Theses supervised by Doç. Dr. İlker İnam
15 theses · Bilecik Şeyh Edebali Üniversity
Eisenstein serileri üzerine
Beş bölümden oluşan bu çalışmada Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi'yle Cebir ve Sayılar Teorisi'nin arakesitinde yer alan Eisenstein serileri çalışılmıştır. İlk bölümde konu tanıtılmış olup, ilerleyen bölümlerde kullanılacak kavramlar tanımlanmış ve bu kavramlarla ilgili özellikler ele alınmıştır. İkinci bölümde Eisenstein serileri tanımlanmış, bu serilerin Fourier açılımları tanıtılmış ve çeşitli örnekler verilmiştir. Üçüncü bölümde ise modüler formlar kısaca tanıtılmış ve Eisenstein serileriyle ilgisi ortaya konmuştur. Dördüncü bölümde Eisenstein serilerinin sıfırları üzerine bazı sonuçlar göz önüne alınmıştır. Beşinci ve son bölümde ise iki ağırlıklı Eisenstein serilerinin sıfır yerleriyle ilgili literatürde yer alan sonuçlar ele alınmıştır. Çalışma derleme niteliğindedir.
Bazı diophantine denklemlerinin çözümleri üzerine
Altı bölümden oluşan bu çalışmada Sayılar Teorisi'nin yüzyıllardır popülerliğini kaybetmemiş konusu olan Diophantine denklemleri çalışılmıştır. İlk bölümde ilerleyen bölümlerde kullanılacak temel kavramlar tanımlanmış ve bu kavramlarla ilgili bazı özellikler ele alınmıştır. İkinci bölümde C bir tamsayı olmak üzere x^2+C=y^n Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri için genel bir metot incelenmiştir. Üçüncü bölümde x^2+2^k=y^n Diophantine denkleminde k'nın tek olması durumu, dördüncü bölümde x^2+3^k=y^n Diophantine denklemi, beşinci bölümde x^2+5^k=y^n Diophantine denklemi ve son olarak altıncı bölümde Ramanujan-Nagell denklemi olarak da adlandırılan x^2+7=2^n Diophantine denkleminin tamsayı çözümleri aranmıştır. Çalışma derleme niteliğindedir
Birch Ve Swinnerton-Dyer Konjektürü Üzerine
Birch ve Swinnerton-Dyer Konjektürü (BSD-Konjektürü), Matematik'in son yıllardaki en popüler problemlerinden birisi olup, Clay Matematik Enstitüsü'nün çözümü için 1 milyon dolar ödül vaat etmesi probleme olan ilgiyi oldukça arttırmıştır. Sayısal veriler konjektürün doğruluğunu desteklemektedir. Eliptik eğrilerde cebirsel bir objeyle analitik bir objeyi birbirine bağlayan konjektür iki kısımdan oluşmaktadır. İlk kısım rankla ilgili olup, ikinci kısımda ise eliptik eğrilerle ilgili bir formülün doğruluğu iddia edilmektedir. Dört bölümden oluşan bu çalışmada BSD-Konjektürü tanıtılması hedeflenmiştir. İlk bölümde eliptik eğrilerin özelliklerine ayrılmıştır. İkinci bölümde ise BSD-Konjektürü'nün rankla ilgili olan kısmı ifade edilmiş ve literatürdeki güncel sonuçlar tartışılmıştır. Üçüncü bölümde eliptik eğrilerin Tate-Shafarevich grupları tanıtıldıktan sonra BSD-Konjektürü'nün ikinci kısmını oluşturan formül verilmiştir. Dördüncü ve son bölümde ise konjektürü doğrulayan bazı örnekler ele alınmıştır. Çalışma derleme niteliğindedir.
Yarım tamsayı ağırlıklı modüler formlar üzerine
Modüler formlar uzun yıllardır popülerliğini koruyan bir konudur. Matematik ve Fizik'in bir çok alanında önemli uygulamalara sahiptir. Dört bölümden oluşan bu çalışmada yarım tamsayı ağırlıklı modüler formlar tanıtılmıştır. İlk bölümde genel ve özel lineer grup tanıtılmış olup, bazı özellikleri ele alınmıştır. İkinci bölüm ise modüler formların tanımında önemli bir yere sahip olan modüler grup ve bu grubun denklik alt grupları tanıtılacaktır. Üçüncü bölümde tamsayı ağırlıklı modüler formlar incelenecek, bazı modüler form örnekleri verilecektir. Dördüncü ve son bölümde yarım tamsayı ağırlıklı modüler formlar tanımlanmış, bazı özellikleri incelenmiş ve örnekler verilmiştir. Bu çalışma derleme niteliğindedir.
Riemann yüzeylerinin fizik uygulamaları: Modüller uzayları
Bu çalışmada, Riemann yüzeylerinin fizik uygulamaları göz önüne alınmış, özel olarak Riemann yüzeylerinin modüller uzayları ele alınmıştır. Dört bölümden oluşan bu çalışmanın ilk bölümü modüller uzaylarının tanıtımına ayrılmıştır ve sicim teorisi kısaca tanıtılmıştır. İkinci bölümde, bazı eğrilerin modüller uzayları elde edilmiştir. Üçüncü bölüm Riemann yüzeyleri ve dünya yapraklarına ayrılmıştır. Özel olarak üç sicim etkisi ve Schwarz-Cristoffel dönüşümleri çalışılmıştır. Dördüncü ve son bölümde ise Riemann yüzeylerinin modüller uzayları elde edilmiştir. Bu çalışma derleme niteliğindedir.
İkiz asallar üzerine
Bu çalışmada asal sayıların bazı özellikleri incelenmiştir. Beş bölümden oluşan bu çalışmanın ilk bölümünde çalışmada kullanılacak olan notasyon tanıtılarak giriş yapılmıştır. İkinci bölümde asal sayıların bazı özellikleri incelenmiş ve Goldbach problemleri ile Riemann ve Genişletilmiş Riemann Hipotezleri ele alınmıştır. Ayrıca Riemann-zeta fonksiyonunun özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde asal sayılar için bazı analitik metotlar tanıtılmıştır. Dördüncü bölüm ise kısa aralıklardaki asal sayıların varlığı ve ikiz asallar üzerine özellikle Cole ödülü sahibi Prof.Dr.Cem Yalçın Yıldırım'ın sonuçlarının da aralarında bulunduğu literatürdeki sonuçlar ele alınmıştır. Beşinci ve son bölümde ise çalışmanın sunuş tarihi itibariyle oldukça güncel bir sonuç olan [4n, 5n] aralığında asal sayıların varlığına dair elde edilen sonuçlar verilmiştir. Bu çalışma derleme niteliğindedir.
Diophantine M-lileri ile oluşturulan eliptik eğriler üzerine
Diophantine denklemleri özellikle gündelik hayat uygulamaları ile birlikte tamsayılarla ilgili yapılan matematik çalışmalarının temelini oluşturmaktadır. Eliptik eğriler ise özellikle geniş uygulama alanına sahip olması ve üstelik Fermat'ın Son Teoremi'nin ispatında kullanılması nedeniyle son yıllarda bilim insanlarının ilgisini üzerinde tutmuştur. Bu çalışmada bu iki kav-ram aynı potada buluşturulmuştur. Diophantine m-lileri tarafından indirgenen eliptik eğrilerin rank ve torsiyon grupları araştırılmış olup derleme niteliğindeki bu çalışma m sayısının çeşitli değerleri için özelleşmiştir. Tez çalışması güncel bir makalenin çalışmasıyla bitmektedir.
Ramanujan tau fonksiyonu üzerine
Sayılar Teorisi denince akla gelen bilim insanlarından birisi olan Srinivasa Ramanujan sadece yaşadığı yüzyıla değil modern matematiğin tarihi zirve yaptığı 21. yüzyıla da süren etkisiyle çok önemli başarılara imza atmıştır. Altı bölümden oluşan bu çalışmada Ramanujan'ın sonuçlarına temel oluşturan Ramanujan tau fonksiyonu çalışılmıştır. Modüler formların tanıtılması ile başlayan çalışmanın ikinci bölümünde Ramanujan tau fonksiyonu tanımlanıp temel özellikleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde parçalanış fonksiyonu verilmiş ve Ramanujan'ın bu fonksiyon üzerine önemli sonuçlar verdiği kongrüanslar incelenmiştir. Dördüncü bölüme Ramanujan konjektürleri incelenmiştir. Beşinci bölümde ise Ramanujan tau fonksiyonun Fourier katsayılarının asallığı üzerine yapılan çalışmalar üzerinde durulmuştur. Çalışmanın altıncı ve son bölümünde ise Ramanujan tau fonksiyonuna dair güncel bir çalışma incelenmiştir. Çalışma derleme niteliğindedir.
Dedekind-eta çarpımlarından oluşan yarım tamsayı ağırlıklı hecke eigenformların sınıflandırılması
Modüler formlar ve özelinde Hecke eigenformlar sayılar teorisinde ilginç özellikleriyle ön plana çıkarlar. Örneğin matematikte son yılların en önemli sonucu olan Sato-Tate Teoremi sadece Hecke eigenformlar için geçerli bir sonuçtur. Hecke eigenformların sistematik seçimi problemi özellikle yarım tamsayı ağırlıklı Hecke eigenformlar üzerinde istatistiksel sonuçlar elde edilmesi adına kritik bir adımdır. Konuyla ilgili literatürde çalışmalar mevcuttur. Problemin bir başka çözüm yolu da Dedekind-eta çarpımları olabilir. Üç bölümden oluşan bu çalışmada Dedekind-eta çarpımlarından oluşan Hecke eigenformların sınıflandırılması problemi ele alınmıştır. İlk bölümde konunun temeli olan modüler formlar tanıtılmış ve temel özellikleri incelenmiştir. İkinci bölüm Dedekind-eta çarpımlarına ayrılmış olup, çalışmanın orijinal kısmını oluşturan üçüncü bölümde Dedekind-eta çarpımlarından oluşan Hecke eigenformların özel bir sınıflandırılması elde edilmiştir.
Eliptik eğrilerin rankları üzerine
Altı bölümden oluşan bu çalışmada eliptik eğriler teorisinin bazı temel konuları ele alınmıştır. İlk bölümde eliptik eğriler tanıtılmış, ikinci bölümde ise eliptik eğrilerin grup yapısı verilmiştir. Eliptik eğrilerin noktaları üzerinde özel bir toplama işlemini tanımlanıp, değişmeli grup elde edilebilmesi için projektif koordinatların kullanılıp "sonsuz noktasının" elde edilmesi gereklidir. Bu ise üçüncü bölümün içeriğini oluşturmaktadır. Dördüncü bölümde gösterilmesi zahmetli olan birleşme özelliği başta olmak üzere diğer grup aksiyomları gösterilerek eliptik eğrilerin değişmeli grup olduğu görülmüştür. Beşinci bölümde ise eliptik eğrilerin cebirsel yapısının belirlenmesi adına önemli sonuçlar olan Mordell, Lutz-Nagell ve Mazur'un verdiği sonuçlar incelenmiştir. Son bölümde ise eliptik eğrilerin rankları kavramı ele alınmış ve kuadratik twist ailelerinin rankları üzerine bazı sonuçlar verilmiştir. Bu çalışma derleme niteliğindedir. Anahtar Kelimeler: Eliptik eğriler; rank; eliptik eğrilerin grup yapısı
Kuadratik formlar ve modüler formlar
İki bölümden oluşan bu yüksek lisans tezinde sayılar teorisinin önemli konularından olan kuadratik formlar ile son yılların popüler konularından birisi olan modüler formlar arasındaki ilişki çalışılmıştır. İlk bölümde kuadratik formlar tanıtılmış ve temel özellikleri verilmiştir. İkinci bölümde ise ilgi çekici bir modüler form örneği olan kuadratik formların teta serilerine ayrılmış olup, belli eliptik eğrilere karşılık gelen özel modüler formlar olan bazı 3/2 Hecke eigenformlar ait oldukları vektör uzaylarının taban elemanları cinsinden ifade edilmiştir.
Bazı üstel diophantine denklemleri üzerine
Üç bölümden oluşan bu çalışmada sayılar teorisinin insanlık tarihi kadar eski sayılabilecek problemlerinden birisi olan Diophantine denklemlerinin özel bir durumu ele alınmıştır. Daha kesin olarak üstel Diophantine denklemleri için literatürde açık problem olarak yer alan Jeśmanowicz Sanısı çalışılmıştır. 2500 yıllık Pisagor Teoremi'ne farklı bir bakış açısıyla bakıp, üsler değişken haline getiren Sierpinski 1955-56'de 3^x+4^y=5^z üstel Diophantine denkleminin tek çözümünün (2, 2, 2) olduğunu ispatlamıştır. Buradan hareketle Jeśmanowicz aynı yıl a^2+b^2=c^2 olmak üzere a^x+b^y=c^z üstel Diophantine denkleminin tek çözümünün (2, 2, 2) olduğunu iddia etmiştir. Bu sanı birçok durum için doğrulanmış olup, tam çözümü henüz bilinmemektedir. İlk bölümde üstel Diophantine denklemleri tanıtılmış, ikinci bölümde ise bu sanı çalışılmıştır. Literatürde yeniden eskiye doğru geniş çaplı bir tarama yapılmıştır. Üçüncü bölümde ise Jeśmanowicz Sanısının özel bir durumu olan (20k)^x+(99k)^y=(101k)^z üstel Diophantine denkleminin elementer metotlar kullanılarak tek çözümünün (2, 2, 2) olduğu görülmüştür. Çalışma derleme niteliğindedir.
Eliptik eğrilerin farklı modelleri üzerine
Eliptik eğriler matematiğin son yıllarda oldukça geniş bir bilim insanı topluluğu tarafından çalışılan önemli bir konusudur. Kriptoloji uygulamaları oldukça dikkat çekicidir. Bu alandaki ihtiyaç nedeniyle çeşitli kriptosistemler söz konusu olup, 7 bölümden oluşan bu çalışmada eliptik eğrilerin farklı modelleri incelenmiştir. İlk bölümde eliptik eğri kriptolojisi tanıtılmış olup, ikinci bölümde Edwards eğrileri ve üçüncü bölümde twisted Edwards eğrileri incelenmiştir. Dördüncü bölümde ise eliptik eğriler için verilen dört seviye bir theta modeli tanıtılmıştır. Beşinci bölümde ise yine eliptik eğriler için verilen yeni bir theta modeli ele alınmıştır. Altıncı bölümde bu modellerin maliyet analizi yapılmış olup son bölümde ise bazı modellerin maliyet karşılaştırılması ile sonuç ve tartışma yapılmıştır. Çalışma derleme niteliğindedir.
Rankin-Cohen operatörleri ve uygulamaları
Modüler formlar Matematik'in birçok dalını bir araya getirmesi, uygulamalarının Fizik'e kadar uzanması nedeniyle yüzyılı aşan süredir popülerliğini kaybetmemiştir ve halen yaygın olarak çalışılmaktadır. Bu çalışmada modüler formların Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi ile Sayılar Teorisi'nin ara kesitinde kalan Rankin-Cohen operatörleri (parantezi) konusu çalışılmıştır. 7 bölüm ve bir ekten oluşan bu tezin ilk bölümü ön bilgilere ve ileride kullanılacak olan kavramların tanıtılmasına ayrılmıştır. İkinci bölümde modüler formlar üzerinde tanımlı diferansiyel operatörler verilmiş olup üçüncü bölümde tezin ana kısmını oluşturan Rankin-Cohen parantezi kavramı tanıtılmış ve temel özellikleri incelenmiştir. Dördüncü bölümde Rankin-Cohen parantezlerinin modüler formlar üzerinde tanımlı Petersson iç çarpımı ile olan ilişkisi ele alınmıştır. Beşinci bölümde Choie ve Lee tarafından 2011'de yayımlanan bir makale incelenmiştir. Altıncı bölümde Lanphier ve Takloo-Bighash tarafından verilen Rankin-Cohen parantezleri ile ilgili ilginç bir sonuç verilecektir. Yedinci ve tezin orijinal kısmını oluşturan Rankin-Cohen parantezinin bir uygulaması olarak Kohnen plus uzayında yer alan yarım tam sayı ağırlıklı iki Hecke eigenform, Eisenstein serisi ve klasik teta serisinin birinci mertebeden Rankin-Cohen parantezi cinsinden ifade edilmiştir. Tezde ek olarak Pari-GP yazılımında mf-paketinde yer alan Rankin-Cohen parantezini de kapsayan bazı hesaplamaların ekran görüntüleri yer almaktadır.
Yarım tamsayı ağırlıklı modüler formlar üzerinde Sato-Tate benzeri problemler üzerine
Modüler formlar matematiğin özellikle de sayılar teorisinin önemli bir konusu olup yoğun bir şekilde çalışılmaktadır. Birçok anabilim dalını bir araya getirmesi nedeniyle de birçok matematikçi için 'modüler formlar her yerde' bulunur. Altı bölümden oluşan bu çalışmanın 1. Bölüm'ünde modüler formlar tanımlanıp temel özellikleri incelenecek ve böylece tezde ihtiyaç duyulan alt yapı oluşturulacaktır. Tezin özgün kısımlarından ilkini oluşturan 2. Bölüm'de yarım tamsayı ağırlıklı Hecke eigenformların sistematik seçimi probleminin çözümü verilecektir. 3. Bölüm'de ise 21. yüzyılın matematikteki en önemli başarılardan birisi olan Sato-Tate Konjektürü tanıtılacak ve Bruinier-Kohnen Konjektürü üzerine bir uygulaması verilecektir. Özgün kısmın ikinci parçası olan 4. Bölüm'de ise Ramanujan-Petersson Konjektürü tarafından normalleştirilen yarım tamsayı ağırlıklı modüler formların Fourier katsayılarının dağılımı konusu üzerinde durulacak, bir açık soru ortaya konulup mümkün olan tüm verilerle iddia desteklenecektir. Özgün kısmın son parçası olan 5. Bölüm'de Bruinier-Kohnen Konjektürü güçlendirilerek ifade edilecektir. Altıncı ve son bölüm ise tartışma, sonuç ve gözlemlerden oluşmaktadır.