizi
Bu çalışmada ilk olarak literatürde yer alan reel vektör uzayının iki farklı kompleksleştirilmesi, buna benzer olarak kompleks vektör uzayının iki farklı kuaternizasyonu verilerek, kompleks kuaterniyon vektör uzayları için fonksiyonel analizin bazı temel tanım ve kavramlarından bahsedilmiştir. Tezimizin orijinal bölümünde ise, reel vektör uzayının dual sayılar halkası yardımıyla dualleştirilmesi ve buna paralel olarak, reel vektör uzaylarının dual kuaternizasyonlar yardımıyla kuaternizasyonlaştırılması incelenerek, dual kuaterniyon modül yapısı elde edilmiştir. Ayrıca, elde edilen bu dual kuaterniyon modül yapısı üzerindeki yarı norm, yarı Banach ve yarı Hilbert modülün bazı temel tanım ve kavramları elde edilmiştir.
Darboux çatılı regle yüzeylerin karakteristik özellikleri
Bu tezde Darboux çatılı regle yüzeyler ve karakteristik özellikleri konu alınmıştır. Çalışma beş temel bölüm ve iki ek bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde literatür özeti ve tezin amacı verilmiştir. İkinci bölümde tezin bütününde kullanılacak olan temel kavramlar anlatılmıştır. Üçüncü bölümde ise regle yüzeyler ele alınmıştır. Tezin orijinal kısmı olan dördüncü bölümde ise regle yüzeylerde Darboux çatı tanımlanmış ve Darboux çatıya bağlı olarak regle yüzeyin karakteristik özellikleri incelenmiştir. Yüzey üzerindeki Darboux çatısı ile Frenet çatısı arasındaki ilişki verilmiştir. Beşinci bölümde ise çalışmanın genel özeti ile birlikte bundan sonraki çalışmalar ile ilgili yol gösterilmiştir. Tezin ilk ek kısmı EK-A da üçüncü bölümde temel bilgi olarak kullanılan parametreli uzay hareketleri, EK-Bde ise tezin tamamı ile ilgili temel analiz bilgileri verilmiştir.
Darboux çatılı regle yüzeylerin karakteristik özellikleri
Bu tezde Darboux çatılı regle yüzeyler ve karakteristik özellikleri konu alınmıştır. Çalışma beş temel bölüm ve iki ek bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde literatür özeti ve tezin amacı verilmiştir. İkinci bölümde tezin bütününde kullanılacak olan temel kavramlar anlatılmıştır. Üçüncü bölümde ise regle yüzeyler ele alınmıştır. Tezin orijinal kısmı olan dördüncü bölümde ise regle yüzeylerde Darboux çatı tanımlanmış ve Darboux çatıya bağlı olarak regle yüzeyin karakteristik özellikleri incelenmiştir. Yüzey üzerindeki Darboux çatısı ile Frenet çatısı arasındaki ilişki verilmiştir. Beşinci bölümde ise çalışmanın genel özeti ile birlikte bundan sonraki çalışmalar ile ilgili yol gösterilmiştir. Tezin ilk ek kısmı EK-A da üçüncü bölümde temel bilgi olarak kullanılan parametreli uzay hareketleri, EK-Bde ise tezin tamamı ile ilgili temel analiz bilgileri verilmiştir.
Darboux çatılı regle yüzeylerin karakteristik özellikleri
Bu tezde Darboux çatılı regle yüzeyler ve karakteristik özellikleri konu alınmıştır. Çalışma beş temel bölüm ve iki ek bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde literatür özeti ve tezin amacı verilmiştir. İkinci bölümde tezin bütününde kullanılacak olan temel kavramlar anlatılmıştır. Üçüncü bölümde ise regle yüzeyler ele alınmıştır. Tezin orijinal kısmı olan dördüncü bölümde ise regle yüzeylerde Darboux çatı tanımlanmış ve Darboux çatıya bağlı olarak regle yüzeyin karakteristik özellikleri incelenmiştir. Yüzey üzerindeki Darboux çatısı ile Frenet çatısı arasındaki ilişki verilmiştir. Beşinci bölümde ise çalışmanın genel özeti ile birlikte bundan sonraki çalışmalar ile ilgili yol gösterilmiştir. Tezin ilk ek kısmı EK-A da üçüncü bölümde temel bilgi olarak kullanılan parametreli uzay hareketleri, EK-Bde ise tezin tamamı ile ilgili temel analiz bilgileri verilmiştir.
Lorentz matris çarpımı ve dual matrislerin özellikleri
Bu çalışma sekiz bölüm ve üç ek bölümden oluşmaktadır:Birinci bölümde literatür özeti ve tezin amacı belirtilmiştir. İkinci bölümde, matris uzayında Lorentz matris çarpımı, üçüncü bölümde Dual uzaylar, dördüncü bölümde ise Dual Matris Uzayı incelenmiştir.Tezin orijinal kısımları olan beşinci, altıncı ve yedinci bölümlerinde ise sırasıyla; matris uzayında Lorentz matris çarpımının özellikleri, dual Lorentz uzayı, matris uzayında Lorentz Matris çarpımı incelenmiştir.Bununla birlikte, Ek-A, Ek-B, Ek-C ile verilen kısımlarda ise Genelleştirilmiş kompleks sayılar, Lorentz Uzayı ve Üstel Matrisler ile ilgili temel bilgiler ayrıntılı olarak verilmiştir.
Oktoniyonik eğriler ve karakteristik özellikleri
7 boyutlu Öklid uzayındaki bir eğrinin Serret-Frenet formülleri O p uzaysal oktoniyonik uzayında uzaysal oktoniyonlar kullanılarak tekrar elde edilmiştir. Elde edilen Serret-Frenet formülleri kullanılarak O oktoniyonik uzayındaki oktoniyonik eğrilerin Serret-Frenet formülleri verilmiştir. Daha sonra oktoniyonik eğriler için bulunan Serret-Frenet formülleri göz önünde bulundurularak O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğriler için oktoniyonik eğilim çizgisi ve oktoniyonik harmonik eğrilik ifadeleri tanıtılmış ve oktoniyonik harmonik eğrilikler oktoniyonik eğrilerin eğrilikleri cinsinden elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğrilerin birer oktoniyonik eğilim çizgileri olmaları için gerek ve yeter şartlar verilmiştir. Ayrıca, uzaysal oktoniyonik eğilim çizgisinden elde edilen bir oktoniyonik eğrinin de eğilim çizgisi olduğu gösterilmiştir. Son olarak, O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğrilerin oktoniyonik harmonik eğrilikleri ile eğrilikleri arasındaki ilişkiler verilmiştir.
Oktoniyonik eğriler ve karakteristik özellikleri
7 boyutlu Öklid uzayındaki bir eğrinin Serret-Frenet formülleri O p uzaysal oktoniyonik uzayında uzaysal oktoniyonlar kullanılarak tekrar elde edilmiştir. Elde edilen Serret-Frenet formülleri kullanılarak O oktoniyonik uzayındaki oktoniyonik eğrilerin Serret-Frenet formülleri verilmiştir. Daha sonra oktoniyonik eğriler için bulunan Serret-Frenet formülleri göz önünde bulundurularak O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğriler için oktoniyonik eğilim çizgisi ve oktoniyonik harmonik eğrilik ifadeleri tanıtılmış ve oktoniyonik harmonik eğrilikler oktoniyonik eğrilerin eğrilikleri cinsinden elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğrilerin birer oktoniyonik eğilim çizgileri olmaları için gerek ve yeter şartlar verilmiştir. Ayrıca, uzaysal oktoniyonik eğilim çizgisinden elde edilen bir oktoniyonik eğrinin de eğilim çizgisi olduğu gösterilmiştir. Son olarak, O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğrilerin oktoniyonik harmonik eğrilikleri ile eğrilikleri arasındaki ilişkiler verilmiştir.
Oktoniyonik eğriler ve karakteristik özellikleri
7 boyutlu Öklid uzayındaki bir eğrinin Serret-Frenet formülleri O p uzaysal oktoniyonik uzayında uzaysal oktoniyonlar kullanılarak tekrar elde edilmiştir. Elde edilen Serret-Frenet formülleri kullanılarak O oktoniyonik uzayındaki oktoniyonik eğrilerin Serret-Frenet formülleri verilmiştir. Daha sonra oktoniyonik eğriler için bulunan Serret-Frenet formülleri göz önünde bulundurularak O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğriler için oktoniyonik eğilim çizgisi ve oktoniyonik harmonik eğrilik ifadeleri tanıtılmış ve oktoniyonik harmonik eğrilikler oktoniyonik eğrilerin eğrilikleri cinsinden elde edilmiştir. Bunlara ek olarak, O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğrilerin birer oktoniyonik eğilim çizgileri olmaları için gerek ve yeter şartlar verilmiştir. Ayrıca, uzaysal oktoniyonik eğilim çizgisinden elde edilen bir oktoniyonik eğrinin de eğilim çizgisi olduğu gösterilmiştir. Son olarak, O p ve O oktoniyonik uzaylarındaki oktoniyonik eğrilerin oktoniyonik harmonik eğrilikleri ile eğrilikleri arasındaki ilişkiler verilmiştir.
Düzlemsel homotetik hareketler altında kapalı yörünge eğrisinin kutupsal atalet momenti için Holditch-tipi teoremler
Holditch, H. [1], aşağıdaki önemli teoremi vermiştir:Öklid düzleminde sabit uzunluklu bir doğru parçasının ve uç noktaları bir ovali boyunca bir defa dolandığında; doğru parçası üzerinde tespit edilen bir noktası da genellikle konveks olması gerekmeyen kapalı bir eğrisini çizer. Bu ovali ile eğrisi arasında kalan ?Holditch Halkası? nın yüzey alanı,dir. Blaschke, W., Müller H. R. [3], klasik Holditch Teoremi'nin aşağıdaki genelleştirilmesini vermiştir:1-parametreli dönme sayılı kapalı düzlemsel hareketler altında bir doğru parçasının ve uç noktaları sırasıyla ve kapalı eğrilerini çizdiğinde, ve noktaları ile doğrudaş bir noktası da kapalı fakat genellikle konveks olması gerekmeyen bir eğrisini çizer. ve noktalarının çizdiği eğrilerin yörünge alanları sırasıyla ve olmak üzere bu alanlar arasında şeklinde bir bağıntı vardır.Bu çalışmada, Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen 1-parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında doğrudaş olmayan üç noktanın kutupsal atalet momentleri için Holditch Tipi Teoremlerin homotetik hareketlerdeki karşılığı araştırılmıştır.Anahtar Kelimeler: Holditch Teoremi, Homotetik Hareket, Kutupsal Atalet Momenti.
Düzlemsel homotetik hareketler altında kapalı yörünge eğrisinin kutupsal atalet momenti için Holditch-tipi teoremler
Holditch, H. [1], aşağıdaki önemli teoremi vermiştir:Öklid düzleminde sabit uzunluklu bir doğru parçasının ve uç noktaları bir ovali boyunca bir defa dolandığında; doğru parçası üzerinde tespit edilen bir noktası da genellikle konveks olması gerekmeyen kapalı bir eğrisini çizer. Bu ovali ile eğrisi arasında kalan ?Holditch Halkası? nın yüzey alanı,dir. Blaschke, W., Müller H. R. [3], klasik Holditch Teoremi'nin aşağıdaki genelleştirilmesini vermiştir:1-parametreli dönme sayılı kapalı düzlemsel hareketler altında bir doğru parçasının ve uç noktaları sırasıyla ve kapalı eğrilerini çizdiğinde, ve noktaları ile doğrudaş bir noktası da kapalı fakat genellikle konveks olması gerekmeyen bir eğrisini çizer. ve noktalarının çizdiği eğrilerin yörünge alanları sırasıyla ve olmak üzere bu alanlar arasında şeklinde bir bağıntı vardır.Bu çalışmada, Yüce, S., Düldül, M. ve Kuruoğlu, N. [7] tarafından verilen 1-parametreli kapalı düzlemsel hareketler altında doğrudaş olmayan üç noktanın kutupsal atalet momentleri için Holditch Tipi Teoremlerin homotetik hareketlerdeki karşılığı araştırılmıştır.Anahtar Kelimeler: Holditch Teoremi, Homotetik Hareket, Kutupsal Atalet Momenti.
Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler
Bu tez on temel bölüm ve iki ek bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmış olup bu bölümde literatür özeti, tezin amacı ve orijinal katkı verilmiştir. İkinci bölümde, tezin bütünü için gerekli olan temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde, sırasıyla, bir zaman parametresine bağlı olarak Öklid, Lorentz ve Galile düzlemlerde 1-parametreli düzlemsel hareketler ifade edilmiştir. Ayrıca, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar, pol noktaları, ivmeler ve ivme polü kavramları ele alınmıştır. Altıncı bölümde, "bir doğru üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık ölçümü" ve "bir noktadan geçen doğrular arasındaki açı ölçümü" kavramlarıyla tanımlanan Cayley-Klein dokuz düzlem geometrisi ayrıntılı bir biçimde tanıtılmıştır. Bu kavramlar eliptik, parabolik, hiperbolik açı ve uzunluk ölçümleri olup düzlemde Cayley-Klein anlamda 9 geometrinin sınıflandırılması I. M. Yaglom un "A simple non-Euclidean Geometry and its Physical Basis" kitabı esas alınarak verilmiştir [16] . Daha sonra Afin Cayley-Klein düzlem kavramı verilmiş ve bu düzlemlerde bazı lineer cebir ve diferansiyel geometri kavramları açıklığa kavuşturulmuştur. Bu düzlemler genel olarak olarak isimlendirilmiştir. Yedinci ve daha sonraki temel bölümler tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Yedinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler incelenmiş, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar-hızların terkibi, pol noktaları, ivmeler-ivmelerin terkibi ve ivme polü elde edilmiştir. Sekizinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler altında hareketli koordinat sistemi ele alınmıştır. Dokuzuncu bölümde, yedinci ve sekizinci bölümde verilen 1-parametreli hareketler ve hareketli koordinat sistemi kavramlarından faydalanılarak kanonik izafe sistemi elde edilmiştir. Bu izafe sistem yardımıyla hareket altında yörünge eğrilerinin eğrilikleri arasındaki ilişkiyi veren Euler-Savary formülü hesaplanmıştır. Onuncu bölüm olan son bölümde orijinal bölümlerde elde edilen sonuçlardan bahsedilmiş ve gelecek çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur. Tezin ek kısımlarında ise, tez bütününde ihtiyaç duyulan Lorentz ve Galile düzlemlerine ait temel kavramlara yer verilmiştir.
Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler
Bu tez on temel bölüm ve iki ek bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmış olup bu bölümde literatür özeti, tezin amacı ve orijinal katkı verilmiştir. İkinci bölümde, tezin bütünü için gerekli olan temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde, sırasıyla, bir zaman parametresine bağlı olarak Öklid, Lorentz ve Galile düzlemlerde 1-parametreli düzlemsel hareketler ifade edilmiştir. Ayrıca, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar, pol noktaları, ivmeler ve ivme polü kavramları ele alınmıştır. Altıncı bölümde, "bir doğru üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık ölçümü" ve "bir noktadan geçen doğrular arasındaki açı ölçümü" kavramlarıyla tanımlanan Cayley-Klein dokuz düzlem geometrisi ayrıntılı bir biçimde tanıtılmıştır. Bu kavramlar eliptik, parabolik, hiperbolik açı ve uzunluk ölçümleri olup düzlemde Cayley-Klein anlamda 9 geometrinin sınıflandırılması I. M. Yaglom un "A simple non-Euclidean Geometry and its Physical Basis" kitabı esas alınarak verilmiştir [16] . Daha sonra Afin Cayley-Klein düzlem kavramı verilmiş ve bu düzlemlerde bazı lineer cebir ve diferansiyel geometri kavramları açıklığa kavuşturulmuştur. Bu düzlemler genel olarak olarak isimlendirilmiştir. Yedinci ve daha sonraki temel bölümler tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Yedinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler incelenmiş, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar-hızların terkibi, pol noktaları, ivmeler-ivmelerin terkibi ve ivme polü elde edilmiştir. Sekizinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler altında hareketli koordinat sistemi ele alınmıştır. Dokuzuncu bölümde, yedinci ve sekizinci bölümde verilen 1-parametreli hareketler ve hareketli koordinat sistemi kavramlarından faydalanılarak kanonik izafe sistemi elde edilmiştir. Bu izafe sistem yardımıyla hareket altında yörünge eğrilerinin eğrilikleri arasındaki ilişkiyi veren Euler-Savary formülü hesaplanmıştır. Onuncu bölüm olan son bölümde orijinal bölümlerde elde edilen sonuçlardan bahsedilmiş ve gelecek çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur. Tezin ek kısımlarında ise, tez bütününde ihtiyaç duyulan Lorentz ve Galile düzlemlerine ait temel kavramlara yer verilmiştir.
Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler
Bu tez on temel bölüm ve iki ek bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmış olup bu bölümde literatür özeti, tezin amacı ve orijinal katkı verilmiştir. İkinci bölümde, tezin bütünü için gerekli olan temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde, sırasıyla, bir zaman parametresine bağlı olarak Öklid, Lorentz ve Galile düzlemlerde 1-parametreli düzlemsel hareketler ifade edilmiştir. Ayrıca, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar, pol noktaları, ivmeler ve ivme polü kavramları ele alınmıştır. Altıncı bölümde, "bir doğru üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık ölçümü" ve "bir noktadan geçen doğrular arasındaki açı ölçümü" kavramlarıyla tanımlanan Cayley-Klein dokuz düzlem geometrisi ayrıntılı bir biçimde tanıtılmıştır. Bu kavramlar eliptik, parabolik, hiperbolik açı ve uzunluk ölçümleri olup düzlemde Cayley-Klein anlamda 9 geometrinin sınıflandırılması I. M. Yaglom un "A simple non-Euclidean Geometry and its Physical Basis" kitabı esas alınarak verilmiştir [16] . Daha sonra Afin Cayley-Klein düzlem kavramı verilmiş ve bu düzlemlerde bazı lineer cebir ve diferansiyel geometri kavramları açıklığa kavuşturulmuştur. Bu düzlemler genel olarak olarak isimlendirilmiştir. Yedinci ve daha sonraki temel bölümler tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Yedinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler incelenmiş, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar-hızların terkibi, pol noktaları, ivmeler-ivmelerin terkibi ve ivme polü elde edilmiştir. Sekizinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler altında hareketli koordinat sistemi ele alınmıştır. Dokuzuncu bölümde, yedinci ve sekizinci bölümde verilen 1-parametreli hareketler ve hareketli koordinat sistemi kavramlarından faydalanılarak kanonik izafe sistemi elde edilmiştir. Bu izafe sistem yardımıyla hareket altında yörünge eğrilerinin eğrilikleri arasındaki ilişkiyi veren Euler-Savary formülü hesaplanmıştır. Onuncu bölüm olan son bölümde orijinal bölümlerde elde edilen sonuçlardan bahsedilmiş ve gelecek çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur. Tezin ek kısımlarında ise, tez bütününde ihtiyaç duyulan Lorentz ve Galile düzlemlerine ait temel kavramlara yer verilmiştir.
Dual kuaterniyonlar ve dual kuaterniyonik eğriler
İlk olarak 3 ve 4-boyutlu Galile uzayları ile ilgili temel bilgiler verilmiştir. Dual kuaterniyonlar ile ilgili temel bazı tanımlamalarla beraber, dual kuaterniyonlar için kuaterniyon çarpımı pure dual kuaterniyonların çarpımını da içerecek şekilde yeniden düzenlenmiş ve Galile uzayı ile izomorf yapı kurulmuştur. Ayrıca bu izomorfluğa bağlı olarak dual kuaterniyonik eğriler için Serret-Frenet formülleri ve Frenet elemanları elde edilmiştir.