Theses supervised by Prof. Dr. Mahir Resulov
16 theses · İstanbul Beykent University
Bir boyutlu nonlineer parabolik denklem için çözümdeki patlama olayının sayısal incelenmesi
Tezde nonlineer kaynak fonksiyonuna sahip, ikinci basamaktan Kuazi lineer parabolik tür denklemler için yazılmış başlangıç sınır değer problemi, genelleştirilmiş fonksiyonlar sınıfında incelenmiştir. Önce göz önüne aldığımız problemin gerçek çözümünün özellikleri incelenmiştir. Gerçek çözümün diferansiyellenme özellikleri dikkate alınarak iki tür yardımcı problem önerilmiştir. Gerçek çözümün zayıf süreksizlik noktalarına sahip olduğu durumlarda birinci tür yardımcı problem önerilmiştir. Önerilen yardımcı problemin esas problemde bulunmayan avantajları kullanılarak, esas problemin numerik çözümünü elde etmek için etkin algoritmalar önerilmiştir. Gerçek çözüm birinci tür süreksizliğe sahip olduğu takdir de ikinci tür yardımcı problem önerilir. Önerilen yardımcı problemler, esas problemin genelleştirilmiş fonksiyonlar sınıfından sayısal çözümlerinin bulunmasına ve incelenmesine imkan verir. Yazılmış algoritmalar üzerinde birçok bilgisayar testleri yapılmıştır.
Sinüs gordon denkleminin genelleştirilmiş fonksiyonlar sınıfında çözümü için sayısal algoritma
Üç bölümden olusan tezde sinüs Gordon denkleminin genellestirilmis fonksiyonlar sınıfında sayısal çözümü için sade ve efektif bir sayısal algoritma önerilmistir. Bilindiği gibi bir diferansiyel denklemi sonlu farklara ayrıklastırdığımızda, çözümün yüksek basamaktan türevlerinin varolması gerekmektedir. Fakat, nonlineer denklemler için çoğu zaman çözümün diferansiyellenebilme derecesi, denklemin derecesinden düsük olmaktadır. Bu ise böyle denklemler için sonlu farklar yöntemini direk uygulamaya imkân vermez. Bu nedenle, tezin birinci bölümünde genellestirilmis fonksiyonların temel teorisi, genellestirilmis fonksiyon, genellestirilmis türev ve zayıf çözüm kavramları verilerek gerekli altyapı olusturulmustur. ?kinci bölümde sinüs Gordon denkleminin durağan çözümlerinin ele alınması için birkaç yöntem (Değiskenlerin Ayrılması, Bäcklund Dönüsümü, Ters Saçılma Metodu vs) irdelenmistir. Bu yöntemler Schwartz fonksiyonlar sınıfında çalısmaktadır. Son bölümde ise sinüs Gordon denkleminin çözümü için nümerik bir algoritma sunulmustur. Bunun için esas probleme denk olan ve özel olarak olusturulmus yardımcı bir problem ortaya konmustur. Bu yardımcı problemin diferansiyellenebilme özelliği esas problemin diferansiyellenebilme özelliğinden bir fazladır. Anahtar Kelimeler: Genellestirilmis Fonksiyonlar, Zayıf Çözüm, Solitonlar, Sinüs Gordon Denklemi, Sonlu Farklar Yöntemi
Parabolik denklem için klasik olmayan başlangıç - sınır değer probleminin gerçek çözümü
Tezde genel olarak ısı denklemi için yazılmış başlangıç-sınır değer probleminin gerçek çözümü elde edilmiştir. Önce lokal sınır koşullu problem incelenmiş ve çözümün özelikleri irdelenmiştir. İkinci bölümde ise lokal olmayan sınır koşullu problemin çözümü araştırılmıştır. Bu amaçla önce ayrılış formülü ispatlanmış ve söz konusu ayrılış formülü kullanılarak esas problemin çözümü için hızlı yakınsak seri şeklinde çözüm elde edilmiştir. Son bölümde ise iki boyutlu ısı denkleminin lokal olmayan sınır koşulları çerçevesinde gerçek çözümü elde edilmiştir.
Telin titreşim denklemi için lokal olmayan sınır değer probleminin çözümü
Tezde telin küçük titreşimlerini ifade eden lineer dalga denkleminin lokal olmayan sınır koşulları altında gerçek çözümü elde edilmiştir. Bu amaçla önce uygun spektral problemin çözümü elde edilmiş, problemin Green fonksiyonu bulunmuş ve uygun ayrılış formülü elde edilmiştir. Söz konusu ayrılış formülü kullanılarak esas problemin çözümü spektral problemin tam rezidüleri cinsinden sonsuz seri şeklinde elde edilmiştir
Fourier analizi ve ters problem
Tezde Fourier dönüşümü kullanarak bazı sınıf istasyonel olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin gerçek çözümleri incelenmiştir.Ayrıca da serpilmenin ters problemi de kullanılarak birinci basamaktan kısmi türevli diferansiyel denklemlerin gerçek çözümleri ele alınmıştır.Bazı durumlarda lineer Schrödinger denkleminin gerçel çözümleri incelenmiştir.
1.Basamaktan nonlineer diferansiyel denklemler sisteminin zayıf çözümleri ve riemann invaryantları
Tezde 1.basamaktan kuazi lineer kısmi türevli diferansiyel denklemler sistemi incelenmiştir. Bilindiği gibi 1.basamaktan kısmı türevli denklemler sistemi için Cauchy probleminin çözümü için mevcut olan klasik yöntem karakteristikler yöntemi olmaktadır.Fakat karakteristikler yöntemini kısmi türevli denklemler sistemine direk uygulamak mümkün olmamaktadır.Bu nedenle Riemann invaryantları kavramı içerilir ve 1.basamaktan kısmi türevli denklemler sisteminin her bir denkleminibilinen bir yön üzere tam diferansiyel şeklinde yazılabilir.Böyle yönlere karakteristikler denir. Bu nedenle tezde karakteristikleri elde etmek için gerekli koşullar bulunur ve karakteristikler üzerindeki koşullar kullanılarak Riemann invaryantları bulunmuştur
1. basamaktan dalga denklemi için Cauchy probleminin zayıf çözümleri
Tezde, birinci basamaktan kuazi lineer diferansiyel denklem için yazılmış Cauchy problemlerinin zayıf çözümünü bulmak için genel teori incelenmiştir. Tezin birinci bölümünde kabarık hal fonksiyonuna sahip bir boyutlu kuazi lineer diferansiyel denklemler için yazılmış Cauchy probleminin gerçek çözümleri elde edilmiştir. Entropinin artma koşulu da bu bölümde incelenmiştir.Elde edilmiş sonuçları kullanarak, kabarık olmayan hal fonksiyonuna sahip bir boyutlu kuazi lineer diferansiyel denklem için yazılmış Cauchy probleminin gerçek çözümleri elde edilmiştir.Tezin sonuncu bölümünde 2-boyutlu denklem için yazılmış başlangıç değer problemlerinin gerçek çözümünü bulmak için yeni bir yöntem önerilmiştir. Bu amaçla, esas problemden farklı avantajları olan yardımcı problem önerilmiştir. Önerilmiş yardımcı problemi kullanarak 2-boyutlu denklem için yazılmış Cauchy probleminin nümerik çözümü için yeni bir sayısal algoritma da önerilmiştir.
İletim hattı denklemleri için başlangıç-sınır değer problemi
Tezde genelde iletim hattı problemleri için yazılmış başlangıç-sınır değer probleminin çözümü incelenmiştir. Bilindiği gibi, iletim hattı (veya telgraf) denklemleri birinci basamaktan kısmi türevli diferansiyel denklemler sistemi olmaktadır. Söz konusu sistemin çözümü için önce gerçek çözüm, sonra ise sayısal çözüm elde edilmiştir.Dört bölümden oluşan tezin ilk bölümünde, iletim hattı denklemlerinin çözümünü elde etmek için gereken alt yapı incelenmiş, gerekli bilgi ve bazı kavramlar içerilmiştir.Telgraf denklemi ikinci basamaktan hiperbolik tür denklem olmaktadır. Literatürden bilindiği üzere, ikinci basamaktan kısmi türevli diferansiyel denklemin çözümü sürekli, birinci basamaktan (x değişkenine göre) türevi karakteristikler üzerinde süreksiz olmaktadır. Dolayısıyla, söz konusu denklemin klasik çözümü mevcut olmayabilir. Bu nedenle tezin birinci bölümünde ayrıca kısmi türevli diferansiyel denklemler teorisinden bazı kavramlar, zayıf çözümün tanımı vs. gibi bilgiler verilmiştir. Bunun yanı sıra zayıf çözümü elde etmek için özel yolla içerilmiş yardımcı problem önerilmiştir.İkinci bölümde hiperbolik tür denklemler sisteminin tanımı ve karakteristikleri detaylı şekilde incelenmiştir.Üçüncü bölümde ise, ikinci bölümdeki sonuçları ve önerilen yardımcı problemi kullanarak hidrodinamiğin model denklemler sistemi olarak bilinen nonlineer denklemler sisteminin gerçek çözümleri elde edilmiştir.Nihayet son bölümde iletim hattı denklemleri çıkarılmış ve Riemann invaryantları elde edilmiştir. Bunun yanı sıra iletim hattı denklemler sistemi için yazılmış başlangıç-sınır değer problemi için süreksiz fonksiyonlar sınıfında sonlu fark yöntemi incelenmiştir.
İki boyutlu nonlineer dalga denkleminin süreksiz fonksiyonlar sınıfında çözümü
Dört bölümden oluşan tezde 2 boyutlu kuazi lineer kısmi türevli diferansiyel denklem için yazılmış Cauchy probleminin gerçek çözümünün elde edilmesi için bir yöntem geliştirilmiştir.İkinci bölümde, önce sabit katsayılı denklem için yazılmış başlangıç değer probleminin gerçek çözümü elde edilmiş ve çözümün bazı özellikleri incelenmiştir. Bunun için esas problemde bulunmayan avantajlara sahip iki tane yardımcı problem dahil edilmiş ve yardımcı problemin avantajları kullanılarak esas problemin gerçek çözümü elde edilmiştir.Tezin üçüncü bölümünde elde edilen sonuçlar 2 boyutlu kuazi lineer Hopf denklemi için geliştirilmiştir.Son bölümde ise, durum (state) fonksiyonu konveks olmayan birinci basamaktan nonlineer kısmi türevli diferansiyel denklem için yazılmış Cauchy problemi incelenmiş ve problemin gerçek çözümü elde edilmiştir.
Hiperbolik denklemlerin entropi çözümleri
Tezde kuazi lineer kısmi türevli diferansiyel denklem için yazılmış Cauchy problemi incelenmiştir. Bilindiği üzere hem pozitif, hem de negatif eğilime sahip başlangıç koşullu problemin çözümünde yeri önceden bilinmeyen sıçrayış noktaları mevcut olmaktadır. Bu türden olan çözümler zayıf çözüm kavramı dahil edilmekle ifade edilebilir. Fakat, zayıf çözümünde tek olmadığı da bilinmektedir.Tezde Hopf denklemi için yazılmış Cauchy probleminin çözümü incelenmiş ve sıçrayış noktalarının yerini bulmak için bir metod irdelenmiştir. Ayrıca çözümün tekniğini garantilemek için entropi fonksiyonları dahil edilmiş ve entropinin artma koşulunu koruyan çözümlerin varlığı ispatlanmıştır.
Hopf denkleminin sonlu farklarla sayısal çözümü
Dört bölümden oluşan tezde, genelde 1. Basamaktan Nonlineer hiperbolik tür denklemler için yazılmış başlangıç, başlangıç- sınır değer problemlerinin sayısal çözümleri incelenmiştir.Bunun için önce diferansiyel probleminin gerçek çözümleri bulunmuştur ve gerçek çözümün diferansiylenebilme özelikleri incelenmiştir. Tespit edilmiştir ki nonlineer denklemlerin çözümleri başlangıç fonksiyon hem negatif hem pozitif eğimlere sahip olduğu taktirde, yeri önceden bilinmeyen sıçrayış noktalarına sahiptir. Dolayısıyla problemin klasik çözümün mevcut olmadığı ispatlanmıştir.Zayıf çözümü bulmak için esas çözümde bulunmayan avatajlara sahip, yardımcı problem önerilmiştir. Önerilen yardımcı problem, incelediğimiz diferansiyel problemin sayısal çözümünü bulmak için geniş imkanlar sağlamaktadır.Bunaları gösterebilmemiz için tezin birinci bölümde sonlu farklar yönteminin temelleri incelenmiştir.İkinci bölümde lineer ve lineer olmayan Hoph denkleminin sayısal çözümünün bulunması için algoritmalar geliştirilmiştir.Üçüncü bölümde ise Hoph denklemi için yazılmış başlangıç - sınır değer problemlerinin sayısal çözümü elde edilmiştir.Tezin sonuncu bölümünde, tabakalı ortamda petrolun su ile sıkıştırılması problemini ifade eden diferansiyel problemin çözümü elde edilmiştir.
Riemann invaryantları ve hiperbolik denklem ve denklemler sisteminin çözümü
Tezde 1.basamaktan hiperbolik tür denklemler sisteminin karakteristikler yöntemiyle çözümleri incelenmiştir.Bunun için tezin birinci kısmında 1.basamaktan hiperbolik tür denklem ve denklemler sistemi için hangi koşulların verilebileceği irdelenmiştir.Tezin ikinci kısmında sabit katsayılı kısmi türevli hiperbolik tür denklemler sisteminin çözümünün bulunması için karakteristikler yöntemi uygulanmış ve bazı sınıf pratik önem taşıyan sabit katsayılı denklemler sisteminin gerçek çözümleri elde edilmiştir.Tezin sonuncu bölümünde ideal gazların izentropik ve sabit entropili akışını ifade eden non-lineer denklemler sisteminin gerçek çözümünün bulunması için bir yöntem geliştirilmiştir.
Dejenere olabilen nonlineer parabolik tür denklemlerin nümerik çözümleri
Tezde, ikinci basamaktan iki kez dejenere olunan nonlineer (lineer olmayan) parabolik tür denklem için yazılmış başlangıç-sınır değer probleminin çözümünün yapısı incelenmiştir. Bunun için önce iki fazlı sıvıların tabakalı ortamda mikroskobik hareketini ifade eden denklem çıkarılmış ve özel durumlarda bu denklemin analitik çözümünün özellikleri incelemiştir.Tezin 3.bölümünde söz konusu denklemin tüm fiziksel olaylarını düzgün aks ettirebilen, süreksiz fonksiyonlar sınıfında nümerik çözümünün elde edilmesi için esas bir nümerik yöntem önerilmiştir. Bunun yanı sıra nümerik çözümün gerçek çözüme yakınsaklığı da incelenmiştir. Önerilen yöntemin etkinliğini gösterebilmemiz için bazı özel durumlarda bilgisayar testleri de yapılmıştır.
Otobanda trafik akış dinamiğinin süreksiz fonksiyonlar sınıfında matematiksel modeli ve çözümü
Tezde otobanlardaki trafik akışının dinamiğini düzgün aksettiren matematiksel bir model oluşturulmuştur. ve sırasıyla arakesitin sağ ve sol tarafındaki araç yoğunluğunu göstermek üzere, durumunda çözümün parçalı sürekli bir fonksiyon olduğu gözlenmiştir. Aksi halde, çözümde yeri önceden bilinmeyen bir şokun meydana geldiği ispatlanmış ve sıçrayışın yerinin bulunması için bir metot önerilmiştir. İlaveten önerilen metodun gerçekleştirilmesi için akış parametreleri de bulunmuştur.
Riemann problem for one diferantional Burgers equation and its solution
In first section of this thesis which consists of there sections the Riemann problems are explained, wehere four sectional Riemann problem is clascified. In thrid past using Liska-Wendroff the compozite schems is given. Additian to, for two sectional Riemann problem for 2 Dimensional Burgers equation is suggested.
Birinci basamaktan Kuazi lineer kısmi türevli denklemler sistemi için Cauchy problemi ve sıkışabilir viskozitesiz gaz dinamiği probleminin sayısal çözümü
Bu çalışmada genel olarak birinci basamaktan kısmi türevli diferansiyel denklemler sistemi için Cauchy probleminin çözümü incelenmiştir. Birinci bölümde karakteristikler yönteminin teorik yapısı açıklanmıştır. Skaler denklem ve denklemler sistemi için karakteristikler yönteminin prensip olarak farkları açıklanmıştır. İkinci bölümde, önce sabit katsayılı denklemler sisteminin genel çözümü bulunmuş, sonra söz konusu denklemler sistemi için Cauchy probleminin çözümü elde edilmiştir. Üçüncü bölümde ise sıkışabilir viskozitesi çok az olan gazların hareketini ifade eden nonlineer denklemler sisteminin süreksiz fonksiyonlar sınıfında sayısal çözümünün bulunması için bir yöntem önerilmiştir. Ayrıca sayısal çözümün özellikleri ve bazı gerekli aprior değerlendirmeler de elde edilmiştir. Söz konusu değerlendirmelerin yardımı ile sayısal çözümün gerçek çözüme yakınsaklık teoremi de ispatlanmıştır.