Özel yarı-Einstein manifoldları

Bu tez çalışmasında, matematiksel literatürde sıkça ele alınan ve önemli geometrik özelliklere sahip olan bazı Riemann ve semi-Riemann manifoldlarının özel sınıfları üzerinde çalışılmaktadır. Tarihsel olarak incelendiğinde, bu konunun en önemli kaynak noktalarından biri, Ricci tensörü ile metrik tensörü orantılı olacak şekilde tanımlanan, Einstein manifoldlarından gelmektedir. Einstein manifoldları, diferansiyel geometride, sabit eğrilikli ve sabit Ricci eğrilikli metriklerin üretilmesinde olduğu gibi, fizikte de Einstein alan denklemlerinin çözümlerinin bulunması ve uzay-zaman modellerinin sınıflandırılmasında oldukça önemli bir araç olmuştur. Genel Görelilik Teorisinin en önemli denklemi olan Einstein alan denklemleri, bir uzayın geometrisinin doğrudan, uzayın madde içeriği ile belirlenebildiğini göstermektedir. Bu nedenle, uzayın global karakterinin anlaşılabilmesi için Ricci eğrilik tensörü üzerinde yapılan bazı genelleştirmeler önem kazanmaktadır. İlk kez 2000 yılında M. C. Chaki ve R. K. Maity tarafından, Einstein manifoldlarını genelleştiren bir geometrik kavram olarak tanımlanan yarı Einstein manifoldları, aynı zamanda Einstein alan denklemlerinin mükemmel akışkanlı madde içeriğine sahip çözümlerine de bir model oluşturmaktadır. Einstein manifoldlarının bir başka doğal genelleştirmesi de Hamilton tarafından tanımlanan Ricci soliton kavramıdır. Bu kavram, diferansiyel geometrinin, manifoldları eğriliklerine göre sınıflandırma probleminden doğan Ricci akış denkleminin kendi kendine benzer (self-similar) çözümleri olarak ortaya çıkmıştır. Ricci akışı ise, metriğin (yani manifoldun şeklinin) Ricci tensörü ile orantılı olarak, uygun sabit eğrilikli bir metriğe dönüşmesini sağlayan, parabolik tipte bir kısmi diferansiyel denklemdir. O halde, Ricci akışının daha genel çözümlerinin bulunması ve bu çözümlerin davranışlarının incelenmesi, geometrik anlamda oldukça önemli bir problemdir. Dolayısıyla, farklı eğriliklere veya farklı akışkan yoğunluğuna sahip olan uzay-zamanların incelenmesi için, Ricci eğrilik tensörünün daha fazla genelleştirilmesi gerekmektedir. Bu amaçla, 2001 yılında M. C. Chaki tarafından, genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldu kavramı ortaya atılmıştır. Bu yeni kavram tanımlanışı bakımından, geometrik olarak yarı Einstein manifoldlarını genelleştirmekle kalmayıp, fiziksel olarak da, 4-boyutlu ısı akışına izin veren uzay-zamanlara bir model oluşturmaktadır. Bu nedenle tez çalışmasının temel amaçlarından biri, hem geometrik hem de fiziksel açıdan daha ilginç özelliklere sahip olması beklenen genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldlarının özelliklerini araştırmaktır. Daha sonra, Ricci solitonlar ile yakından ilişkili olması ve Ricci tensörünün doğal bir genellemesi olmasından dolayı Riemann geometrisinde oldukça önemli bir obje olan \textit{$m$-Bakry-Emery Ricci tensörü} tanımlanmış ve birçok geometrici tarafından $m$-Bakry-Emery Ricci tensörünün metrik tensör ile orantılı olması durumunda, çeşitli özel manifoldların tanımları yapılmıştır. Ricci tensörünün bu tip genelleştirmeleri baz alınarak ortaya çıkan $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldları tez çalışmasının bir diğer çalışma alanını oluşturmaktadır. Literatüre bakıldığında, bu iki çalışma alanının, Bishop ve O'Neill tarafından tanımlanan, katlı çarpım manifoldları ile yakından ilişkili olduğu görülmektedir. Örneğin, hem Einstein alan denklemlerinin Robertson-Walker, Schwarzchild, Reissner-Nordstr\"{o}m-de Sitter uzay-zamanları gibi çoğu temel çözümünün, hem de birçok Ricci soliton ve gradient Ricci solitonun, katlı çarpım manifoldu yapısına sahip olduğu bilinmektedir. Ayrıca, dönel yüzeyler, küre ve $\mathbb{R}^n-\{0\}$ da lokal olarak katlı çarpım manifoldlarıdır. Yukarıda bahsedilen temel çalışma alanlarının her ikisinin de, hem geometrik olarak formülize edilebilmeleri, hem de fiziksel olarak önemli modellerle bağlantılarının bulunmasından dolayı, tez çalışması Riemann ve Lorentz geometrisinin araçları kullanılarak iki farklı koldan yürütülmektedir. Birinci bölümde, ele alınan problemlerin tanıtımı ile önemi üzerinde durulmuş ve gerekli literatür taramasına yer verilmiştir. İkinci bölümde, öncelikle tez çalışması boyunca kullanılacak olan temel kavramlar ve notasyonlar verilmiştir. Ardından, tez çalışmasının ilk yarısını oluşturan Einstein manifoldlarının çeşitli genelleştirmeleri ile ilgili tanımlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, ilk olarak Ricci-pseudosimetrik ve Ricci semisimetrik genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldlarının karakterizasyonu yapılmış, daha sonra da bu tip simetri koşulları, konformal, konsörkılır, yarı-konformal, $W_2$, projektif ve pseudo-projektif eğrilik tensörlerine genelleştirilerek, bazı sınıflandırma teoremleri elde edilmiştir. Bahsedilen bu eğrilik tensörlerinin Ricci semisimetrik ve Ricci pseudosimetrik olmaları durumunda, genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun, bir $N(k)$-yarı Einstein yada yarı Einstein manifolduna indirgendiği ispatlanmıştır. Ardından, Ricci reküran, genelleştirilmiş Ricci reküran gibi, Ricci tensörünün kovaryant türevlerinin özel koşulları sağlaması durumunda, manifoldun üreteç vektör alanının bir paralel vektör alanı olduğu ve böylece söz konusu manifoldun bir yarı Einstein manifolduna indirgendiği ispatlanmıştır. Ayrıca bu bölümde, bir genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun varlığı, trivial olmayan, somut bir Riemann metriği inşaa edilerek kanıtlamıştır. Dördüncü bölümde, ilk olarak genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun bir katlı çarpım manifoldu yapısına sahip olması için bazı gerekli koşullar araştırılmıştır. Bu kapsamda, konformal düzlük koşulu yardımıyla, $n$-boyutlu Ricci semisimetrik genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun üreteç vektör alanının, konsörkılır vektör alanı olduğu gösterilmiş ve bunun bir sonucu olarak da manifoldun bir reel aralık ile $(n-1)$-boyutlu bir Einstein manifoldunun katlı çarpımı olduğu sonucu elde edilmiştir. Ardından farklı eğrilik tensörlerinin de (örneğin pseudo-projektif eğrilik tensörü gibi) özdeş olarak sıfır olması veya korunumlu (yani diverjanssız) olması durumunda, genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun çarpım manifoldları ile ilişkisi incelenmiştir. Daha sonra, önceki durumun tersine, katlı çarpım manifoldu yapısına sahip olan bir genelleştirilmiş yarı Einstein manifoldunun, üreteçleri yardımıyla, taban ve lifleri üzerinde sınıflandırmalar yapılmış ve Einstein-benzeri manifoldlar ile bağlantıları kurulmuştur. Dördüncü bölümün devamında, katlı çarpım metrik yapısından daha genel bir kavram olan ve $D$-homotetik deformasyonlar yardımı ile tanımlanan $D$-çarpım manifoldlarına geçiş yapılmıştır. Bu yeni çarpım metriği, en genel anlamda $\xi$ birim vektörü ve onun $g$ metriğine göre duali olan $\eta$ 1-formuna sahip olan $(M,g,\xi,\eta)$ Riemann manifoldları üzerine genelleştirilerek, $D$-genel çarpım manifoldu kavramı tanımlanmıştır. Ardında, böylesi bir $D$-genel çarpım manifoldunun, Levi-Civita konneksiyonu, Riemann eğrilik tensörü, Ricci tensörü, kesitsel ve skaler eğrilikleri hesaplanarak, bileşenlerinin Einstein-benzeri manifoldlar ile ilişkileri araştırılmıştır. Ayrıca $g$ metriğinin Laplasyeni hesaplanarak, bir $D$-genel çarpım manifoldu üzerinde fonksiyonların ve formların harmonikliği ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir. Beşinci bölümde, genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanlarına geçiş yapılarak, önceki bölümlerde elde edilen sonuçların, Lorentz metrik yapısı altında geçerliliği araştırılmıştır. İlk olarak Ricci-pseudosimetrik, Ricci semisimetrik, Ricci reküran gibi çeşitli simetri koşulları altında genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanlarının karakterizasyonu ve sınıflandırması yapılmıştır. Daha sonra, elde edilen sonuçlar Genel Görelilik Teorisindeki önemli sonuçlarla karşılaştırılarak, fiziksel uygulamalara yer verilmiştir. Einstein alan denklemlerini sağlayan, 4-boyutlu, Ricci simetrik, genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanının, sabit enerji yoğunluğuna ve izotropik basınca sahip olduğu, genleşme sabiti ve ivme vektörü sıfır olan, hız vektör alanı manifoldun üreteci olan mükemmel akışkanlı modellere örnek olduğu kanıtlanmıştır. Böylece, bu tip bir uzay-zamanın $I$, $D$ veya $O$ Petrov tipinde bir kozmolojik yapıya sahip olduğu sonucuna ulaşılmıştır. Ayrıca, 4-boyutlu Lorentz metriğine sahip bir genelleştirilmiş yarı Einstein uzay-zamanının varlığını kanıtlayan, somut bir örnek de inşaa edilmiştir. Tezin altıncı bölümünde ise, önceki bölümlerden farklı olarak, Ricci soliton kavramına giriş yapılmıştır. Öncelikle bu konunun tarihsel gelişimi ile ilgili ayrıntılı literatür bilgisine yer verilmiştir. Ardından $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldları üzerinde çalışmalar yapılmış ve çeşitli sonuçlar elde edilmiştir. İlk olarak, $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldlarının sınıflandırma ve karakterizasyonu üzerinde çalışılmış ve katlı çarpım manifoldları ile ilişkileri incelenmiştir. Kapalı konformal yada paralel vektör alanına sahip olan bir $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldunun, potansiyel fonksiyonunun gradiyenti ve Hessian'ı ile igili yardımcı teoremler ispatlanmıştır. Ardından, kapalı konformal vektör alanına sahip olan bir $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldunun, $I\times_{\varphi} M^*$ biçiminde bir katlı çarpım manifoldu olduğu ispatlanmıştır. Daha sonra bu durum paralel vektör alanlarına doğrudan indirgenerek, Ricci tensörünün klasik yarı Einstein manifoldu yapısına sahip olduğu gösterilmiş ve benzer rijit durumların elde edildiği kanıtlanmıştır. Bölümün sonunda ise, bir $(m,\rho)$-yarı Einstein manifoldunun varlığını kanıtlayan ve elde edilen sonuçları gerçekleyen somut bir örnek inşaa edilmiştir.