Sonlu grupların kesişim çizgeleri

$G$ ile bir grup temsil edilmek üzere $G$'nin kesişim çizgesi $\Gamma(G)$ ile şu şekilde tanımlanan döngü ve de çoklu kenar içermeyen yönsüz çizge kastedilmektedir: köşe kümesi $G$'nin trivial olmayan özalt gruplarının kümesidir ve birbirinden farklı iki köşe $X$ ve $Y$ arasında ancak ve ancak $X\cap Y\neq 1$ ise bir kenar vardır. Burada $1$ ile trivial grup kastedilmektedir. Bu tez çalışmasının amacı sonlu grupların kesişim çizgelerini araştırmaktır. Daha özel olarak bu nesnelerin çizge kuramsal değişmezleri üzerinde durulmuştur. Genel olarak, izomorf olmayan iki grubun kesişim çizgeleri izomorf olabilirler. Mesela kuaternion grup ile mertebesi bir asal sayının beşinci dereceden kuvveti olan döngüsel grubu gözönüne alalım. Her iki grubun da kesişim çizgeleri dörder adet köşeye sahiptir. Dahası her iki grubun tek bir minimal altgrubu mevcuttur ve bu minimal altgrup diğer bütün trivial olmayan özaltgruplar tarafından içerilir. Dolayısıyla bu iki grubun kesişim çizgeleri izomorftur. Ancak abelyen grupların sınıfı göz önüne alındığında kesişim çizgelerinin bu grupları birbirinden ayırmada neredeyse yeterli olduklarını gösterdik. Daha net ifade edecek olursak şu sonucu ispatladık: $A$ ve $B$ sonlu iki abelyen grup olmak üzere bu grupların kesişim çizgeleri yalnız ve yalnız şu şartlar sağlandığı takdirde izomorftur: (i) $A$'nın döngüsel olmayan Sylow altgruplarının çarpımı $B$'nin döngüsel olmayan Sylow altgruplarının çarpımına izormorftur, ve (ii) $A$'nın döngüsel Sylow altgruplarının mertebelerinin üsleri gerekiyorsa bir permutasyondan sonra $B$'nin döngüsel Sylow altgruplarının mertebelerinin üslerine eşittir. Eğer bir çizge düzlem (yada küre) üzerine kenarları birbirini kesmeyecek şekilde tasvir edilebiliyorsa bu çizgeye düzlemsel çizge denilir. Kesişim çizgeleri düzlemsel olan sonlu grupları sınıflandırdık. Diyelim ki $p,q,$ ve $r$ birbirinden farklı asal sayıları temsil etsinler. Kesişim çizgesi düzlemsel olan abelyen gruplar şunlardan ibarettir: $$ \mathbb{Z}_{pqr},\; \mathbb{Z}_{p^2q},\; \mathbb{Z}_{pq},\; \mathbb{Z}_{p^{i}}\,(0\leq i\leq 5),\; \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{2},\; \mathbb{Z}_{p}\times \mathbb{Z}_{p},\; \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{2}\times \mathbb{Z}_{p}\, (p\neq 2). $$ Abelyen olmayan ama nilpotent olan gruplar ise yalnızca mertebesi sekiz olan dihedral grup $D_8$ ve kuaternion grup $Q_8$'dir. Ayrıca aşağıdaki yarı-direkt çarpımların kesişim çizgeleri de düzlemseldir ve böylece liste tamamlanır: • Yarı-direkt çarpımlar $\mathbb{Z}_q \rtimes \mathbb{Z}_{p^2}\;$ ($p^2\divides q-1$) ve $(\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p) \rtimes \mathbb{Z}_q\;$ ($q\divides p+1$), • Yarı-direkt çarpım $(\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p) \rtimes \mathbb{Z}_{q^2}\;$ ($q^2\divides p+1$), • Yarı-direkt çarpım $\mathbb{Z}_r \rtimes \mathbb{Z}_{pq}\;$ ($pq\divides r-1$), • Yarı-direkt çarpım $\mathbb{Z}_p\rtimes \mathbb{Z}_q\;$ ($q\divides p-1$). Bu grupların prezentasyonları elde edilmiştir. Ayrıca çözülebilir olmayan grupların kesişim çizgelerinin düzlemsel olamayacağı sonlu basit grupların sınıflandırılması (CFSG) kullanılmadan ispatlanmıştır. $K_n$ ile $n$ adet köşesi olan ve herhangi iki ayrı köşe arasında bir kenar bulunan yönsüz basit çizge, $K_{m,n}$ ile ise köşe kümesi $V_m\sqcup V_n$ şeklinde eleman sayıları $m$ ve $n$ olan iki kümenin ayrık birleşimi şeklinde yazılabilen öyle ki iki köşe arasında ancak ve ancak biri $V_m$'nin elemanı diğeri ise $V_n$'nin elemanı ise kenar bulunan yönsüz basit çizge temsil edilsin. Kuratowski'nin karakterizasyonu bir çizgenin ancak ve ancak hem $K_5$'i hem de $K_{3,3}$'ü minör olarak içermiyorsa düzlemsel olacağını söyler. İspatlarımız incelendiği vakit görülecektir ki bir grubun kesişim çizgesi ancak ve ancak $K_5$'i yada $K_{3,3}$'ü altçizge olarak içeriyorsa düzlemsel değildir. Biz bu çalışmada kesişim çizgeleri $K_5$'i altçizge olarak içeren ama $K_{3,3}$'ü altçizge olarak içermeyen grupları belirledik. Bu gruplar şunlardır: $$\mathbb{Z}_{p^6},\, \mathbb{Z}_{p^3}\times \mathbb{Z}_q,\, \mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_3,\, (\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_3)\rtimes\mathbb{Z}_3,\, \mathbb{Z}_9\rtimes\mathbb{Z}_3,\,$$ $$ \mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_4,\, D_{18},\, \mathbb{Z}_q \rtimes \mathbb{Z}_{p^3}\, (p^3\divides q-1).$$ $\Gamma$ köşe sayısı $k$'dan fazla bağlantılı bir çizge olmak üzere eğer $k$'dan daha az sayıda köşeyi kaldırarak $\Gamma$'yı bağlantısız hale getirmek mümkün değil ise $\Gamma$'ya $k$-bağlantılıdır denir. $\Gamma$'nın $k$-bağlantılı olduğu en küçük değer ise $\Gamma$'nın bağlantılılık sayısıdır. Bu bağlamda bağlantısız çizgeler $0$-bağlantılı çizgeler olarak görülebilirler. Kesişim çizgeleri bağlantısız olan gruplar halihazırda sınıflandırılmışlardır: 1. $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$, yada $\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_q$; 2. $G\cong N\rtimes A$ öyle ki $N\cong \mathbb{Z}_p\times\dots\times\mathbb{Z}_p$, $A\cong\mathbb{Z}_q$, $N_G(A)=A$, ve $N$ altgrubu $G$'nin minimal normal altgrubudur. Bu sonucu en azından bir trivial olmayan normal özaltgrup içerme faraziyesi altında ispatlamak çok zor değildir. Sezgisel olarak kesişim çizgeleri bağlantılılık sayıları yüksek çizgelerdir ve eğer bağlantılılık değerleri düşük çizgeler varsa bunlar istisnai durumlar olmalıdırlar. Menger Teoremi bir çizgenin ancak ve ancak herhangi iki köşe arasında birbirinden bağımsız en az $k$ adet patika bulunması durumunda $k$-bağlantılı olacağını söyler. Ancak bir grubun kesişim çizgesinin $k$-bağlantılı olduğunu iddia edebilmek için belli şartları sağlayan birçok altgrubun mevcudiyetini gösterebilmeliyiz. Bu bakımdan yüksek $k$ değerleri için daha katı faraziyeler sunmak kaçınılmaz olmuştur. Bu çalışmada kesişim çizgeleri $2$-bağlantılı olmayan sonlu çözülebilir grupları sınıflandırdık. $\Phi(P)$ ile $P$ grubunun Frattini altgrubu temsil edilmek üzere bu $G$ grupları şu şekilde nitelenebilirler: 1. $|G|=p^{\alpha}\, (0\leq \alpha \leq 2)$; 2. $|G|=p^3$ öyle ki $G\ncong Q_8$ ve $G\ncong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$; 3. $|G|=p^2q$ öyle ki $G$'nin Sylow $p$-grubu $P$ için (a) $P\cong\mathbb{Z}_{p^2}$, veya (b) $P\cong \mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$ ve $G$'nin mertebesi $p$ olan ve normal olmayan bir altgrubu mevcuttur; 4. $G=PQ$ mertebesi $p^{\alpha}q$ ($\alpha\geq 3$) olan ve Sylow $p$-altgrubu $P$ normal bir altgrup olan bir gruptur öyle ki (a) $P$ elemanter abelyen olup $Q$'nun $P$ üzerine etkisi indirgenemezdir ve $N_G(Q)$'nin mertebesi en fazla $pq$'dir, veya (b) $N:=\Phi(P)$ elemanter abelyen olup $Q$'nun hem $N$ hem de $P/N$ üzerine etkisi indirgenemezdir, ayrıca ya $N_G(Q)=Q$ gerçeklenir yada $N_G(Q)=NQ \cong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_q$'dir. Özel olarak, mertebesi üç farklı asal sayı tarafından bölünebilen herhangi bir çözülebilir grup $2$-bağlantılıdır. Ayrıca kesişim çizgeleri $3$-bağlantılı olmayan sonlu nilpotent grupları sınıflandırdık. Bu $G$ grupları şu şekilde nitelenebilirler: 1. $|G|=p^{\alpha}$ $(0\leq\alpha\leq 3)$, $G\ncong Q_8$ ve $G\ncong \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$; 2. $G$ mertebesi $p^4$ olan bir gruptur öyle ki (a) $G\cong \mathbb{Z}_{p^4}$, veya (b) $\Phi(G)\cong\mathbb{Z}_{p^2}$ ve $G\ncong Q_{16}$, veya (c) $\Phi(G)\cong\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p, Z(G)<\Phi(G)$ ve $G\ncong \langle a,b,c\mid a^9=b^3=1, ab=ba, a^3=c^3, bcb^{-1}=c^4, aca^{-1}=cb^{-1} \rangle $; 3. $G\cong\mathbb{Z}_{p^3q}$, $G\cong\mathbb{Z}_{p^2q}$, $G\cong(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p)\times\mathbb{Z}_q$, veya $G\cong\mathbb{Z}_{pqr}$. Dahası, mertebesi dört farklı asal sayı tarafından bölünebilen herhangi bir çözülebilir grup $3$-bağlantılıdır.