Elastik cisimlerde iki boyutlu doğrusal sürtünmesiz temas probleminin sonlu elemanlar metodu ile analizi

Temasmekaniği,elastisite teorisinin birbirleriyle temas ile etkileşime giren cisimlerin davranışını inceleyen dalıdır. Bu sebeple katı cisimler ile ilgilenen her mühendislik dalında oldukça geniş bir uygulama alanı vardır. İnşaat mühendisliği özelinde ise yapı-zemin etkileşimi, yapı birleşim hesapları, deprem sönüm sistemleri tasarımında temasmekaniğininuygulamaalanınaörnekolarakverilebilir. Temas problemleri doğası gereği sahip olduğu karmaşık sınır şartlarından dolayı, analitik yöntemler oldukça kısıtlı imkanlar sunmaktadır. Bu sebeple problemlerin çözümünde sayısal yöntemlere oldukça sık başvurulmaktadır. Sonlu elemanlar metodu, temas probleminin çözümü için oldukça sık kullanılan metotlar arasındadır. Günümüzde ANSYS ve ABAQUS gibi pek çok paket program bünyesinde temas problemine özel elemanlar ve çözüm algoritmaları sunmaktadır. Mühendislik tasarımlarında, kullanılan eleman ve algoritmaların arkasındaki fikirlerin bilinmesi, programçıktılarınıyorumlamakiçinoldukçaönemlidir. Tezin akışında ilk olarak sonlu elemanlar formülasyonuna zemin hazırlaması bakımından, üç boyutlu elastisitenin temellerinden bahsedilmiştir. Statik durumda en genel hareket denklemi olan diferansiyel denge denklemleri verilmiştir. Doğrusal, homojen bir cisim için genelleştirilmiş Hooke Kanunu kullanılarak gerilme ile şekil değiştirmearasındakiilişkilerortayakonmuştur. Sonolarakyerdeğiştirmelerve şekil değiştirmelerarasındakibağıntılarifadeedilmiştir. Bazı varsayımlar doğrultusunda üç boyutlu elastisite problemi iki boyuta indirgenebilmektedir. Tez kapsamında düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirmeprobleminin varsayımlarına değinilmiştir. Bu varsayımlar doğrultusunda üçüncüboyuttaki şekil değiştirmeler problemden düşürülmüştür. Genelleştirilmiş bünyedenklemlerivediferansiyeldengedenklemleriikiboyutaindirgenmiştir. Diferansiyel denge denklemlerinin virtüel(keyfi) yer değiştirmeler ile çarpılıp hacimüzerinde integralinin alınması ile virtüel yer değiştirmenin cisim üzerinde yaptığı işortayakonmuştur. Diverjansteoremikullanılarakgerilmesınır şartlarıdenklemedahiledilmiştir. Sonolarakikiboyutlusonluelemanlaranalizindekullanılmaküzerevirtüelişifadelerininikiboyutluhalieldeedilmiştir. Sonlu elemanlar formülasyonuna, eleman üzerindeki yer değiştirme ifadesinin şekilfonksiyonları vasıtasıyla düğüm noktası yer değiştirmeleri cinsinden ifadesi ilebaşlanmıştır. Şekil değiştirme ifadelerinin elde edilmesinin ardından bünye bağıntıları kullanılarak gerilmeler ifade edilmiş ve elde edilen bağıntılar virtüel iş ifadesineentegre edilmiştir. Virtüel yer değiştirmelerin keyfiliği kullanılarak sonlu elemandenklem takımı elde edilmiştir. Son olarak eleman rijitlik matrisleri ve dış yükvektörlerinin integral formları ortaya konmuştur. Sonlu elemanlar metodunda iki ve üç boyutlu elemanlar için sıkça kullanılan, şekil fonksiyonlarının sistematik biçimde elde edilmesini sağlayan, integral sınırlarını basitleştiren ve Gauss-Legendre integrasyon metodunun kullanılmasını kolaylaştıran bir yöntem olan izoparametrik formülasyon tanıtılmıştır. Dörtgen eleman için temel(master)elemanifadeedilmişveşekilfonksiyonlarıeldeedilmiştir. Global eksen takımı ile temel eksen takımının diferansiyel ilişkilerine değinilmiş ve dörtgen eleman için rijitlik matrisi elde edilmiştir. Sonlu elemanlar metodunda sistem matrisinin oluşturulması 2 eleman üzerinde tarif edilmiş ve bu aşamanın sözde(pseudo) kodu verilmiştir. Ardından sistem matrisinde sınır şartları ifadelerin denbahsedilmiş ve deplasman yüklemelerinin dış yükvektörüne katkısına değinilmiştir. Bölüm üçte sürtünmesiz temas analizinin temel kavramlarının tanıtılması ile giriş yapılmıştır. Birbirine temas eden iki cismin kinematik ilişkileri ortaya konulmuş, açıklık fonksiyonuna değinilmiştir. Ardından sürtünmesiz temas analizinin Signorini sınır şartları ortaya konulmuş ve virtüel iş denklemlerine bu sınır koşullarının entegrasyonundanbahsedilmiştir. Sınır şartları tanımlanmış problemin çözümü için Lagrange çarpanları yönteminden bahsedilmiştir. Virtüel iş terimine dahil edilmiş olan temas terimi Lagrange çarpanları cinsinden ifade edilmiş ve varyasyon ifadeleri elde edilmiştir. Son olarak Lagrange çarpanlarının sistem matrisine etkisi ve çözüm algoritması verilmiştir. Sınır şartları ve virtüel iş ifadesinin elastisite denklemlerine katılmasının ardından temas analizi ile ilgili eleman formülasyonlarına değinilmiştir. Bu çalışmanın kapsamındaki temas elemanları için geometrik ifadeler ortaya konulmuş, rijitlik matrisleri elde edilmiştir. Örnek bir elastisite problemi farklı temas elemanları ile çözülmüş ve sonuçları ANSYS ile karşılaştırılmıştır. Son olarak formülasyonu yapılan temas elemanlarının sayısal uygulamaları yapılmıştır. Literatürde analitik çözümü mevcut olan silindirik bir cismin rijit düz bir cismeteması,problemin sahip olduğu simetri özelliğinden faydalanılarak çözülmüştür. Analitik ve sayısal çözüm birbiriyle karşılaştırılmıştır. Ardından çelik yapılarda sıkça kullanılan birden fazla plakanın temas yük aktardığı pimli bağlantı detayı problemi çözülmüştür. Sisteme deplasman yükü uygulanmış ve bu yük sonucu pim üzerinde oluşan gerilme dağılımı gösterilmiştir. Pimin üzerinde eğilme momentlerinin etkisinin olduğuna vurgu yapılmıştır. Üçüncü sayısal örnekte ise birbirine temas halinde bulunan üst üste istiflenmiş iki basit kirişin eğilme davranışı incelenmiştir. Ardından kirişler arasında başlangıç durumda açıklık olması durumu ele alınmış ve analiz sonuçları gösterilmiştir.