Theses supervised by Prof. Dr. Mehmet Açıkgöz
13 theses · Gaziantep University
Dejenere Hurwitz-Zeta fonksiyonu ve özellikleri
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm tez içerisinde kullanılacak temel tanım ve teoremleri içermektedir. İkinci bölümde Gamma fonksiyonu, Digamma fonksiyonu ve Euler polinomlarının farklı genellemeleri ve özellikleri üzerine çalışılmıştır. Üçüncü bölümde Bernoulli polinomlarının ve Hurwitz-Zeta fonksiyonunun iki çeşit dejenere halleri tanımlanmış ve bunlar arasındaki ilişkiler elde edilmiştir. Bu bölümde ayrıca dejenere Digamma fonksiyonunun bazı yineleme bağıntıları elde edilmiştir. Son bölümde ise sonuçlar ve öneriler bulunmaktadır.
Carlıtz tipli (𝓹,𝓺)-Genocchi polinomları
Bu tez altı bölümden meydana gelmektedir. Birinci bölümde, Genocchi polinomlarından, 𝓆 analizden, (𝓅,𝓆) analizden ve tezin içeriğinden kısaca bahsedildi. İkinci bölümde, 𝓆-benzeri ve (𝓅,𝓆)-benzeri ile ilgili temel bilgiler verilmiş olup daha sonra Bernoulli, Euler, Genocchi sayıları ve polinomları ile ilgili temel tanımlar ve özellikler ifade edildi. Üçüncü bölümde, (𝓅,𝓆)-Bernoulli, (𝓅,𝓆)-Euler ve (𝓅,𝓆)-Genocchi polinomları ile ilgili ve özellikle (𝓅,𝓆)-Genocchi polinomu üzerine tanımlar ve teoremlere değinildi. Dördüncü bölümde, Carlitz tipli (𝓅,𝓆)-Genocchi polinomları ve Carlitz tipli (ℎ,𝓅,𝓆)-Genocchi polinomlarına ait temel tanımlara ve özelliklere yer verildi. Beşinci bölümde, edindiğimiz tanımlardan ve teoremlerden yola çıkılarak, Carlitz tipli yüksek mertebeden (𝓅, 𝓆)-Genocchi polinomları ve Carlitz tipli yüksek mertebeden (ℎ, 𝓅, 𝓆)-Genocchi polinomları ile ilgili temel tanımlar ve özellikler ele alınıp incelendi ve Carlitz tipli yüksek mertebeden (𝓅, 𝓆)-Genocchi polinomları için simetrik özellik ile ilgili bağıntılar verildi. Tezin son bölümünde ise incelemiş olduğumuz çalışmalar sonuca bağlanıldı.
Gould-Hopper polinomlarını içeren q-parametreli II. tip dejenere poly-Bernoulli polinomları
Bu tez sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, bu tezin motivasyonunu ve bazı temel tanımları ve formülleri içeren giriş kısmıdır. İkinci bölümde klasik Bernoulli polinomları, üçüncü bölümde poly-Bernoulli polinomları, dördüncü bölümde dejenere Bernoulli polinomları, beşinci bölümde q parametreli Bernoulli polinomları, altıncı bölümde bazı genelleştirmeleriyle birlikte Gould-Hopper polinomlarını içeren Bernoulli polinomları kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Yedinci bölüm, poly üstel fonksiyon ve dejenere üstel fonksiyon ile ilişkili bir q parametresine sahip Gould-Hopper polinomlarını içeren dejenere II.tip poly-Bernoulli polinomlarını ele almakta ve bunların bazı özellikleri, ilişkileri ve toplam formülleri, fark kuralı özellikleri, yineleme bağıntıları, kapalı toplam formülleri, simetrik formülleri incelenmiştir. Son bölümde ise sonuçlar ve öneriler bulunmaktadır.
Fibonacci kalkülüsün bazı sayı dizileri ve polinomları üzerindeki yansımaları
Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. Tezin birinci bölümünde giriş ve tez boyunca gerekli olacak tanımlara yer verilmiştir. Tezin ikinci bölümünde Fibonacci sayı dizisine yönelik temel tanımlara, teoremlere ve özdeşliklere yer verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde Bernstein operatörü ve Bernstein polinomları ile ilgili temel tanımlara, teoremlere ve özdeşliklere yer verilmiştir. Tezin dördüncü bölümünde Bernoulli sayıları ve polinomları ile Euler sayıları ve polinomlarına ait temel tanımlara, teoremlere ve özdeşliklere yer verilmiştir. Tezin beşinci bölümünde Bernoulli F-polinomu, Bernoulli-Fibonacci sayıları ve polinomları, Euler-Fibonacci sayıları ve polinomları ile F-Bernstein operatörü ve F-Bernstein polinomu ile ilgili tanımlara, teoremlere ve özdeşliklere yer verilmiştir. Tezin altıncı bölümünde ise elde edilen bulgulara ve sonuçlara yer verilmiştir.
Euler polinomları: Umbral analiz açısından incelenmesi ve kaniadakis analizi üzerindeki yansımaları
Bu tezde birçok matematikçinin üzerinde çalıştığı, matematiksel yapıların önemli unsurlarından biri olan Euler polinomları ve bu polinomlarla yapısal veya analitik olarak benzerlik gösteren diğer bazı özel polinom aileleriyle olan ilişkileri incelenmiştir. Çeşitli alanlarda karşımıza çıkan bu özel polinomlar, gerek teorik araştırmalarda gerekse uygulamalı matematikte önemli bir yere sahiptir. Bu çalışma kapsamında, Euler polinomlarının klasik ve modern matematikteki önemi vurgulanmış ve diğer polinom türleriyle olan ilişkileri incelenmiştir. Bununla birlikte Umbral analiz ve Kaniadakis analizi üzerindeki uygulamaları ayrıntılı şekilde ele alınmıştır. Bu doğrultuda çalışmanın temel amacı Euler polinomlarının klasik yapısından yola çıkarak, Kaniadakis kalkülüs çerçevesinde yeni bir genelleme geliştirmektir. Kaniadakis yaklaşımı, klasik dağılımları daha geniş bir çerçevede tanımlar ve bu yaklaşımda kullanılan özel bir katsayı ile yapının klasik davranıştan ne kadar uzaklaştığını belirler. Katsayının sıfır olması durumunda ise klasik sonuçlara ulaşılır. Böylece farklı karmaşıklık düzeylerindeki yapıların aynı çerçevede açıklanmasını sağlar. Bu yaklaşım kapsamında κ-parametresi aracılığıyla Euler polinomlarının genelleştirilmesiyle elde edilen Kappa-Euler polinomları, hem teorik hem de uygulamalı matematik alanında yeni bakış açıları sunabilecek nitelikte bir yapı ortaya koymaktadır.
Bernoulli polinomları ve Kaniadakis analizi üzerindeki yansımaları
Özel polinomlar pek çok bilimsel çalışmanın ve gelişmenin, temel taşları olup matematik, fizik, mühendislik, ekonomi vb. bilim dallarında geniş kullanımlara sahiptir. Bu özel polinomlardan Bernoulli polinomları, hem bilindik analiz hem de sayı teorisi bağlamında özel polinomların önemli bir sınıfını oluşturur. Bu çalışmada, öncelikle Bernoulli polinomlarının temel tanımı, analitik özellikleri ve klasik sonuçları gözden geçirilecektir. Daha sonra, bu polinomlarla yapısal benzerlik gösteren bazı özel polinom aileleriyle olan ilişkileri ele alınacaktır. Söz konusu ilişkiler; üreteç fonksiyon yapıları ve özel değer hesaplamaları gibi yönlerden değerlendirilecektir. Bu çalışmanın asıl amacı klasik Bernoulli polinomlarından başlayarak Kaniadakis yaklaşımı altında genelleştirerek hem teorik hem de uygulamalı matematik açısından yeni bir polinom ailesi inşa etmektir. Kappa-analiz olarak bilinen Kaniadakis yaklaşımına dayanan bu yapı, özellikle istatistiksel fizik, bilgi kuramı ve genelleştirilmiş termodinamik gibi alanlarda ortaya çıkan ihtiyaçlar doğrultusunda geliştirilmiş bir matematiksel çerçevedir. Bu doğrultuda κ parametresi aracılığıyla Kappa-Bernoulli polinomları ile literatüre yeni bir yapı ortaya konulması hedeflenmiştir.
Bernsteın tipli polinomların üreteç fonksiyonları ve özellikleri
Bu tezin temel amacı; (p,q)-analizdeki Bernstein polinomlarını ve bu polinomlar ile ilgili analitik sayılar teorisindeki çeşitli özellikleri vermektir. Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş ve literatür taraması yapılmıştır. İkinci bölümde, tezin ilerideki bölümlerinde kullanılan tanım, kavram ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde, (p,q)-Bernstein polinomlarının integral operatörü altındaki sonuçları ile (p,q)-Gama ve (p,q)-Beta fonksiyonları arasındaki ilişki elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, (p,q)-Bernstein polinomlarının üreteç fonksiyonu (p,q)-analiz yardımıyla verilmiş ve üreteç fonksiyonuna bağlı bunların bazı özellikleri incelenmiştir. Beşinci bölümde, iki yeni (p,q)-Bernstein polinomu tanımlanmış ve bu tanımlar yardımıyla polinomların üreteç fonksiyonları ile bazı özellikleri elde edilmiştir. Altıncı bölümde, Beta polinomlarının (p,q)-genelleştirilmesi tanımlanmış ve bu polinomların bazı özellikleri incelenmiştir. Yedinci bölümde tezde elde edilen sonuçlar verilmiştir.
Bazı özel fonksiyonların q-umbral analizi, Fourier serileri ve Nevanlinna teorisi üzerindeki uygulamaları
Bu tezde, yeni bir polinom ailesi olan q-Apostol-Euler polinomları tanımlanmış ve bu polinomların q-umbral analiz yöntemiyle diğer polinom aileleriyle ilişkili olduğu gösterilmiştir. Bayad ve Luo'nun yöntemleri takip edilerek, Apostol Frobenius-Euler polinomlarının Fourier seri açılımı elde edilmiş ve bu açılım kullanılarak yeni toplamsal formüller bulunmuştur. Genocchi polinomlarının Fourier seri açılımı kullanılarak, Genocchi polinomları ile fonksiyonu ve fonksiyonu arasında eşitlikler bulunmuştur. Ayrıca, Riemann zeta fonksiyonu ile periyodik Genocchi fonksiyonu, Genocchi polinomu, Digamma fonksiyonunu içeren formüller inşa edilmiştir. Kompleks analizde yaygın olarak kullanılan Nevanlinna teorisi, Bernoulli ve Euler sayılarının üreteç fonksiyonlarına uygulanmış ve Nevanlinna karakteristik fonksiyonları hesaplanmıştır.
Jacobsthal ve jacobsthal lucas sayilarinin kuaterniyonlari ve oktonyonlari
Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, sayı dizilerinin tarihçesinden bahsedilmiştir. İkinci bölümde, sayı dizilerinin tanımları ve temel özellikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, kuaterniyon, oktonyon cebirleri verilmiş ve ardından Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin kuaterniyon ve oktonyon cebirleri üzerine yapılan çalışmalar sunulmuştur. Dördüncü bölümde, Jacobsthal ve Jacobsthal Lucas sayı dizilerinin kuaterniyon ve oktonyon özellikleri ele alınmış ve elde edilen bağıntılar sunulmuştur. Beşinci bölümde, sayı dizilerinin k genellemelerine değinilmiş ve bazı özellikleri detaylı bir şekilde incelenmiştir. Ayrıca k-Jacobsthal kuaterniyon ve k-Jacobsthal Lucas kuaterniyon sayı dizilerine benzer yöntemle elde edilen k-Jacobsthal oktonyon ve k-Jacobsthal Lucas oktonyon sayı dizileri tanımlanmış ve çeşitli özelliklerini içeren bazı formüller türetilmiştir.
Bazı özel polinomların q-umbral analiz üzerindeki uygulamaları
Bu tezde, q-umbral analiz çalışılmıştır. q-Umbral analiz'e ait tanım, teorem ve bazı özellikler verilerek q-Sheffer dizileri ile bu dizilerin alt sınıfı olan q-Appell ve q-ilişkili diziler üzerindeki etkileri incelenmiştir. Ayrıca, q-umbral analiz yöntemleri yardımıyla, özel polinomlar ailesinden iki tanesi olan q-Euler ve q-Bernoulli polinomlarının bazı temel özelliklerinin q-umbral analiz üzerindeki uygulamaları araştırılmıştır. q-Umbral analiz'in uygulaması olarak yeni bir polinom ailesi olan modifiye edilmiş q-Apostol-Bernoulli polinomları tanımlanmış ve yeni özdeşlikler elde edilmiştir. Ayrıca, bu polinomların q-umbral analiz yöntemleri yardımıyla q-Euler polinomlarıyla ilişkili olduğu gösterilmiştir.
Z-dönüşümlerinin q-analiz ve (p,q)-analizdeki bazı uygulamaları
Bu tez üç bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm analizde temel tanım ve teoremler verilmiştir. Ayrıca q ve (p,q)-analizde tez için gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde, Z-dönüşümlerinin tanımı, özellikleri ve örnekleri incelenmiştir. Son bölümde ise Z-dönüşümlerinin q ve (p,q)-analiz üzerindeki uygulamaları incelenmiştir.
Bernstein-Chlodowsky tipli polinomlar ve bazı uygulamaları
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Tezin amacı Bernstein Chlodowsky polinomlarının analitik sayılar teorisindeki ilişkilerini vermektir. Birinci bölümde tezin alt yapısını oluşturacak tanım ve teoremlere yer verilmiştir. İkinci bölümde tezin ana konusunu oluşturan Bernstein-Chlodowsky polinomlarının temeli olan Bernstein polinomu ve gerekli teoremler verilip, özellikleri sunulmuştur. Üçüncü bölümde Bernstein-Chlodowsky polinomunun çıkış gerekçesi ne şekilde üretildiği hangi ihtiyaçlara cevap olup olmadığı ifade edilip, gerekli önemli teoremleri gösterilmiştir. Son bölümde q-Bernstein-Chlodowsky polinomlarının üreteç fonksiyonu tanımlanmış ve bu polinomların temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca p- adik fermionik integral ve q-Volkenborn integral kullanılarak q-Bernstein Chlodowsky polinomları ile ağırlıklı q-Euler ve q-Bernoulli sayıları arasında bağıntılar bulunmuştur.
Multifarious applications and generalizations of some special polynomials
Multifarious explicit formulas for not only the p-adic integral of the p-adic gamma function and its derivatives but also p-adic Euler constant have been provided. Then, several p-adic integral representations of the p-adic gamma function and its derivative through the Daehee, Changhee and Boole polynomials with their some extensions have been given. Besides, a lot of p-adic integral representations of the p-adic Euler constant utilizing the Daehee, Changhee and Boole polynomials with their some generalizations have been developed. Two variables truncated Fubini polynomials and fully degenerate central Bell polynomials are considered and some identities and properties for these polynomials, involving summation formulas, recurrence relations, and derivative property are acquired. Multifarious correlations including old and new polynomials are discovered. Degenerate truncated forms of the various special polynomials and numbers, including both Stirling numbers of the second kind and Fubini, Bernoulli, Euler and Bell polynomials are considered and their several properties, identities, and interesting relationships are analyzed extensively by using the series manipulation method and some special proof techniques. Several interesting surface plots of the aforementioned polynomials in the special cases are given. Lastly, degenerate Poisson distribution is introduced. Then, the first few raw moments and the moment generating function are developed. Using this moment generating function, a new degenerate form of Bell polynomials is defined and some of its properties are provided.