Theses supervised by Prof. Dr. Aslıhan Sezgin
13 theses · Amasya University
İlköğretim matematik öğretmenlerinin sınav soruları ile LGS sınavı matematik sorularının matematik öğretim programı alt öğrenme alanları ve Yenilenmiş Bloom Taksonomisine göre incelenmesi
Ekonomik ve sosyal olarak rahat bir yaşam sürebilmemiz için meslek seçimi, bireyin kendini gerçekleştirmesi, yaptığı işte başarılı olması ve özgüven gibi unsurlar belirleyicidir. Bu noktada ise öğrencilerin, ortaokuldan liseye geçişte yapılan merkezi sınavda başarılı olmaları ve çok öğrencinin talep ettiği fakat alınacak öğrenci sayısının sınırlı olduğu nitelikli liselere yerleşmeleri önemlidir. Öğrenciler açısından hayatlarının dönüm noktalarından biri olan LGS sınavında başarılı olmaları için bu sınavın iyi analiz edilmesi gereklidir. Aynı zamanda sekizinci sınıfta öğrenim gören bir öğrenci, sekizinci sınıf öğretim programında yer alan kazanımlardan sorumlu olmaktadır. Öğretmenlerin yazılı sınavları hazırlarken, LGS sorularının bilişsel alan düzeylerini dikkate almaları gerekir. İlköğretim matematik öğretmenlerinin sekizinci sınıf matematik yazılı sınav soruları ile LGS sınavı matematik sorularının Matematik Öğretim Programı alt öğrenme alanlarına dağılımının ve soruların Yenilenmiş Bloom Taksonomisi basamaklarına göre dağılımının incelendiği bu çalışmada, merkezi sınav net ortalamalarında her zaman düşük olan matematik dersine Yenilenmiş Bloom Taksonomi değerlendirmesiyle farkındalık oluşturarak, öğretmenlerin yazılı sınavlarını hazırlarken LGS sorularının bilişsel alan düzeylerini dikkate almalarına katkı sağlamak ve bu konuda rehberlik ederek gelişmelerine katkı sağlamak amaçlanmıştır. Bu çalışma nitel araştırma deseninde yürütülen bir çalışmadır. Döküman incelemesi yöntemi ile verilerin elde edildiği bu çalışmada, örneklem, seçkisiz olmayan örnekleme yöntemlerinden olan amaçsal örneklemeden maksimum çeşitlilik yöntemiyle seçilmiştir. Örneklemi 2018 LGS sınavında sorulan 20 adet matematik sorusu, 2017-2018 eğitim öğretim yılında Amasya ili Suluova ilçesinde sekizinci sınıf okutan öğretmenlerin öğretim yılı boyunca uyguladıkları toplam 952 adet matematik yazılı sınav sorusu oluşturmaktadır. Veriler ilk olarak betimsel analize tabi tutulmuştur. Öncelikle hem LGS sınavı matematik sorularının, hem de öğretmen matematik yazılı sınav sorularının içerdiği kazanımlar ve alt öğrenme alanları 2017 Matematik Öğretim Programı'na göre belirlenmiştir. Daha sonra LGS sınavı matematik sorularının ve öğretmen matematik yazılı sınav sorularının Yenilenmiş Bloom Taksonomisi kapsamında ait oldukları basamaklar, uzman görüşleri ile desteklenerek belirlenmiştir. Veriler, betimsel analiz kullanılarak frekans ve yüzde tablosu haline getirilerek yorumlanmıştır. Daha sonra, 2018 LGS sınavı matematik soruları ile öğretmen matematik yazılı sınav sorularının Yenilenmiş Bloom Taksonomisi basamaklarına göre yüzdelik dağılımına bakılmıştır. Araştırmanın sonuçlarına göre, 2018 LGS matematik sınavı sorularının Matematik Öğretim Programında yer alan her bir alt öğrenme alanı ve kazanımlarını temsil etme düzeyinin yeterli olmadığı, öğretmen matematik yazılı sınav sorularında, her bir alt öğrenme alanından sorular yer alsa da kazanım sayılarına göre dengeli bir dağılım olmadığı görülmüştür. Ayrıca, hem 2018 LGS sınavı matematik sorularında hem de matematik yazılı sorularında, Yenilenmiş Bloom Taksonomisi Bilgi Boyutunda, "Olgusal Bilgi'' ve "Üstbilişsel Bilgi'' basamağında soruların olmadığı, soruların çoğunlukla "İşlemsel Bilgi'' basamağında olduğu görülmüştür. Öğretmen yazılı soruları, her ne kadar LGS gibi çoğunlukla bilgi boyutunda işlemsel bilgi basamağında yer alsa da, 2018 LGS matematik soruları ile matematik yazılı sorularının Yenilenmiş Bloom Taksonomisi ''Bilgi Boyutu''ndaki dağılımları arasında farklılık ortaya çıktığı gözlemlenmiştir. Ayrıca, hem 2018 LGS sınavı matematik sorularında hem de matematik yazılı sorularında, Yenilenmiş Bloom Taksonomisi Bilişsel Süreç Boyutunda, "Hatırlama'', "Değerlendirme ve "Yaratma'' basamağında soruların olmadığı, 2018 LGS sınavında soruların çoğunlukla "Analiz'' basamağında; matematik yazılı sorularında ise soruların çoğunlukla "Uygulama'' basamağında yer aldığı görülmüştür. Aynı zamanda, 2018 LGS sınavı matematik soruları ile matematik yazılı sorularının Yenilenmiş Bloom Taksonomisi ''Bilişsel Süreç Boyutu''ndaki dağılımları yüzdelik olarak farklılık ortaya çıkmıştır.
Esnek kümelerdeki kısıtlanmış ve genişletilmiş kesişim, birleşim ve fark işlemlerine detaylı bir bakış
Bu tez çalışmasında, temel esnek küme işlemlerinden olan kısıtlanmış ve genişletilmiş kesişim, kısıtlanmış ve genişletilmiş birleşim, kısıtlanmış ve genişletilmiş fark işlemlerinin literatürde mevcut olan özelliklerine yeni pek çok özellik eklenerek, bu işlemlerin özellikleri detaylı bir şekilde incelenmiş ve bu işlemlerin yeni tanımlanmış tüm esnek küme işlemleri de dahil olmak üzere diğer tüm esnek küme işlemlere dağılmasına bakılarak esnek kümeler ile birlikte bu işlemlerin U evreni üzerindeki tüm esnek kümeler kümesi ve sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde, hangi cebirsel yapılar oluşturdukları tüm detaylarıyla sunulmuştur. Ayrıca, literatürde var olan bu alandaki çalışmalardaki bir birtakım matematiksel hatalar da düzeltilerek verilmiştir. Tez altı bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, esnek kümeler, esnek işlemler, bazı cebirsel yapılar ile ilgili detaylı bir literatür taraması yapılmış; ikinci bölümünde bu tez boyunca kullanılacak olan klasik küme işlemleri, cebirsel yapılar ve esnek kümeler ile ilgili temel kavramlar sunulmuş; üçüncü bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş kesişim işleminin; dördüncü bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş birleşim işleminin; beşinci bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş fark işleminin tüm özellikleri detaylı şekilde incelenmiş, klasik kümelerdeki kesişim, birleşim ve fark işleminin özelliklerinin esnek küme işlemlerinde yansıması nasıl olur sorusu özellikle göz önünde bulundurularak bu esnek küme işlemleri ile yeni pek çok özellik verilmiş ve detaylı ispatlarıyla sunulmuştur. Ayrıca, esnek kümeler ile birlikte bu işlemlerin hangi cebirsel yapılar oluşturduğunu görebilmek için her bir işlemin diğer tüm esnek küme işlemlerine dağılmasına bakılmış ve bu işlemlerin esnek kümelerle birlikteUevreni üzerindeki tüm esnek kümeler kümesive sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde, bu tezin sonuç bölümünde toplu olarak verilen monoid, sınırlı yarı-kafes, grup, yarı-halka, hemihalka, sıfır simetrik olmayan sağ yarı yakın-halka, sınırlı dağılmalı kafes, Bool Halkası; Boolcebiri, De Morgan Cebiri, KleeneCebiri, Stone cebiri, MV-cebiri, BCK-cebiri gibi çok çeşitli yapılar oluşturduğu elde edilmiştir.Bu alanda yapılmış diğer tüm çalışmaları da içine alan bu nitelikte kapsayıcı bir çalışmanın alanyazında olmamasının, bu tezin esnek küme teorisine yeni başlayanlar için bir el kitabı niteliğinde olmasını ve literatürdeki bu boşluğu dolduracağını düşünüyoruz.
Yeni tip genişletilmiş esnek küme işlemleri: Tümleyenli genişletilmiş kesişim, gamma ve yıldız işlemi
Esnek küme teorisi, belirsizlik içeren problemlerin çözümünde etkili bir matematiksel araç olarak görülmekte, ortaya atıldığından bu yana teorik ve pratik pek çok alanda uygulanmaktadır. Teori için temeli, esnek küme işlemleri oluşturmaktadır. Bu bağlamda, bu tez çalışmasında teoriye katkıda bulunmak amacıyla, tümleyenli genişletilmiş işlem adı verilen yeni esnek küme işlemleri tanımlanmıştır. Tümleyenli genişletilmiş kesişim, tümleyenli genişletilmiş gamma ve tümleyenli genişletilmiş yıldız adı verilen işlemlerin tüm özellikleri detaylı bir şekilde ele alınmış, her bir işlemin diğer esnek küme işlemleri üzerine dağılmasına işlemlerin diğer esnek küme işlemleri ile ilişkisini elde etmek amacıyla bakılmış, sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde tümleyenli genişletilmiş kesişim işleminin klasik cebirde iyi bilinen ve oldukça öneme sahip pek çok cebirsel yapılar oluşturduğu gösterilmiştir. Tez çalışması, altı bölümden oluşmakta olup, ilk bölümünde esnek kümeler ve tezde adı geçen cebirsel yapılar ile ilgili kaynak taraması yapılmıştır. İkinci bölümde, küme işlemleri, esnek kümeler ve bazı cebirsel yapılar ile ilgili temel tanım ve özelliklere yer verilmiştir. Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölüm olan ve tezin özgün bölümünü oluşturan bölümlerde sırasıyla, tümleyenli genişletilmiş kesişim, tümleyenli genişletilmiş gamma ve tümleyenli genişletilmiş yıldız işlemlerinin tanımları verilmiş, işlemlerin cebirsel özellikleri incelenmiş, bu yeni esnek küme işlemlerinin diğer esnek küme işlemlere dağılmasına bakılarak hem diğer esnek küme işlemleriyle olan ilişkisi görülmüş, hem de hangi cebirsel yapılar oluşturduğu elde edilmiştir. Ayrıca kesişim işleminin, klasik kümede de var olan bir işlem olması sebebiyle, bu klasik küme işleminin özellikleri, tümleyenli genişletilmiş kesişim işleminin özellikleri ile karşılaştırılmıştır. Hem esnek küme teorisine hem de klasik cebire katkıda bulunacak şekilde, sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde tümleyenli genişletilmiş kesişim işleminin bir sınırlı bir yarı-kafes olduğu, ayrıca tümleyenli genişletilmiş kesişim işleminin diğer esnek küme işlemleri ile birlikte komutatif, idempotent, birimli, sıfırsız bir yarı-halka, komutatif, idempotent, birimli bir hemihalka, Bool Cebiri, De Morgan Cebiri, Kleene Cebiri, Stone Cebiri ve MV-cebiri olduğu gösterilmiştir. Sonuç ve öneriler bölümünde, tezde elde edilen sonuçlar ve önemi tartışılmıştır.
Esnek ikili parçalı işlemler ve özellikleri
Yüksek lisans tez çalışması, 1999 yılında Molodtsov tarafından belirsizliği modellemek için ortaya atılan esnek küme teorisi üzerinedir. Tezde yeni pek çok esnek ikili parçalı işlemler tanımlanmış, işlemlerin özellikleri detaylı bir şekilde incelenmiş ve bu işlemlerin U evreni üzerindeki esnek kümeler kümesi ve sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde, hangi cebirsel yapılar oluşturdukları tüm ayrıntılarıyla sunulmuştur. On bölümden oluşan bu çalışmada birinci bölümde esnek kümeler, esnek işlemler ve cebirsel yapılar ile ilgili literatürde yer alan çalışmalara değinilmiştir. İkinci bölümde, bu tez çalışmasında kullanılacak olan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde esnek ikili parçalı kesişim işlemi, dördüncü bölümde esnek ikili parçalı birleşim işlemi, beşinci bölümde esnek ikili parçalı artı işlemi, altıncı bölümde esnek ikili parçalı gamma işlemi, yedinci bölümde esnek ikili parçalı lamda işlemi, sekizinci bölümde esnek ikili parçalı yıldız işlemi, dokuzuncu bölümde esnek ikili parçalı teta işlemi tanıtılmış, örneği verilmiş, bu işlemlerin tüm özellikleri ayrıntılı şekilde incelenmiştir. Bu işlemlerin diğer esnek küme işlemleri ile olan ilişkilerine bakmak adına, bu yeni esnek küme işlemlerinin; diğer esnek küme işlemlerinden olan, kısıtlanmış, genişletilmiş ve esnek ikili parçalı işlemler üzerine dağılma kurallarına bakılmıştır. İşlemlerimizin cebirsel özellikleri ve dağılma kuralları göz önünde bulundurularak, bu işlemlerle birlikte esnek kümeler kümesinin hangi cebirsel yapılar oluşturduğuna bakılmış; belli şartlar altında monoid, sınırlı yarı-kafes, grup, yarı-halka, yarı yakın halka, sağ yarı yakın-halka, hemihalka, sol-sağ sistem, sınırlı dağılmalı kafes, Bool Halkası; Bool cebiri, De Morgan Cebiri, Kleene Cebiri, Stone cebiri gibi çok çeşitli yapılar oluşturduğu sistematik bir şekilde gösterilmiştir. Son bölümde ise bu çalışmadan elde edilen sonuçlara yer verilmiş ve sonuçların önemi tartışılmıştır.
Yeni kısıtlanmış ve genişletilmiş esnek küme işlemleri
Bu tez çalışmasında yeni esnek küme işlemleri tanımlayarak esnek küme literatürüne katkıda bulunmak amaçlanmıştır. Bu bağlamda, pek çok yeni esnek küme işlemleri tanımlanmış, örnekleri verilmiş, işlemlerin tüm cebirsel özellikleri detaylıca incelenmiş, her bir işlemin diğer esnek küme işlemleri ile ilişkisini elde etmek ve U evreni üzerindeki tüm esnek kümeler kümesi üzerinde, bu işlemlerin hangi cebirsel yapıları oluşturduklarını görmek için, işlemlerin diğer işlemler üzerine dağılma kurallarına bakılmıştır. Tez yedi bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, esnek kümeler, esnek kümelerde işlemler ve bazı cebirsel yapılar ile ilgili daha önce yapılan çalışmalar incelenerek literatür taraması yapılmıştır. Temel kavramlar olan ikinci bölüm ise üç alt bölümde incelenmiş olup, ilk alt bölümde kümelerle ilgili tanımlar ve özellikler; ikinci alt bölümde cebirsel yapılarla ilgili temel kavramlar ve üçüncü alt bölümde esnek kümeler ve esnek küme işlemleri ile ilgili temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş artı, dördüncü bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş gamma, beşinci bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş lamda, altıncı bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş yıldız, yedinci bölümde kısıtlanmış ve genişletilmiş teta işleminin tüm cebirsel özellikleri ve diğer işlemlere olan dağılmasına bakılmış, bu işlemlerin U evreni kümesi üzerindeki tüm esnek kümeler kümesi üzerinde, belli şartlar altında monoid gibi birli cebirsel yapılar ile yarı-halka ve yarı yakın halka gibi ikili cebirsel yapılar oluşturduğu görülmüştür. Son bölümünde ise çalışmada elde edilen sonuçlara detaylı şekilde yer verilmiş ve çalışmanın önemi tartışılmıştır.
Yeni tip genişletilmiş esnek küme işlemleri: Tümleyenli genişletilmiş birleşim, artı ve teta işlemi
Molodtsov tarafından 1999 yılında bazı belirsizlik içeren problemleri modellemek için ortaya atılan esnek küme teorisinin temel yapı taşını esnek küme işlemleri oluşturmaktadır. Bu tez çalışmasında, teoriye katkıda bulunmak için, yeni bir esnek küme işlem formu olan tümleyenli genişletilmiş işlemler tanımlanmıştır. Bu kapsamda, tümleyenli genişletilmiş birleşim, tümleyenli genişletilmiş artı ve tümleyenli genişletilmiş teta işlemleri tanımlanmış, örnekleri verilmiş, işlemlerin tüm özellikleri detaylı bir şekilde ele alınmış, her bir işlemin diğer esnek küme işlemleri ile ilişkisini elde etmek amacıyla, bu işlemlerin diğer esnek küme işlemleri üzerine dağılmasına bakılmış ve sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin hangi cebirsel yapılar oluşturduğu detaylı şekilde ele alınmıştır. Altı bölümden oluşan tez çalışmasının ilk bölümünde esnek kümeler ve tezde adı geçen cebirsel yapılar ile ilgili literatür taraması yapılmış, ikinci bölümde, temel küme işlemleri, esnek kümeler ve bazı cebirsel yapılar ile ilgili temel kavramlara yer verilmiştir. Tezin özgün bölümünü oluşturan, üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerinde sırasıyla, tümleyenli genişletilmiş birleşim, tümleyenli genişletilmiş artı ve tümleyenli genişletilmiş teta işlemleri tanıtılmış, işlemlerin kapalılık, birleşme, birim eleman, ters eleman, değişme, idempotent gibi tüm özellikler incelenmiş, diğer işlemlerle ilişkişini görmek için, işlemlerin diğer işlemlere dağılmasına bakılmıştır. Klasik kümelerde de var olan birleşim işlemi ile tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin özellikleri karşılaştırılmış ve dikkat çekici sonuçlar elde edilmiştir. Üstelik sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde, tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin sınırlı bir yarı-kafes; yine tümleyenli genişletilmiş birleşim işleminin diğer esnek küme işlemleri ile birlikte komutatif, idempotent, birimli, sıfırsız bir yarı-halka, komutatif, idempotent, birimli bir hemihalka, Bool Cebiri, De Morgan Cebiri ve MV-cebiri olduğu gösterilerek, klasik cebire de katkıda bulunulmuştur. Sonuç ve öneriler bölümünde, elde edilen sonuçlara ve sonuçların önemine yer verilmiştir.
Yeni tip genişletilmiş esnek küme işlemleri: Tümleyenli genişletilmiş fark ve lamda işlemi
Bu tez çalışmasında, esnek küme teorisine katkıda bulunmak için, bazı yeni esnek küme işlemleri tanımlanmıştır. Bu kapsamda, tümleyenli genişletilmiş fark ve tümleyenli genişletilmiş lamda işlemi tanımlanmış, örnekleri verilmiş, işlemlerin tüm özellikleri detaylı bir şekilde incelenmiş, her bir işlemin diğer esnek küme işlemleri ile ilişkisini elde etmek bu işlemlerin diğer esnek küme işlemleri üzerine dağılma kurallarına bakılmış, sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde bu işlemlerin hangi cebirsel yapılar oluşturduğu incelenmiştir. Tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölümde, esnek kümeler ile ilgili literatür taraması yapılmıştır. İkinci bölümde, esnek küme ve BCK-cebiri ilgili tanım ve kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü ve dördüncü bölümde sırasıyla tümleyenli genişletilmiş fark ve tümleyenli genişletilmiş lamda işleminin tüm özelliklerine bu işlemlerin diğer işlemlere olan dağılmasıyla birlikte bakılmıştır. İşlemlerin özelliklerine bakılırken, kapalılık, birleşme, birim eleman, ters eleman, değişme, idempotentlik gibi tüm özellikler incelenmiş olup, özellikle fark işlemi klasik küme teorisinde de var olan bir işlem olduğu için, klasik kümelerdeki fark işleminin tümleyenli genişletilmiş fark işlemi ile ne gibi benzer özellikler oluşturduğu dikkatli şekilde ele alınmış ve çok çarpıcı sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca, tümleyenli genişletilmiş fark işleminin sabit parametreli esnek kümeler kümesi üzerinde BCK-cebiri oluşturduğu gösterilmiştir. Sonuç ve öneriler bölümünde, elde edilen sonuçlara yer verilmiştir.
Yarıgrupların esnek kesişimsel (hemen hemen) bi-iç idealleri ve zayıf-iç idealleri, esnek kesişimsel hemen hemen alt yarıgruplar ve idealleri, bi-quasi idealleri ve tri-bi-idealleri
Esnek küme teorisi, Molodtsov tarafından 1999 yılında belirsizliği modellemek amacıyla ortaya atılmış ve birçok alanda geniş kapsamlı çalışmalarla ilerleme göstermiştir. Bu çalışmalardan biri de yarıgrup teorisinde esnek kümeler kullanılarak yarıgrupların farklı çeşitlerdeki esnek kesişimsel ideallerinin tanımlanması ve temel özelliklerinin incelenmesidir. Bu tez çalışmasında, esnek küme teorisine katkıda bulunmak amacıyla, yarıgrupların çeşitli esnek kesişimsel idealleri ve esnek kesişimsel hemen hemen idealleri tanıtılmıştır. On bir bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde, yarıgruplar ve (hemen hemen) idealleri, esnek kümeler, yarıgruplar ve yarıgrupların çeşitli esnek kesişimsel (hemen hemen) idealleri ile ilgili literatürde yer alan çalışmalara değinilmiştir. İkinci bölümde, bu tez çalışmasında kullanılan temel tanım ve teoremler verilmiş, esnek basit* yarıgrup kavramı tanıtılmış ve örneklendirilmiştir. Üçüncü bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel zayıf-iç idealleri, dördüncü bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel bi-iç idealleri, beşinci bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen alt yarıgrupları, altıncı bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen idealleri, yedinci bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen zayıf-iç idealleri, sekizinci bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen bi-iç idealleri, dokuzuncu bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen bi-quasi idealleri, onuncu bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen tri-bi-idealleri tanıtılmış, örnekleri verilmiş ve özellikleri incelenmiştir. Bazı esnek kesişimsel (hemen hemen) idealler arasındaki ilişkiler detaylı bir şekilde incelenmiş; klasik yarıgrup teorisi ve esnek küme teorisi arasındaki önemli bağlantılar, bazı ana teoremler ve örneklerle sunulmuştur. Ayrıca, esnek küme işlemlerinin bu yapılar ile ilişkili sonuçları ile bu yapıların esnek görüntü, esnek ters görüntü gibi bazı kavramsal karakterizasyonları ele alınmış ve örneklendirilmiştir. Çeşitli hemen hemen idealler ile esnek kesişimsel hemen hemen idealler arasında minimalite, asallık, yarı asallık ve kuvvetli asallık açısından önemli ilişkiler elde edilmiştir. Son bölümde ise bu çalışmadan elde edilen sonuçlara yer verilmiş ve sonuçların önemi tartışılmıştır.
Yarıgrupların esnek kesişimsel bi-quasi idealleri, esnek kesişimsel hemen hemen bi-idealleri ve tri-idealleri
Esnek küme teorisi 1999 yılında Molodtsov tarafından ortaya atıldığından bu yana yeni bir matematiksel yaklaşım olarak kabul edilmiş ve cebirsel anlamda geniş kapsamlı uygulama alanına sahip olmuştur. İdealler ise cebirsel yapıların ve uygulamalarının ileri düzeyde incelenmesi için gereklidir. Bu alandaki çalışmaları ilerletmek için cebirsel yapılardaki idealleri geliştirmek ve genelleştirmek gerekmektedir. Bu tez çalışmasında, esnek küme teorisine katkıda bulunmak amacıyla yarıgrupların "Esnek Kesişimsel Bi-quasi İdeal", "Esnek Kesişimsel Hemen Hemen Bi-ideal" ve "Esnek Kesişimsel Hemen Hemen Tri-ideal" olarak adlandırılan yeni esnek kesişimsel (hemen hemen) ideal türleri tanıtılmış, özellikleri ifade edilmiş ve yarıgrupların diğer esnek kesişimsel (hemen hemen) idealler ile olan ilişkileri incelenmiştir. Esnek küme teorisi ile klasik yarıgrup teorisi arasında bir köprü oluşturmak amacıyla, bazı önemli bağlantılar elde edilmiştir. Altı bölümden oluşan bu çalışmada ilk bölümde yarıgruplar, esnek kümeler, yarıgrupların esnek kesişimsel idealleri ve esnek kesişimsel hemen hemen idealleri ile ilgili literatürde yer alan çalışmalara değinilmiştir. İkinci bölümde, bu tez çalışmasında kullanılan temel tanımlar, özellikler ve teoremlere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel bi-quasi ideali tanıtılmış, örneği verilmiş ve yarıgrupların bazı esnek kesişimsel ideallerle ilişkisi incelenmiştir. Gerekli şartlar altında bir yarıgrubun esnek kesişimsel idealinin (bi-idealin, quasi-idealin, iç idealin), bir esnek kesişimsel bi-quasi ideal olduğu gösterilmiştir. Bu ifadelerin karşıtlarının her zaman doğru olmadığına ilişkin aksi örnekler sunulmuş ve karşıtlarının geçerli olması için, yarıgrubun esnek basit* yarıgrup veya regüler yarıgrup olması gerektiği kanıtlanmıştır. Dördüncü ve beşinci bölümlerde sırasıyla bir yarıgrubun esnek kesişimsel hemen hemen bi-ideal ve esnek kesişimsel hemen hemen tri-ideal tanıtılmış, örneği verilmiş, yarıgrupların çeşitli esnek kesişimsel idealler ve esnek kesişimsel (hemen hemen) ideallerle ilişkileri incelenmiştir. Yeterli şartlar altında yarıgrupların bir esnek kesişimsel bi-idealinin (tri-idealin) bir esnek kesişimsel hemen hemen bi-ideal (tri-ideal); bir esnek kesişimsel hemen hemen bi-idealinin (tri-idealin) bir esnek kesişimsel hemen hemen alt yarıgrup olduğu gösterilmiştir. Son bölümde ise bu çalışmadan elde edilen sonuçlara ayrıntılı bir şekilde yer verilmiştir.
Yarıgrupların esnek kesişimsel (hemen hemen) bi-quasi-iç idealleri ve esnek kesişimsel hemen hemen iç idealleri
Bu tez, Molodstov tarafından belirsizlikleri içeren problemleri modellemek için ortaya atılan esnek küme teorisi alanında yapılan bir çalışmadır. Bu çalışmada esnek küme teorisine katkıda bulunmak amacıyla, yarıgrupların üç farklı esnek kesişimsel (hemen hemen) ideali tanıtılmış, klasik yarıgruptaki ideallerden yola çıkarak idealler arasındaki geçişlerin esnek küme teorisindeki yansımaları incelenip elde edilen sonuçlar sistemli bir şekilde sunulmuştur. Altı bölümden oluşan bu çalışmada birinci bölümde, yarıgruplar, esnek kümeler, yarıgruplar, yarıgrupların idealleri ile ilgili literatürde yer alan çalışmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde, bu tez çalışmasında kullanılan yarıgruplar, yarıgrupların idealleri ve hemen hemen idealleri, esnek kümeler, yarıgrupların esnek (hemen hemen) kesişimsel idealleri ile ilgili temel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, yarıgrupların esnek kesişimsel bi-quasi-iç idealleri tanımlanmış, örneklendirilmiş ve yarıgrupların diğer esnek kesişimsel ideallerle arasındakı ilişkiler keşfedilmiştir. Bir yarıgrubun her esnek kesişimsel bi-idealinin, esnek kesişimsel iç idealinin, esnek kesişimsel sol (sağ) idealinin, esnek kesişimsel quasi-idealinin, esnek kesişimsel bi-iç idealinin, esnek kesişimsel sol (sağ) bi-quasi idealinin ve esnek kesişimsel sol (sağ) quasi-iç idealinin bir esnek kesişimsel bi-quasi-iç ideal olduğu, gerekli şartlar sağlandığında karşıtlarının da doğru olabileceği teoremlerle ispatlanmıştır. Ayrıca bi-quasi-iç ideal olan bir altyarıgubun esnek karakteristik fonksiyonunun esnek kesişimsel bi-quasi-iç ideal olduğu ve karşıtının da doğru olduğu ispatlanmıştır. Böylece klasik yarıgrup teorisi ile esnek küme teorisi arasında önemli bir bağlantı bulunmuştur. Dördüncü bölümde, yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen iç idealleri, beşinci bölümde yarıgrupların esnek kesişimsel hemen hemen bi-quasi-iç idealleri tanımlanmış, örneklendirilmiştir ve özellikleri incelenmiştir. Bir yarıgrubun boştan farklı bir alt kümesi hemen hemen iç ideal (bi-quasi-iç ideal) ise bu kümenin esnek karakteristik fonksiyonun esnek kesişimsel hemen hemen iç ideal (bi-quasi-iç ideal) olduğu gösterilmiştir. Ayrıca klasik yarıgrup teorisindeki bir hemen hemen idealin minimalliği, asallığı, yarı asallığı, kuvvetli asallığı ile ilgili tanımlar ve teoremler esnek küme teorideki esnek kesişimsel hemen hemen ideallere de aktarılarak önemli geçişelr elde edilmiştir. Son bölüm olan altıncı bölümde elde edilen sonuçlar ve çalışmanın sonuçlarının önemi tartışılmıştır
Yarıgrupların esnek kesişimsel (hemen hemen) quasi-iç idealleri ve esnek kesişimsel hemen hemen quasi-idealleri
Belirsizliği modellemede kullanılan yeni bir metod olan esnek küme teorisi, ilk olarak Molodtsov tarafından 1999 yılında ortaya konulmuş ve teori birçok matematiksel alana uygulanmıştır. Bu çalışmada, yarıgrupların esnek kesişimsel ideallerin genelleştirilmesi amacıyla, yarıgrupların yeni esnek kesişimsel idealleri ve esnek kesişimsel hemen hemen idealleri tanıtılmıştır. Bu bağlamda, bir yarıgrubun "Esnek Kesişimsel Hemen Hemen Quasi-ideal" ve "Esnek Kesişimsel (Hemen Hemen) Quasi-iç İdeal" yapıları verilmiş, özellikleri ve diğer esnek kesişimsel (hemen hemen) ideallerle olan ilişkileri incelenmiştir. Altı bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde esnek kümeler, esnek küme işlemleri, yarıgruplar ve yarıgrupların idealleri ile ilgili literatürdeki çalışmalara değinilmiştir. İkinci bölümde, bu tez çalışması boyunca kullanılan tanım, teorem ve kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, bir yarıgrubun esnek kesişimsel quasi-iç ideal yapısı tanıtılmış, özellikleri verilmiş ve diğer esnek kesişimsel ideallerle olan ilişkileri incelenmiş ve örneklendirilmiştir. Ayrıca, bir yarıgrubun bir altgrubunun bir quasi-iç ideal olmasının, o altyarıgrubun esnek karakteristik fonksiyonunun bir esnek kesişimsel quasi-iç ideal olmasına denk olduğu elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, bir yarıgrubun esnek kesişimsel hemen hemen quasi-ideal ve onun genellemesi olan esnek kesişimsel zayıf hemen hemen quasi-ideal yapıları, beşinci bölümde, bir yarıgrubun esnek kesişimsel hemen hemen quasi-iç ideal ve onun genellemesi olan esnek kesişimsel zayıf hemen hemen quasi-iç ideal yapılarının özellikleri verilmiş ve diğer esnek kesişimsel hemen hemen ideallerle olan ilişkileri gösterilmiştir. Ayrıca, bir yarıgrubun hemen hemen quasi (quasi-iç) idealler ile esnek kesişimsel hemen hemen quasi (quasi-iç) idealler arasında minimallik, asallık, yarı asallık ve kuvvetli asallık ilişkileri de elde edilmiş ve bu yapıların karakterizasyonları verilmiştir. Böylece, klasik yarıgrup teorisi ile esnek küme teorisi arasındaki ilişkiler bu çalışmada gösterilmiştir. Son bölümde ise bu tez çalışmasından elde edilen sonuçlara, sonuçların önemine ve önerilere yer verilmiştir.
Esnek kümelerde teta-çarpım, artı-çarpım, fark-çarpım, kartezyen-çarpım işlemleri ve karar verme problemlerine uygulamaları
Bu tez çalışmasında, esnek küme teorisine katkı sağlamak amacıyla yeni esnek küme çarpımları tanıtılmış ve bu çarpımların temel cebirsel özellikleri detaylı şekilde incelenmiştir. Çalışma kapsamında, tanımlanan çarpımların kısıtlanmış, genişletilmiş ve ikili esnek ikili parça işlemleri üzerine dağılma özellikleri analiz edilmiştir. Ayrıca, karar verme metodu kullanılarak, verilen çarpımların karar verme problemlerine uygulanabilirliği değerlendirilmiş ve konunun anlaşılmasını desteklemek amacıyla çeşitli örnekler sunulmuştur. Tez, altı bölümden oluşmakta olup, ilk bölümde, esnek kümeler ve temel kavramlarıyla ilgili genel bir bilgi sunulmuş, literatürde var olan çeşitli esnek altkümeler ve esnek eşitlik türleri ayrıntılı biçimde incelenmiştir. İkinci bölümde, esnek teta-çarpım tanıtılmış, esnek teta-çarpımın cebirsel özellikleri, diğer esnek küme işlemlerine dağılması; esnek- teta çarpımının günlük hayat karar verme problemine uygulaması ele alınmıştır. Sırasıyla üçüncü, dördüncü, beşinci bölümlerde, esnek artı-çarpım, esnek fark-çarpım, esnek kartezyen çarpım tanıtılmış olup, bu çarpımların cebirsel özellikleri, diğer esnek küme işlemlerine dağılması ve günlük hayat karar verme problemine uygulaması çalışılmıştır. Son bölüm, genel bulguları bir araya getirmekte, elde edilen sonuçların eleştirel bir değerlendirmesini sunmakta ve önerilen esnek küme çarpımlarının kuramsal önemini ve potansiyel uygulamalarını vurgulayarak, bu çalışmanın esnek küme teorisinin daha geniş kapsamlı gelişimine yaptığı katkıyı öne çıkarmaktadır.
Esnek kümelerde yıldız-çarpım, gamma-çarpım, lamda-çarpın işlemleri ve karar verme problemlerine uygulamaları
Molodtsov, 1999 yılında belirsizlikle başa çıkmak için, esnek küme teorisini ortaya atmış, sonraki çalışmalar çeşitli esnek çarpım işlemleri tanıtarak, alternatifler arasında en iyi seçeneği belirlemeye yönelik sistematik bir karar verme süreci geliştirerek, bunun belirsizlikle başa çıkmada etkili olduğunu göstermişlerdir. Bu tezde, esnek gamma-çarpımı, esnek lamda-çarpımı, esnek yıldız-çarpımı olarak adlandırılan yeni esnek çarpımlar tanıtılmaktadır. Bu çarpımların, M-altküme/eşitlik, F-altküme/eşitlik, L-altküme/eşitlik ve J-altküme/eşitlik gibi farklı alt küme ve eşitlik türleriyle olan cebirsel özellikleri detaylı bir şekilde değerlendirilmiştir. Ayrıca bu çarpımların, çeşitli esnek küme işlemleri üzerine dağılım özellikleri incelenmiştir. Son olarak, karar verme senaryosunda en iyi seçeneği belirlemek amacıyla bu çarpımlar problem durumuna uygun olarak, belirsizlik içeren günlük hayat problemine uygulanmış ve karar verme sürecindeki uygulanabilirliği gösterilmiştir. Bu çalışma, hem teorik derinlik hem de karar verme uygulamalarıyla uygulama olarak gerekli kuramsal temelleri oluşturarak, esnek küme teorisi literatürüne katkı sağlamayı hedeflemektedir.