Üç boyutlu Galile uzayında öteleme ve factorable yüzeylerin sınıflandırılması

Öklid uzayında, eğrilerin ve yüzeylerin diferansiyel geometrisi hakkındaki çalışmalar, Öklid dışı uzaydaki çalışmalar kadar eski bir tarihe sahiptir. Öklid uzayının klasik içeriği diğer bazı geometrilere aktarılabilecek olan sonuçların bir kaynağıdır. Yeni geometrileri tanımlamanın bir yolu Cayley-Klein uzaylarından geçer. Bu uzaylar, kuadratik yüzeyleri ve düzlemleri içeren projektif uzayın bir alt kümesi olan mutlak şekilli projektif uzaylar olarak tanımlanır. Projektif uzayın mutlak şekil altında değişmez kalan izdüşümleri, Cayley-Klein uzayının grup hareketleri olarak adlandırılan izdüşümlerinin bir altgrubunu tanımlar. Mutlak şekil vasıtasıyla, metrik bağıntılar tanımlanır ve bunlar grup hareketleri altında değişmez kalırlar. Üç boyutlu Galile uzayı, (0, 0, +, +) işaretli projektif metrikle oluşturulmuş Cayley- Klein uzayıdır. (w,f,I) sıralı üçlüsü Galile geometrisinin ideal (mutlak) şeklini oluşturur. Burada w ideal düzlemi; f, w düzleminde bulunan ideal doğruyu; I ise f'nin noktalarının sabit eliptik involüsyonunu gösterir. Galile uzayı Öklid geometrisinden özel görecelik kavramına bir köprü oluşturur. Galile uzayı Röschel tarafından geliştirilmiştir ve daha sonra Kamenerovic ve Sipus Galile uzaylarında çalışmalar yapmışlardır. Bununla beraber, Galile ve pseudo-Galile uzaylarında bir çok çalışma yapılmıştır. Galile geometrisi Öklid dışı geometridir ve Galileo ile Einstein'ın görecelik kuramıyla bağlantılı olduğundan Galile ve pseudo- Galile uzaylarının fizikte önemi vardır. Cayley-Klein geometrileri soliton teorisi gibi bir çok alanda önemli olduğundan ilginç hale gelmiştir. Bu tez çalışmasında üç boyutlu Galile uzayında öteleme ve factorable yüzeyler çalışılmıştır. Tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, üç boyutlu Galile uzayının tahriçesi ve gelişimi ile ilgili bilgi verilerek, tezin içeriği ve kapsamı ifade edilmiştir. İkinci bölümde, önce üç boyutlu Galile uzayında eğrilerin izotropik olma ve izotropik olmama durumları ifade edilmiş ve daha sonra iki vektörün skaler ve vektörel çarpımı tanımlanmıştır. Eğrilerle ilgili tanımlar verilerek, üç boyutlu Galile uzayında ikinci esas formun katsayıları, yüzeyin Gauss eğriliği ve ortalama eğriliği formüle edilmiştir. Daha sonra, bu uzayda öteleme yüzeyleri ele alınarak, sabit Gauss ve sabit ortalama eğrilikli 1. tip ve 2. tip öteleme yüzeyleri çalışılmış ve bu yüzeylerle ile ilgili bazı teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde ilk önce, koordinatları sonlu tipten olan alt manifold tanımı verilmiş ve daha sonra üç boyutlu Galile uzaylarında koordinatları sonlu tip olan öteleme yüzeyleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, üç boyutlu Galile uzayında sıfırdan farklı sabit ortalama eğriliğe sahip olan birinci tip factorable yüzeyler incelenmiştir. Bu yüzeyin denklemleri elde edilmiştir ve daha sonra koordinat fonksiyonları yüzeyin Laplasyeninin özfonksiyonu olan birinci tip factorable yüzeyler ele alınmıştır. Koordinatları sonlu tip olan harmonik factorable yüzeyler için bir teorem verilmiştir.